抽象函数的性质-2025年高考数学复习（新高考卷）解析版

实战演练01抽象函数的性质

考点归纳

①抽象函数求值

②抽象函数的单调性与抽象不等

式

③抽象函数的奇偶性

④抽象函数的对称性

⑤抽象函数的周期性

⑥抽象函数结合导数的应用

⑦抽象函数性质的综合应用

一、抽象函数的性质

L周期性：/(x+a)=/(x)T=a；/(%+〃)=T=2a；

k

f(x+a)=T=2a；(左为常数)；f(x+a)=f(x+b)^>T=|a-Z?|

2.对称性：

对称轴：f(a-x)=+f(2a-x)=/(x)n/(x)关于x=a对称；

对称中心：/(a-x)+/(a+x)=2b或者/(2a-x)+/(x)=2bn/(x)关于(a,/?)对称;

3.如果/(x)同时关于x=a对称，又关于(dc)对称，则/(x)的周期T=|a—4

4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题

①/(x)在R上是奇函数，且/'(X)单调递增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,则有

%+工2>°；

/(X)在R上是奇函数，且/(X)单调递减n若解不等式/(%1)+/(x2)>0,则有

第1页共46页

玉+々<°；

②/(x)在R上是偶函数，且/(X)在(0,内)单调递增n若解不等式/&)>/(々)，则有国>网(不

变号加绝对值)；

/(X)在R上是偶函数，且/(x)在(0,+，。)单调递减n若解不等式/(^)>/(%2),则有㈤<闷(变号

加绝对值)；

③/(x)关于(。力)对称，且/(x)单调递增n若解不等式/(xJ+Xx,)>2&,则有

项+九2>2。；

/(X)关于(a⑹对称，且/'(X)单调递减n若解不等式f(x^+f[X2)>lb,则有

%]+为<2a；

④/(X)关于x=a对称，且/(X)在(a,+8)单调递增n若解不等式/&)>/(%)，则有归—。|>民—4

(不变号加绝对值)；

/(x)关于x=a对称，且/(X)在(a,+oo)单调递减=>若解不等式f(x2),则有卜一《<人一。|

(不变号加绝对值)；

二、抽象函数的模型

【反比例函数模型】

反比例函数」(x+M就济，则小)=邛，民/⑴,小)"(…)均不见

【一次函数模型】

模型1：若"X土y)=/(x)±/(y),则/(x)=/(l)x；

模型2：若"2土y)=/(x)±/(y),则/(x)为奇函数；

模型3：若/(x+y)=/(x)+/(y)+m,则/(x)=[/(1)+m]x-m；

模型4：若/(x-y)=/(x)—/(y)+孙则/(x)=[/(l)-rri\x+m；

【指数函数模型】

模型1:若〃x+y)=/(x)/(y)，则/(无)/。)>0

模型2：若/(x—y)=T，则/a)="(i)T；/(x)>0

f(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)相，则；

m

£/、/(X)”1)

模型4：若/(%一y)=m则/(%)二小

/(y)m

第2页共46页

【对数函数模型】

模型1：若/(%")=nf(x),则f(x)=/(a)logflx[a＞。且wl,x＞0)

模型2：若/(取)=/(1)+/(丁)，贝!|/0)=/(。)108°兀(。＞0且/1,羽＞＞0)

Y

模型3：若/(—)=/(x)-/(y),则/0)=/(。)108°%(。＞0且/1,羽丁＞0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,则/(x)=[/⑷+础og°x-m(a＞0且Hl,x,y＞0)

模型5：若/(：)=/(x)-/(y)+加，则/(%)=[/⑷一向logflx+加(。>0且w1,%,y>0)

【幕函数模型】

模型1：若/Cp)=/(x)/(y)，则/(x)=/(a产”(a〉0且wl)

模型2：若"")=偌，则/(x)=/("°g""(a>(^Hl,yH0,〃y)H0)

代入则可化简为事函数；

【余弦函数模型】

模型1：若于(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(%)不恒为0),则/(%)=coswx

模型2：若/(x)+〃y)=2/(212)/(?)(/(x)不恒为0),贝U〃x)=coswx

【正切函数模型】

模型：若模龙士y)=晨；；；))(/WG)丰1)，则/(x)=tan植

2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=Qx)/(以/(x)不恒为0),则/'(%)=COSWX

①抽象函数求值

解题技法

抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令%=•••,-2,-1,0,1,2…等特殊

值求抽象函数的函数值.

一、单选题

1.(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数/■(%)的定义域为R,Va,bwR,均满足

f(a+b)=f(a)+f(b)-ab.若〃-1)=3,则〃3)=()

第3页共46页

A.0B.-9C.-12D.-15

【答案】D

【分析】先赋值。=6=。求出”0),接着赋值。=1,6=-1求出”1),再赋值。=6=1求出”2),最后赋

值°=1,6=2即可求解.

【详解】令a=8=0,得〃0)=2〃0),所以/(0)=0；

令“=1,b=-l,得〃0)=/(1)+/(-1)+1=0,

又/(T)=3,所以〃1)=T；令a=b=l,得〃2)=/(1)+/(1)-1=-9；

令。=1,6=2,得〃3)=〃1)+〃2)-2=-15.

故选：D.

2.(2024•陕西铜川・模拟预测)设函数〃尤)的定义域为R,且2[〃x+y)+〃尤-y)]=〃x)〃y),“1)=2也

贝U42025)=()

A.2A/3B.0C.4D.-2若

【答案】B

【分析】令无=y=0结合/。)=26得/(0)=4,令x=y=l得"2)=2,令x=2,y=l,得〃3)=0,令

'=2,分别令》=3,5,7,9可以得到〃5),〃7),〃9),〃11),令尤=0,x=3得””的周期为12,所以

f(2025)=/(9)=0.

【详解】因为〃x+y)+〃x-y)=g〃尤)〃y),令无=y=0,有2〃0)=g/⑼，贝〃。卜。或〃。)=4.

若〃0)=0,则令x=l,y=0,有"⑴=:/⑴"0),得，⑴=0,与已知〃1)=26矛盾，所以"0)=4.

令x=y=l,有八2)+/⑼=g/2⑴，则/⑵+4=Jx(2道)J6,得“2)=2.

令x=2,y=l,有/⑶+/⑴=g〃2)/■⑴，得"3)=0.

令x=3,y=2,有〃5)+〃l)=g〃3)〃2),得〃5)=_26.

令x=5,y=2,有/⑺+/(3)=g/(5)/(2),得了⑺=一2石.

令x=7,y=2,有〃9)+〃5)=g〃7)〃2),得/'(9)=0.

令x=9,y=2,有/(")+/⑺=：/(9)/(2),得〃11)=26.

令X=0,有〃y)+〃_y)=g"o)〃y),得“一y)=〃y),

第4页共46页

令x=3,有/(3+y)+/(3-y)=；〃3)〃y)=0,即/(3+丁)=一/(3-y),

所以〃6+y)=-〃—y)=-〃y),故〃12+y)=_〃6+y)=〃y),所以〃x)的周期为12,

所以“2025)="12x168+9)="9)=0.

故选：B.

【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质或

者得到待求函数值.

二、填空题

3.(2025高三・全国・专题练习)定义在R上的函数/(x)满足f(x+y)=/(x)+/(y)+2孙(x,yeR),f(l)=2,

则“3)=，/(-3)=.

【答案】126

【分析】利用赋值法可求”3)的值，再求出"0)=0,从而可求/'(-3)的值.

【详解】/(1+1)=/(I)+/(I)+2=6/(3)=/(2+1)=/(2)+/(I)+4=12,

而/(0+0)=/(0)+/(0)+0即"0)=0,

故"3—3)=〃3)+〃—3)-18=0,故/(-3)=6,

故答案为：12,6

4.(2025高三・全国•专题练习)已知函数〃尤)的定义域为R,且〃x+y)+/(x-y)-〃x)〃y)=0,〃-l)=l,

则〃。)=

【答案】2

【分析】令元=y=0,/(0)=0或〃0)=2,再说明"0)=0不合题意.

【详解】令x=y=o,得2〃0)-产(0)=0得/(0)=0或/(0)=2,

当f(0)=0时，令y=0得f(x)=0不合题意，故/(0)=2,

故答案为：2

5.(2025高三.全国.专题练习)已知定义域为R的函数〃力，满足f(x+y)=f(x)f(y)-f(2-x)f(2-y),

且40)/0,〃-2)=0,贝4(2)=.

【答案】0

【分析】在已知式中令x=y=i可得.

【详解】由/'(*+y)=/⑴/⑴一/(2-尤)/(2-y),

令尤=y=l,则〃2)=[〃1)丁一[〃1)丁=。

故答案为：0.

第5页共46页

6.(2024・江苏•模拟预测)已知定义在R上的“力满足/1-3片0,且对于任意的有

/(x+j)+/(x)/(y)=4xy,则〃0)=.

【答案】-1

【分析】令x=r=0得=(O)=T或"0)=0,排除〃0)=0即可.

【详解】在/a+y)+/(x)/(y)=4型中,令尤=y=0,有〃0)+[〃0)7=0,解得/(0)=-1或/(0)=0,

若"0)=0,则在〃x+y)+〃x)/(y)=4孙中，令尤=0,有F(y)=0恒成立，但这与[-1/。矛盾,

所以只能7(。)=-1,经检验符合题意.

故答案为：-1.

②抽象函数的单调性与抽象不等式

解题技法

(1)抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用均与%2的大小关

系构造出一个大于(或小于)0的数.

(2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号7'”化为一般不等式求解,

但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“/”，而是常数，则应将常数转

化为函数值.

—>单选题

1.(23-24高三下•广东佛山•开学考试)已知函数y=/(尤)在定义域(7,3)上是增函数，且/(2«-1)<〃2-。),

则实数。的取值范围是()

A.(1,2)B.C.(0,1)D.(1,+8)

【答案】C

【分析】由函数的单调性及定义域得到关于“的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为函数y=f(x)在定义域(T3)上是增函数，且/(2a-1)</(2-a),

—1<2a—1<30<〃<2

贝<—1<2—6?<3,贝v—1<a<3,解得

2a—1<2—u。<1

所以实数a的取值范围是(0,1).

故选：C.

2.(2024•江西•模拟预测)已知奇函数”X)在R上单调递增，且/(2)=1,则不等式f(力+1<0的解集为

()

A.(―1,1)B.(—2,2)C.(—2,+oo)D.2)

第6页共46页

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.

【详解】由〃x)+l<0,可得

因为是奇函数，且/⑵=1,所以〃尤)</(一2),

因为在R上单调递增，所以广-2,

故不等式7(x)+1<0的解集为(-双-2).

故选：D

3.(23-24高三下.吉林通化•期中)已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，且/(x)单调递增，则

/(e「l)+f((l-e)x)<0的解集为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(l,e)

【答案】B

【分析】根据函数单调性和奇偶性得到3-1<仁-1)无，画出曲线y=e-l与曲线y=(e-l)x的图象，数形

结合得到答案.

【详解】由奇函数可知，

/(er-l)+/((l-e)x)<0^>f(er-l)<-/((l-e)x)^>f(eJ-l)<f((e-l)x),

又〃无)单调递增，则e-l<(e-l)x,

画出曲线丫=1-1与曲线y=(e-l)x的图象，

可以看出y=e，-1与y=(e-l)x有两个交点，

且x=1与x=0分别为两交点横坐标，

所以不等式e*-l<(e-l)x的解集为(0,1).

故选:B

二、多选题

4.(2024.广东茂名.二模)已知函数为R上的奇函数，且在R上单调递增.若〃2fl)+〃a-2)>0,则

实数。的取值可以是()

A.-IB.0C.1D.2

第7页共46页

【答案】CD

【分析】先利用函数是奇函数，将不等式〃24）+〃4-2）＞0转变为/（2a）＞/（2-a）,再利用函数

〃尤）在R上单调递增，将不等式〃2a）＞〃2-a）转变为2a＞2-a,求解即可.

【详解】因为函数“力是奇函数，

则不等式，（2。）+〃4-2）＞0,可变形为/（2a）＞-/（a—2）=/（2—a）,

因为函数F（x）在R上单调递增，

贝不等式/（2a）＞/（2—a）成立，则2a＞2—a,

2

解得1,2符合题意，

故选：CD.

三、填空题

5.（2024高三・全国・专题练习）已知函数"同=2―/+/，若〃2a）+/（/）wo,则实数。的取值范围

是.

【答案】［-2,0］.

【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性.进而将原不等式转化为

/（2a）4-/•（储）=/（_〃），即可结合函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】由题意知函数定义域为R,且/（-x）=2，-1+（-X）3=-（2'V+X3）=-〃X）,

所以/（x）为奇函数.

又函数y=2,,y=/均为R上的增函数，根据复合函数的单调性可知y=-1也为R上的增函数，

2

所以，“X）为R上的函数.

由/仅冷+1/卜。，得（/）=/（—〃），所以

解得-2WaW0,

故答案为：

6.（23-24高三下.上海.阶段练习）己知偶函数y=/（x）在区间［0,+动上是严格减函数.若

则x的取值范围是.

【答案】g，e］

【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】因为偶函数y=〃x）在区间［0,+8）上是严格减函数，

第8页共46页

所以y=〃x)在(-e，o)上单调递增，

所以不等式〃lnx)>〃l),Bp/(|lnx|)>/(l),所以|lnx|<l,gp-l<lnx<l,

解得小<e,

即无的取值范围是

故答案为:

③抽象函数的奇偶性

解题技法

抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于％的不等式等问题多运用“赋值

法”进行求值和化简.

一、单选题

1.(2024・河南.模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,对于任意实数x,y满足

〃x+y)+〃x—y)=/(x)/(y),且/(1)=1,则下列结论错误的是()

A."0)=2B./(x)为偶函数

C.为奇函数D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由条件等式通过取特殊值求/(0),/(2)由此判断A,D,再取特殊值确定〃x),/(-无)的关系结

合函数的奇偶性的定义判断选项B,C.

【详解】因为Vx,yeR,/(x+y)+/(%-y)=/(x)/(y),

取x=l,>=0可得〃1)+/(1)=〃1)/(0),又"1)=1,所以"0)=2；A对；

取x=0,支尤可得/(劝+〃一无)=/(0)〃尤)，因为“0)=2,所以/(r)=〃x),所以为偶函数,

C错，B对；

取x=l,y=l可得〃2)+〃0)=〃1)〃1),又"1)=1,"0)=2；

所以/(2)=T,D对；

故选：C.

2.(2024.河南郑州.模拟预测)己知y=〃x+l)+l为奇函数，贝U

/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=()

A.-14B.14C.-7D.7

第9页共46页

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.

【详解】因为y=〃x+i)+i为奇函数，

故〃O+l)+l=On/⑴=-1,

/(1+1)+1=-[/(-1+1)+1]^/(2)+/(0)=-2,

/(2+1)+1=-[/(-2+1)+1]=>/(3)+/(-1)=-2,

/(3+1)+1=-[/(-3+1)+1]^/(4)+/(-2)=-2,

故/■(-2)+“_1)+/(O)+"1)+/(2)+/(3)+〃4)=T+3X(—2)=-7.

故选：C.

3.(23-24高三下.陕西西安.阶段练习)定义域均为R的函数〃x),g(元)满足"x)=g(x-l),且

/(x-l)=g(2-x),则()

A./⑺是奇函数B./(x)是偶函数

C.g(x)是奇函数D.g(x)是偶函数

【答案】D

【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原

函数的对称关系.

【详解】因为/(x—l)=g(2r),

所以“r+1-l)=g(2-(-尤+1)),

即/(-x)=g(l+x)=g(x+2_l)=〃x+2),

所以〃x)关于直线x=l对称，

因为〃x)=g(xT),

所以g(x)关于尤=0对称，即g(x)为偶函数.

故选：D

4.(2025高三•全国•专题练习)函数AM的定义域为R,且Ax)与/(x+1)都为奇函数，则说法不正确的是

()

A./(x-1)为奇函数B./(无)为周期函数

C.7■(尤+3)为奇函数D.〃x+2)为偶函数

【答案】D

【分析】由奇函数性质及题意得了(—x—1)+F(x+1)=。且/(-x+l)+,(x+l)=0,因此/(—x+l)=y(-x-l)

即〃x-l)=J(x+l),进而得/(x)=J(x+2)且/(f—l)+/(x-l)=0即可判断A、B；由〃x)=)(x+2)可

得了(x+l)=/(x+3),结合奇函数的定义即可判断C、D.

第10页共46页

【详解】因为/(x)为奇函数，所以〃-X-l)+〃x+l)=O,

又/(元+1)为奇函数，所以/(f+l)+〃x+l)=O,

/./(-x+l)=/(-x-l),即〃x_l)=/(x+l),

所以〃x)=〃x+2),K/(-^l)+/(x+l)=/(-x-l)+y(x-l)=O,

.••/(x)是周期为2的函数，且/(彳-1)是奇函数，故A、B正确；

由〃x)=〃x+2)得〃尤+l)=〃x+3),

故由A、BW/H+3)=/(-x+l)=/(-x-l)=-/(x-l)=-/(x+l)=-/(x+3),

即/(x+3)为奇函数，故C正确；

由〃x)=/(x+2)得〃_x+2)=/(-x)=_〃x)=_〃x+2),

所以/(x+2)为奇函数，故D错误；

故选：D.

二、多选题

5.(2024•河南•三模)定义在R上的函数/(尤)满足/(肛+l)=/(x)/(y)+/(y)+x,则()

A./(0)=0B./(1)=0

C./(元+1)为奇函数D.Ax)单调递增

【答案】BCD

【分析】利用赋值法可求/'⑴=0及/(x+l)=x,故可判断各项的正误，也可以由题意得

/(xy+1)=/(y)/(%)+/(x)+y,结合条件/(q+1)=/(x)/(y)+/。)+X推出/(尤)的解析式，进而即可求解

判断ABCD四个选项.

【详解】法1：令x=y=o,则/⑴=r(0)+〃0)=/(0)(/(0)+1),

令x=0,y=l,贝!|〃1)=/⑴(〃0)+1),

若/■⑴=。或〃。)=0，

若"0)=0,则/(I)=/(x)f(0)+/(0)+x即/(I)=/(x)f(0)+y(o)+尤=尤，

由x的任意性可得AD=x不恒成立，故/(0)=0不成立，故/。)=0,

故A错误，B正确.

令'=1,贝！)/(x+l)=/W⑴+/■⑴+x=x,

故/(元+1)为奇函数，且7(x)=x-l,它为R上的增函数，

故CD正确.

法2：由条件/(孙+D=/(x)/(y)+/(y)+x,得/(孙+i)=/(y)/(x)+/3+y

=/(y)+x=/(x)+y=/(y)_y=/(x)_x，

第11页共46页

由x，y的任意性得/(x)=x+c,c为常数，

故代回去f(xy+1)=/(x)/(y)+/(y)+x得：

旬+l+C=(x+C)(y+C)+y+C+xo(C+l)(x+y+C—l)=0,

所以由MV的任意性只能C=T,即/(x)=x-l,为增函数，

所以/(。)=一1,7'⑴=。，F(x+l)=x为奇函数，

故A错，BCD对.

故选：BCD.

6.(2024高三.全国.专题练习)已知奇函数〃尤)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则()

A.〃x)+g(龙)是奇函数B.是奇函数

C./(x)g(x)是奇函数D.7'[g(x)]是偶函数

【答案】BCD

【分析】本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果.

【详解】对A,因为x)+g(f)=-fa)+g(x)R—[/a)+g(x)],所以〃x)+g(x)不是奇函数，故A

错误；

对B,因为/'(r)|g(-尤=,所以〃x)|g(x)|是奇函数，故B正确；

对C,因为/(-x)g(r)=f(x)g(x),所以>(x)g(x)是奇函数,故C正确;

对D,因为/[g(-x)]=/[g(x)],所以/[g为)]是偶函数,故D正确.

故选：BCD.

三、解答题

7.(23-24高三上.福建漳州•阶段练习)定义在R上的单调函数满足"3)=lo43且对任意无，yeR都

有/(x+y)=/(x)+/(y).

⑴判断”力的奇偶性，并说明理由；

⑵若/(左•3,)+/&-9-2)<0对任意x«R恒成立，求实数左的取值范围.

【答案】(1)奇函数，理由见解析；

⑵左<-1+2应

【分析】(1)根据奇函数的定义即可求证，

(2)根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为32,-(1+Q.3*+2>0对任意xeR成立.即可换元利用二

次不等式的性质求解.

【详解】⑴"X)是奇函数,

第12页共46页

理由如下：

由〃x+y)=/(x)+/(y)(x,yeR),①

令x=y=O,代入①式，得/(0+0)=/(0)+40),即〃0)=0.

令，=一》，代入①式，得〃尤—X)=〃X)+〃T),又〃0)=0,

则有0=+”—x).即/(-%)=-/(x)对任意xeR成立，

所以/(x)是奇函数.

(2)/(3)=log23>0,即〃3)>〃0),又在R上是单调函数，

所以/⑺在R上是增函数

又由⑴是奇函数.(3'-9'-2)=/(-31+9*+2),

：.k-3x<-3x+9x+2,32”一(1+左)―3工+2>。对任意》《11成立.

令/"=3*>0,问题等价于户-(1+左上+2>0对任意/1>0恒成立.

］+左

令/⑺=/-(1+k)t+2,其对称轴x=——.

当?<0即不<一1时，/(0)=2>0,符合题意；

i+左/、>o

当一20时，对任意f>0,〃。>0恒成立o2-

2［A=(1+Q2—4x2<0

解得-lV%<-l+20.

综上所述，当上<-1+2应时，/(公3，)+/(3"-9，-2)<0对任意xeR恒成立.

8.(23-24高三上•河北保定•阶段练习)已知定义在R上的函数/(元)满足

/(Ay)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(0)<2,/(0)^/(1),且/(x)>0.

⑴求/⑼，〃1)，"T的值；

(2)判断的奇偶性，并证明.

【答案］⑴"0)=1,"1)=2,/(-1)=2

(2)偶函数，证明见解析

［分析］⑴令》=y=0,求得〃0)=1,令x=y=l,求得/⑴=2,令尤=y=-l,求得小1)=2,

(2)令y=-l,再结合(1)的结果和奇偶性的定义可得结论.

【详解】⑴令x=y=。，得〃0)="(0)了-2/(0)+2,

因为了(0)<2,所以/(O)=L

第13页共46页

令x=y=l,得〃1)="⑴7-2〃1)+2,

因为/(0)♦/(1)，所以〃1)=2.

令xr=T,得〃1)=[〃-1)丁-2〃-1)+2,

即"(-1)了=2〃-1),

因为〃x)>0,所以八一1)>0,所以/(-1)=2.

(2)/(X)为偶函数.

证明如下：令y=Tf(-^)=f(-1)/(x)-/(-1)-/(x)+2,

由⑴#/(-x)=2/(x)-2-/(x)+2,

即〃f)=〃x),又〃尤)的定义域为R,所以〃x)为偶函数.

④抽象函数的对称性

解题技法

(1)若函数y=/(a%+6)为偶函数，则函数图象关于直线％=b对称；若函数y=/(a%+b)为

奇函数，则函数图象关于点(5,0)对称.

(2)若函数/(%)在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数/(%)的图象关于直线

久=a对称-导函数/'(%)的图象关于点(a,0)对称；②函数/(%)的图象关于点(a,/(a))对称Q

导函数/'(%)的图象关于直线％=a对称.

一、多选题

1.(23-24高三下•山东•开学考试)函数〃尤)满足：对任意实数都有/(x+yhAxHAy)-2,且当尤>0

时，/(x)>2,贝U()

A."0)=2B.〃尤)关于(0,2)对称C./(-2024)+/(2024)=4D./(%)

为减函数

【答案】ABC

【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.

【详解】由对于任意实数x,y,f{x+y)=/(x)+/(y)-2,

令x=〉=0,贝！］/(0)=/(0)+/(0)-2,即/(0)=2,故A正确；

令。=一X,则f(0)"(x)+—,即/(x)+f(-元)=4,故B正确；

令龙=2024,y=-2024,则/(0)=/(2024)+/•(-2024)-2,

即/(2024)+/(-2024)=4,故C正确；

对于任意yeR，x>0,贝!］设2=%+，>丫，当x>0时，f(x)>2,

则/(z)-f(y)=/(x)-2>0,即f(z)>f(y),

第14页共46页

所以/(X)单调递增，故D错误.

故选：ABC

2.(2024・河北•模拟预测)已知定义在R上的连续函数满足/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

/(1)=0,当xe[0』)时，f(x)>0恒成立，则下列说法正确的是()

A.40)=1B.“X)是偶函数

仁若D-/(x)的图象关于*=2对称

【答案】BCD

【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.

【详解】因为V尤,yeR,/(Jy)+/(x-y)=/(x)/(y),

令x=y=0可得2〃0)=尸(0),解得了(0)=。或〃0)=2,

又当xe[0,l)时,〃x)>0恒成立，所以〃0)=2,故A错误；

令x=o,VyeR,贝(J/(y)+〃-y)=/(o)/(y)=2/(y),即〃一y)=/(y),

所以〃x)为偶函数，故B正确；

令户1，T，则〃1)+呜)=情佃'所以俏卜，

令尤=；,y=g，贝1m+〃0)=O所以吗)=5故c正确；

令尤=1可得〃l+y)+『(l—y)=f⑴〃y)=0,

令l-y=x,可得f(2—x)+/(x)=0,又〃f)=〃x),

所以〃2-力+/(—力=0,即〃2+力+〃无)=0,

所以〃2—x)=/(2+x),

所以/(x)的图象关于x=2对称，故D正确.

故选：BCD

3.(2024•广东•模拟预测)已知函数的定义域为R,若〃x+y+l)=〃x)+〃y)+2,且〃0)=1,则

()

A./(-1)=-1B,无最小值

30

C.»⑺=1425D.“X)的图象关于点(一2,—5)中心对称

i=l

【答案】BCD

【分析】对于A,令x=-l,y=0即可；对于BC,令y=0得，(x+l)=/■(尤)+3,通过递推计算即可；对于

第15页共46页

D,令y=-4-x,得〃尤)+〃T—尤)=-10即可判断函数/(x)的图象关于点(-2,-5)中心对称.

【详解】对于A,令x=-l,y=O,M/(0)=/(-l)+/(0)+2,解得/(-1)=-2,故A错误；

对于B,令y=。，贝4(x+l)=〃x)+/(0)+2,且/(0)=1,即/(x+l)=〃x)+3可知函数〃x)无最小值，

故B正确；

对于C由B知，/(%+l)=/(x)+3,

所以/(1)=/(0)+3=4+0,/(2)=/(I)+3=4+3,/(3)=/(2)+3=4+6,

”4)=〃3)+3=4+9,…则

3030x29

E于①=/(l)+/(2)+/(3)+.-.+/(30)=30x4+——x3=1425,故C正确；

z=i2

对于D,令＞=-4-x,则原式化为〃—3)=〃x)+〃Tr)+2,

令x=-3,y=3,所以/(1)=/(-3)+/(3)+2,即/(—3)=—8,

所以〃x)+/(T-x)=/(_3)-2=-10,所以函数Ax)的图象关于点(-2,-5)中心对称，故D正确.

故选：BCD.

4.(23-24高二下•河北邯郸•阶段练习)若定义在R上的函数〃尤)满足=++

且值域为[-L"),则以下结论错误的是()

A.f(o)=0B./(-1)=0

c.“X)为奇函数D./(X)的图象关于(1,0)中心对称

【答案】ACD

【分析】利用赋值法、函数的奇偶性和对称性，逐项判断即可.

【详解】对于选项A,令元=y=0得/(0)=/(0)/(0)+〃0)+〃0),解得"0)=0或〃0)=-1,

令y=0,得〃0)=〃x)〃0)+〃x)+/(0),

由〃尤)的值域为所以“0)=0时，/(x)=0,不合题意，

所以/(O)=T,A说法错误；

对于选项B,令尤=y=l得〃1)=/⑴〃1)+〃1)+/•⑴，所以"1)=0或〃=

令'=1，得〃x)=〃x)〃l)+〃x)+〃l),即"1)[〃尤)+1]=0,

由〃尤)的值域为卜1,y)，所以/'(1)=0,

令X=y=T得/(1)=/(-1)/(-1)+/(-1)+/(-1)=o,所以"T=0或"T)=-2,

由“X)的值域为卜1，心)，所以=B说法正确；

对于选项C令y=T得=1)+〃力+〃-1),

因为"-1)=0,所以〃T)=〃X),所以为偶函数，C说法错误；

第16页共46页

对于选项D,若图象关于(LO)中心对称，贝!J，(x)+7(2-x)=0,由于定义域为R,值域为[-L"),

若/(x0)=2,则必有/(2-尤o)=-2,与题设矛盾，故D说法错误；

故选：ACD

5.(2024.浙江.模拟预测)已知函数“X)的定义域为R,/(1)=1,/(x+y)=/(x)+/(y)+/W/(y),

贝I」()

A.f(O)=-lB./(-%)/(%)<0

C.>=启二为奇函数D.

仆)+2M12J

【答案】BCD

【分析】利用赋值法求得/(0)即可判断A；利用赋值可得=2/惇1+/2并且判断出,

由不等式的性质可得l+F(x)>0,即可判断B；利用函数的奇偶性以及g(0)的值即可判断C；利用等比数

列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得2”-忘-5,即可判断D.

【详解】令x=l,y=0,则〃1)=〃1)+〃0)+41)〃0),将/(1)=1代入得"(0)=0,即"0)=0,故

A错误；

由"0)=0,令了=一%可得0=『(x)+〃—x)+『(x)〃f),若存在x使得/=

则上式变为0=-1,显然不成立，所以

又小)=v+1]=2个卜2小格卜卜1,

因为/(加-L,所以八句＞—1,

将o=/(X)+〃一力+y(力〃-力整理为/(-x)(l+/(x))=-/W，

因为〃尤)>T，BPl+/(x)>0,所以〃尤)〃一龙)40,故B正确;

令g(x)=/j\(xeR)'

“X)+=2(〃X)+/(T)+L(T))=0

则g(x)+g(-x)=

〃x)+2f(-x)+2-(/(x)+2)(/(-x)+2)一"

,、/(O),、

且g(O)=瑞3=0,所以g(x)为奇函数，故C正确；

当〃eN*时,/(»+1)=/(«)+/(1)+/(»)/(1)-2/(«)+1,■:若=2,

所以｛7(无)+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以/5)+1=2",

第17页共46页

由〃x)+l=/0+l可知Uj=2",

因为j所以/［与］=2岂1(八旷),

所以E2学一1,2「J)一5=2”一应一5<2”,故D正确;

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进

行分析，由此即可顺利得解.

二、单选题

6.(2024•河北・二模)已知函数y=〃x-l)为奇函数，则函数y=〃x)+l的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点(1,-1)对称

C.关于点(-M)对称D.关于点对称

【答案】C

【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.

【详解】函数y=/(x-i)为奇函数，图象关于(o,o)对称，

将函数y=7'(x-i)向左平移一个单位可得函数y=f[x),

则函数y=/(%)关于(-1,0)对称，

所以函数>=〃力+1的图象关于(-U)对称.

故选：c.

7.(2024.四川.三模)定义在R上的函数y=与y=g(x)的图象关于直线x=l对称，且函数

y=g(2x-l)+l为奇函数，则函数y=〃x)图象的对称中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

【答案】D

【分析】先根据条件得到g(x)的对称中心，再根据对称得到y=的对称中心.

【详解】因为y=g(2x-l)+l为奇函数，所以g(—2x—l)+l=—g(2x—1)-1,

即g(-2龙一l)+g(2龙-1)=一2,

故g(x)的对称中心为『1；2尤T,_jBP(-1,-1),

由于函数y=〃x)与y=g(x)的图象关于直线X=1对称，

且(-1,-1)关于X=1的对称点为(3,-1),

第18页共46页

故y=的对称中心为(3,-1).

故选：D

8.(2024高三.全国・专题练习)已知函数Ax)的定义域为R,/⑺的图象关于直线x=2对称，/(3x+l)为

奇函数，贝I()

A./(-D=0B.C=。C./(4)=0D./(2)=0

【答案】A

【分析】由广⑴的图象关于直线x=2对称可得/(2+x)=/(2-x),函数/(3尤+1)为奇函数，贝！J

/(l-3x)=-/(3x+l),可得f(x)=/(无+4),计算可求得了(—1).

【详解】因为函数/⑴的图象关于直线x=2对称，则/(2+x)=/(2-x),可得〃x+3)=/(l-无)

因为函数f(3x+l)为奇函数，则/(1-3幻=-/(3尤+1),所以/(l-x)=-/(x+l),

所以/(x+3)=-f(x+l),故/(x+2)=-〃x),即f(x+4)=f(x),

故f(x)是以4为周期的周期函数.

因为函数F(x)=/(3x+l)为奇函数，则尸(0)=/(1)=0,

M/(-I)=/(2-3)=/(2+3)=/(5-4)=/(I)=0,

其他三个选项由已知条件不能确定结果是否为0.

故选:A.

⑤抽象函数的周期性

一、单选题

1.(2024.四川成都.模拟预测)已知定义在R上的奇函数/⑴满足〃x+3)=/(x-l),且当xe(-2,0)时，

/(x)=log2(x+3),则/(2021)-/(2024)=()

A.1B.-IC.l-log23D,-l-log23

【答案】B

【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.

【详解】根据题意，函数”无)满足〃x+3)=/'(尤-1),贝！J/(x)=f(x+4),即f(x)是周期为4的周期函数,

所以y(2021)=〃1),/(2024)=/(0),又由函数Ax)为定义在R上的奇函数，贝1〃。)=。，/(-I)=-/(1),

当xe(-2,0)时，/(x)=log2(x+3),贝！]/(-1)=log?2=1,则/⑴==T,

所以/(2021)-/(2024)=-1,

故选：B.

2.(2024高三・全国・专题练习淀义域为R的函数Ax)满足/(x+2)=2/(x)，当xe[0,2)时，/(x)=J11,