2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：拓展-中点点弦问题

第07讲拓展一：中点弦问题

一、知识点归纳

知识点01：相交弦中点（点差法）：

直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际

情况处理该式子。

主要有以下几种问题：

（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；

中点%=七迤，%=2|生

知识点02：点差法：

2222

设直线和曲线的两个交点4（西,％）,8（々,为），代入椭圆方程，得%+4=1；与+终=1；

abab

将两式相减，可得立W+Jj=O；a+X2”「X2）=—（/+%），「%）；

a2b2ab-

最后整理得：1=，；（%+%）（…）=I=-^4.A

b（再+%2）（玉一无2）bx0

同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=：。+%）『％）=1=^,£_.A

b（Xj+x2）（x1-x2）bx0

设直线和曲线的两个交点4（X],%）,8（%,%），代入抛物线方程，得必2=2p%；）^=2匹；

将两式相减，可得（乂—乃）（％+%）=2。（王—々）；整理得：=——

XX

1-2%+丁2

二、题型精讲

题型01求直线方程

22

【典例1】（2023春•宁夏吴忠•高二吴忠中学校考期中）过点M（1,1）的直线与椭圆乙+乙=1交于AB两点,

43

且点M平分弦AB,则直线的方程为（）

A.4%+3>-7=0B.3x+4y-7=0

C.3x—4y+l=0D.4%—3y—1=0

【答案】B

+日=1①

3

【详解】设4（占,月）,3（%,%）,直线/斜率为％,则有<

+立=1②

43

①②得（芭+%）（芭一马）1（%+>2）（%->2）_0,

因为点A7为AB中点，贝!）为+无2=2,必+必=2,

所以九二三+2（%-=o,即4=AZA=_1.,

23占一尤24

所以直线/的方程为y—1=—：（x—1）,整理得3%+4y—7=0

故选：B

22

【典例2】（2023秋・新疆巴音郭楞•高二校考期末）（1）求过点（2,0）,与双曲线匕一上=1离心率相等的

6416

双曲线的标准方程.

（2）已知双曲线;->2=1,求过点A（3,-l）且被点A平分的弦所在直线的方程.

【答案】（1）（2）3x+4y-5=0.

【详解】⑴・••双曲线过点（2,0）,.•.所求双曲线的焦点在x轴上，

22

又所求双曲线离心率与双曲线匕-二=1离心率相同,

6416

22

二可设其方程为：二-乙=〃彳>0）,

6416'7

将（2,0）代入双曲线方程得：2=2,则所求双曲线标准方程为：^-/=1.

（2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在，

可设其方程为：y+l=%（x-3）,即产区-301,

y=kx-3k-l

由K得：（1一442）尤2+8左（3左+1）无一36左2—24左一8=0,

彳

1—4K

又A（3,-l）为MV中点，;.A^=_4：（3：；）=3,解得：k=~,

当左=一：时，满足A=36x1|-4x（_：]x]-?]=5>0,符合题意;

41614八4）

35

，所求直线MN的方程为：尸丁+“即3x+4I=。；

方法二：设法（"J,、（%,%），

均在双曲线上，:,

两式作差得：…

直线MN的斜率％=乏*=［立乜，

玉一%4%+%

3

又A（3,—l）为肱V中点，，XI+X2=6,%+必=-2,=

经检验：该直线MN存在，

••・所求直线MV的方程为：y+l=-^（x-3）,即3尤+4y-5=0.

【典例3】（2023春•四川•高二统考期末）已知直线/与抛物线C:y?=8x相交于A、8两点.

⑴若直线/过点。（4,1）,且倾斜角为45。，求|的的值；

⑵若直线/过点。（4,1）,且弦A8恰被Q平分，求A8所在直线的方程.

【答案］⑴8君

（2）4x-^-15=0

【详解】（1）因直线/的倾斜角为45。，所以直线/的斜率左=tan49=l,

又因直线/过点。（4』），

所以直线/的方程为：广1=无-4,即汗尤-3,

联立丁=也得彳2-14犬+9=0,

设/（勺，九），夕（乙，九），

所以4+/=",xAxB=9,

22

所以|=^（1+Z:）［（XA+XB）-4XA］={2x（142—4x9）=86

（2）因A、8在抛物线C:V=8无上，

所以犷=84，y；=8XB,

两式相减得：y；-需=8尤A-84,

y—y888.

得A__JBB_=----------=——=-=4

'xA-xByA+yB2y22

故直线/的斜率为4,

所以直线/的方程为：y-l=4（x-4）,即4x-y-15=0

2

【变式1］（2023・全国・高三专题练习）过点网2,1）的直线/与双曲线/一1_=1相交于4,8两点，若P是线

段A5的中点，则直线/的方程是（）

A.6%-^-11=0B.6x+y-13=0

C.2x-3y-l=0D.3x-2y-4=0

【答案】A

Aj------1

【详解】解：设4（和乂）,巴.乂），贝U台,

两式相减得直线的斜率为k=生*=3（*+/）=手=6,

又直线/过点P（2,l）,

所以直线/的方程为6x-y-ll=0,

经检验此时/与双曲线有两个交点.

故选：A

【变式2]（2023春•河南•高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆C:J3=l(a>6>0)的长

a

轴比短轴长2,椭圆C的离心率为立.

4

⑴求椭圆C的方程；

（2）若直线/与椭圆C交于两点，且线段4?的中点为加（-2,1）,求/的方程.

22

【答案】⑴土+匕=1

169

⑵9元-8y+26=0

【详解】（1）因为椭圆C的离心率为立，所以工=1一1,解得2=]..

416a2a4

又椭圆C的长轴比短轴长2,所以2a-2/?=2,

b3

—=—r<2=4,

联立方程组a4,解得，:

2a-26=2i

22

所以椭圆C的方程为土+匕=1.

169

(2)显然点M(-2,1)在椭圆9f+i6y2=i44内,

+16^=144

,因为在椭圆C上，所以

+16必=144

两个方程相减得9（x；-x；）+16（y；-£）=0,即9（为一超乂%+%2）=-16（^-^2）（^+

因为线段AB的中点为“(-2,1),所以玉+%=-4,%+%=2,

»一%9-49

所以__V__一_

162—8.

x1-x2

g

所以/的方程为V—1=晟(％+2),即9x—8y+26=0.

8

【变式3](2023春•内蒙古呼伦贝尔•高二校考阶段练习)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为

万,4(%-9)是抛物线C上的点,K|AF|=15.

⑴求抛物线C的方程；

⑵已知直线/交抛物线C于两点，且MN的中点为(6,T),求直线/的方程.

【答案】⑴V=-24y

(2)x+2y+2=0

【详解】(1)因为|A典=9+§=15,

所以P=12,

故抛物线C的方程为V=-24y.

两式相减得尤=-24(%一%)，整理得』二包=一五沪.

七一K

/、Vi-121

因为MV的中点为(6,-4),所以％T==-五=-不，

所以直线/的方程为y+4=-g(尤-6),即x+2y+2=0.

题型02处理存在性问题

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)已知抛物线C：d=2py(p>0)的焦点为£E为C上的动点，EQ垂

直于动直线y=f(r<0),垂足为Q,当△E。尸为等边三角形时，其面积为4百.

⑴求C的方程；

22

⑵设。为原点，过点E的直线/与C相切，且与椭圆上+匕=1交于A,8两点，直线。。与A3交于点",

42

试问：是否存在f,使得|4〃|=忸M|?若存在，求f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴Y=4y；

(2)r=-l.

【详解】(1)；AEQ/为等边三角形时，其面积为46，

1x|£2|2siny=4V3,解得|明=4,

根据年刊=但。|和抛物线的定义可知，。落在准线上，即y=/=-|,

设准线和y轴交点为H,易证=于是F2|cos1=2=|m卜p,

C的方程为无J4y；

(2)假设存在/,使得则M线为段AB的中点，

设E、,，|("0),依题意得0(”，则后2=:,

由y=亍可得y=|,所以切线/的斜率为左=；/，

设A(4yJ,B(x2,y2),线段AB的中点M］七强

所以一%)+(必+%)(%一%)=0

42

整理可得：卡y-％1.y箕+告必=-15,即勺1所以15无。.勺M=_1J，

七一超七十元2222Z

7177/

可得％0M=---，又因为左0。=%0"=一，

所以当f=—l时，k0Q=k0M=--,此时O,M,Q三点共线，满足〃为A8的中点，

尤0

综上，存在心使得点/为AB的中点恒成立，/=-!.

【典例2］（2023春•江西萍乡,高二校联考阶段练习）已知双曲线01-1=1（°>0/>0）的右焦点为尸（«,0）,

ab

且C的一条渐近线经过点O（A/2,1）.

⑴求C的标准方程；

（2）是否存在过点尸（2,1）的直线/与C交于不同的A,B两点，且线段A3的中点为尸.若存在，求出直线/的方

程；若不存在，请说明理由.

22

【答案】⑴工-匕=1

42

⑵不存在，理由见解析

【详解】⑴解：因为双曲线C的右焦点为尸（五0）,所以c=",可得/+加=6,

b1

又因为双曲线C的一条渐近线经过点。（点,1）,可得£=&，即〃=2"，

f+〃2=6

联立方程组2，解得标=44=2,

［片=2b2

22

所以双曲线C的标准方程为上-匕=1.

42

（2）解：假设存在符合条件的直线/,易知直线/的斜率存在，

设直线/的斜率为鼠且4和%）,8（々，为），

4上1）

则42，两式相减得尤;一只=2（才一货），所以二21.空造=；,

X

X2y2］%2%十12乙

彳一下一

21

因为AB的中点为尸（2,1）,所以外+々=4,%+%=2,所以左x：=彳，解得左=1,

42

直线/的方程为k1=彳-2,即y=x-l,

22

把直线y=x-l代入土-乙=1,整理得尤2-4X+6=0,

42

可得A=（-4）2-4X6<0,该方程没有实根，所以假设不成立，

即不存在过点尸（2.1）的直线/与C交于A8两点，使得线段的中点为尸.

22

【变式1］（2023秋•重庆北培•高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线C：^-1r=1（。>0力>0）的渐近

线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为2.

⑴求C的方程；

（2）是否存在直线/,经过点M（L4）且与双曲线C于A,8两点，M为线段A8的中点，若存在，求/的方程:

若不存在，说明理由.

2

【答案】⑴」2一匕=1

4

（2）存在;y=X+3.

【详解】（1）双曲线C：m-1=l（a＞0）＞0）的渐近线为y=±2尤，

aba

h

因为双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以2=2,

a

|2c|_

又焦点（c,o）到直线y=2x的距离d=/+（\）2=2,所以c=百，

2

又/=4+〃，所以〃=1,b2=4,所以双曲线方程为Y一二=1

4

（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设B（x2,y2）,直线/的斜率为％,则玉+%=2,

%+丫2=8,

两式相减得x；一W一?+1=0,即（＞+可-%）=«+%-%）

即'3+:4,所以缺=4,解得左=1,

（一+%）（%-%）

所以直线/的方程为＞-4=尤-1,即y=x+3,

经检验直线/：＞=尤+3与双曲线C有两个交点，满足条件，

所以直线/的方程为了=尤+3.

题型03求弦中点的轨迹方程

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知曲线r上一动点尸到两定点4（0,-2）,工（0,2）的距离之和为4拒，

过点。（—1,0）的直线L与曲线「相交于点3（孙幻.

⑴求曲线「的方程；

（2）动弦AB满足：AM=MB＞求点M的轨迹方程；

22

【答案】⑴匕+土=1

84

（2）（2r+l）2+2/=l；

【详解】（1）因为动点尸到两定点片（。,-2）,耳（0,2）的距离之和为40＞4，

所以曲线「是以耳（0,-2）,鸟（0,2）为焦点的椭圆，c=2,2a=40，

22

所以0=2后，万2=/_02=4,所以曲线「的方程为匕+土=1；

84

（2）因为而=砺，所以M为A8中点，设M（x,y）,

当A3的斜率存在且不为0时，将"孙必）代入椭圆方程中得：

止+江=1,岂+立=1,两式相减得上犬+立二五=o,即江空左=-2,所以矶（“=-[=-2,

848484%一马x1+x24

即%“小。”=-2,2.）=一2,整理得（2x+iy+2y2=l；

x+1X

当A3的斜率不存在或为0时，有"（TO）或M（0,0）,也满足（2x+l）2+2y2=l；

所以点M的轨迹方程是（2x+iy+2y2=l；

22

综上，曲线「的方程为1+?=1,点M的轨迹方程是（2r+l）2+2y2=l.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线V=2x,过点。（2,1）作一条直线交抛物线于A,8两点,

试求弦A8的中点轨迹方程.

【答案】=X~\'

【详解】方法1：设A（为，M）,3（々，必），弦A3的中点为M（x,y）,贝lj%+%=2y,

当直线A5的斜率存在时，3rl=言.

Ji=2尤］,

因为＜两式相减，得（％+%）（%-%）=2（%一%2）.

%=2々,

所以2y.%二&=2,即订.上二=2,

%一X2x-2

当直线A8斜率不存在，即AB人x轴时，AB的中点为（2,0）,适合上式,

故所求轨迹方程为I=x4

丁-1=(-2)

方法2：当直线A3的斜率存在时，设直线的方程为y-l=Mx-2）（丘0），由

r=2x,

k

—y2—y+1—2^=0.

所以

所以左e（T»,0）U（0,"»）.

设4（%,%）,3（孙力）,AB的中点为尸（x,y）,

22(1-2k]

则nily+%=%，乂%=-^--

kk

所以外+%=+£)=；[(%+%了-2%%]

1F44(1-2%)2-2k+4k2

2k2

2k2-k+l

2k2

所以

一1

I,

消去参数3得I=x4

当直线AB的斜率不存在时，即ABIx轴时，A3的中点为（2,0）,适合上式,

故所求轨迹方程为y4I=T

22

【变式1］（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆亍+（=1的弦A3所在直线过点E（U）,求弦AB中点歹

的轨迹方程.

【答案】3x2+4y2-3x-4y=0

西+冗2=2x

【详解】设A（&X），3®,%），弦AB的中点网％y）,则

%+%=2y

+人=1

将A8代入椭圆方程得

+3=1

两式相减得（%+%）（%—%）++%)(%一%)二o

431

(石-％)八

所以工I-U，

23

当…岫尹七寸=2沾、二=°'

因为％EF=^B，所以％二殳=2三，则

玉一%223x-1

当国=%时，则直线A3方程为x=l,代入椭圆方程解得,T-l

所以网1,0）满足上述方程，

故点尸的轨迹方程3*+4y2-3x-4y=0.

【变式2］（2022•全国•高三专题练习）椭圆工+9=1,则该椭圆所有斜率为;的弦的中点的轨迹方程

42

为______________

【答案】y=-j（-V2<x<V2）

【详解】设斜率为1的直线方程为y=+与椭圆的交点为4（4%）,3（々,%），

设中点坐标为（X,y）,则:黄=一3，后逗=x，MfM=y，

国2

“I

，两式相减可得（网一々）（彳+毛）

所以=（%一%）（必+%），

X，4

2=1

即，*

X221

=1

.2

—4+y

由于在椭圆内部，由<得工+法+。2_1=0,

y=—x+b2

2

所以A=^-2伊-1）=0时，即）=±&直线与椭圆相切,

此时由+±0x+l=O解得x=e或x=_0,

所以一0〈尤<四，

所求得轨迹方程为y=-j（-V2<x<y/2）.

故答案为：y=-|（-V2<x<V2）.

题型04确定参数的取值范围

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C：—+y2=l,A为椭圆的下顶点，设椭圆C与直线

3

/=丘+根（左/0,相>£|相交于不同的两点以、N,尸为弦跖V的中点，当APLMV时，求机的取值范围.

【答案】［；，2）

y=kx+m

【详解】由题设，联立M_,得(3妤+l)f+6优依+39»-1)=

20,

丁'=

由题设知A=36m2)t2一12(3左2+1)(疗_])>0,即病<3/+1①,

-6mk3(m2-1)

设N(x,y)

22则xl+x2=：3〃+1'—3Jt2+l

因为「为弦MN的中点,

3mkm

,)^^yP=kxp+m=~~

3r+1女+1

又由题意知A(0,T),左w0,m＞；,

3上m+3k2+1

xp3mk

•••AP1MN,贝+=即2m=3公+1②,

3mkk

把②代入①得2根〉病，解得0＜根＜2,又机＞/,

故机的取值范围是,,2)

22

【典例2】(2022•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测)已知椭圆C:二+3=l(a＞b＞0)的左、右焦点分

ab

别为£(-c,0),鸟(c,0),离心率e为正，直线/:〉=依尤+。)("片0)和椭圆交于48两点，且△AB外的周长为

2

8vL

⑴求C的方程；

(2)设点T为线段A3的中点，O为坐标原点，求线段OT长度的取值范围.

22

【答案y；

(2)(0,2).

【详解】(1)由椭圆的定义知，△人3名的周长为4〃=80，所以Q=2夜,

Q22

由离心率e=£=在，解得c=2,所以C的方程为工+二=1.

a284

(2)设AB,7的坐标分别为A(%,%),3(孙%)，T。,y),

则有4+近=1①，看+货=1②，2^A=y,

848422

由①-②可得：＜+犬一＜=0,即a+、)a-—)+(乂+%)(%—%)=0,

8484

将条件变五=X,空=,及

/.2A,-X]x十/

22

带入上式可得点T的轨迹方程为x+2x+2y=0,

J5|fLU|0712=x2+y2=x2-1(x2+2x)=|x2-x,xe(-2,0),

所以0<|OT『<4,

所以线段I。□长度的取值范围为(0,2).

【变式1](2023,天津•校考模拟预测)已知曲线C的方程为丁=4x(尤>0),曲线E是以耳(-1,0)、&(1,0)为

焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|P&|=g.

⑴求曲线E的标准方程；

(2)直线/与椭圆E相交于A、B两点,若AB的中点M在曲线C上，求直线/的斜率k的取值范围.

22

【答案】(1),+5~=1

(2)-亚<左<逅且左w0

88

22

【详解】([)设椭圆方程为1+2=13>6>0),

ab

依题意，c=l,1至1=5|，利用抛物线的定义可得5解得芍=；?，

,尸点的坐标为§,平)，所以|户用=(,

75

由椭圆定义，得+鸟|=g+§=4,a=2.

b2=a2—c2=39

22

所以曲线E的标准方程为土+工=1;

43

(2)设直线/与椭圆石的交点A&,y),B(X2,%)，A,6的中点M的坐标为(%，%)，

设直线/的方程为〉=米+根(左w。，加。0),

(当左=0时，弦中点为原点,但原点并不在V=4x(%>0)上,同样加=0弦中点为原点，不适合题意)

与土+乙=1联立，得(3+4%2)/+8输+4疗-12=0,

43

由A>0得442—根2+3〉。①，

-8km4m2-12

由韦达定理得,X]+%2——A12'%X]=~

一3+4k~123+4公

-4km.3m

贝n.!i]%=----K,y=kx+m=----，

03+4k2n°Q03+4kT2

Tkm3m

将中点(-•)代入曲线C的方程为/=4无(X>0),

3+4/'3+4/

整理，得9/"=-16左（3+4公），②

将②代入①得16*（3+4公）<81,

令：=4/什>0）,则64〃+]92—81<0,解得0<r<|,.

所以直线/的斜率上的取值范围为-且<%〈理且b0.

88

【变式2]（2023春•内蒙古赤峰•高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为耳（0,-2日），鸟（0,20）,

且离心率6=述.

3

（1）求椭圆的方程；

（2）直线/（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A3,且线段AB中点的横坐标为-；，求直线/倾斜

角的取值范围.

【答案】（1）尤2+q=1；（2）直线/倾斜角的取值范围为（J,?）口©，。

92332

22

【详解】（1）设椭圆方程为%+、=1(4>。>0),

由题意得c=2夜，e=£=2也，所以。=3,

a3

b2=a2-c2=1,

2

所以椭圆的方程为一+匕=1;

9

(2)设直线/的方程为y=丘+根(左w。)，

y=kx+m

由<oy2W(^2+9)x2+2hwc+m2-9=0,

x+—=1

19

则A=442加2_4伏2+9)(苏—9)>0,即左2—苏+9>0①,

%），则%晨,

设A(%,yj,B(X2,+9=—

11O

因为线段AB中点的横坐标为-所以2x（-fl^IgTl,

化简得左2+9=2初7,所以m=工汇②，

2k

把②代入①整理得/+6左2_27>0，解得k〈Y或k>5

所以直线/倾斜角的取值范围为（J,各59，9.

乙3》乙

题型05定值问题

【典例1】（2022•全国•高二专题练习）已知椭圆C:g+与=l（a>b>0）的离心率为正，直线x=-2被椭

圆C截得的线段长为20.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过椭圆C的右焦点/与坐标轴不垂直的直线/交C于点A,8,交y轴于点E,尸为线段AB的中点，

EQLOP且。为垂足.问：是否存在定点H,使得。”的长为定值？若存在，求点H的坐标；若不存在，请

说明理由.

22C1A

【答案】⑴二+二=1；⑵存在，定点H匕,0.

84U）

【详解】（1）由题意得：e=-=^-,a2-b2=c2,化简得4=2廿，

a2

22

故C的方程为：表+}=13>0）

将x=-2代入椭圆C的方程得：2,

所以2A份一2=2应，解得：/=4，所以/=2/=8,

22

所以椭圆C的方程：—+-=I；

84

（2）设A（占,%）,3（%,%）,户（不，儿），直线的方程为丫=笈（%一2）,

则直线与，轴的交点为矶0,-2左）

区+近=1,得上2"白-；

由

84x2~x\x2+xiX2

又k=王»=所以上”=一二，故OP的方程为y=-jx,

X2-%1

由EQLOP得：kEQ=2k,

所以直线EQ的方程为y=2履-2左，即y=2左（x-l）,

所以直线EQ过定点M（LO）,

所以。在以OM为直径的圆％2+,2_%=0上，

所以存在定点使QH的长为定值

22

【典例2】（2023春•湖南株洲,高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线C:二-3=1（a>0,b>0）的

ab

渐近线方程为y=土&,焦点到渐近线的距离为73.

⑴求双曲线C的方程；

（2）设A,3是双曲线C右支上不同的两点，线段的垂直平分线/交于“，点”的横坐标为2,则是

否存在半径为1的定圆P,使得/被圆尸截得的弦长为定值，若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明

理由.

2

【答案】⑴/一匕=1;

3

(2)存在,定圆尸:(x-8)2+/=l

【详解】⑴设双曲线的右焦点与(G0),则点1(c,0)到渐近线氐+y=0的距离为6,