2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：拓展之三角形中周长（定值最值取值范围）问题（学生版+解析）

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高频考点一遍过............................................2

高频考点一：周长（边长）定值（求周长）...........................2

高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）.....................3

高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）.........................4

高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）..................6

高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）.................7

高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）.........31

频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）9

第一部分：基础知识

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式疝也，在结合余弦定理求周长取值范围；

2

2、利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据

角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：周长（边长）定值（求周长）

典型例题

例题1.（2024•全国•模拟预测）在ABC中，角A,民C所对的边分别为aeGABC的外接圆半径为R,且

cosB=-,a-y/2b=2RcosA.

⑴求sinA的值；

，一119

⑵若JlBC的面积为t二7,求一ABC的周长.

例题2.（2024•湖南常德•三模）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且

sin2A+sin2B+sinAsin5=sin2C・

⑴求角C;

（2）若4，b,。成等差数列，且一MC的面积为"求」1BC的周长.

4

【答案】①g2兀

(2)15

练透核心考点

1.（23-24高一下•天津静海•阶段练习）在,ABC中，角A、8、C所对的边分别为。、b、c,已知

asinB+yfibcosA=0.

（1）求角A的大小；

（2）若°=2/，且SMC=2百，求.ABC的周长.

2.（23-24高一下•云南昆明•阶段练习）在中，角ABC所对的边分别为a,反c,且加osC+也csinA=b+c.

（1）求A；

⑵已知一/WC的面积为延，设M为8c的中点，且AM=后，求一ABC的周长.

高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）

典型例题

例题：1.（2024・四川成都•模拟预测）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.ABC的面

工rca2sinBsinC

积$=----------.

cosA

⑴求tanA；

（2）^sinBsinC=~~>a=2,求Z^+c?.

例题2.（23-24高三下•重庆•阶段练习）在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,_ABC的

面积为S,且4S+g伊_/“2）=0

⑴求角B的大小；

⑵若一ABC外接圆的半径为1,边AC上的高为3E=1,求a+c的值.

练透核心考点

1.（2024・四川成都,模拟预测）在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知.ABC的面积

a2sinBsinC

s=----------------.

cosA

⑴求tanA；

（2）若cos5cosc=—^^,。=2,求Z?2+02.

2.（23-24高三上•广东湛江•期末）在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,a=3也,

asinB=Z7sinA+—.

I3j

⑴求角A；

⑵作角A的平分线与5C交于点。，且AD=6，求b+c.

高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）

典型例题

例题L（2024•陕西宝鸡•模拟预测）一ABC中，。为8C边的中点，AD=1.

（1）若dSC的面积为2g,且ZWC=M，求sinC的值;

（2）若A82+AC2=IO,求一ABC的周长的最大值.

例题2.(2024高三・江苏•专题练习)如图，ABC中，角A、B、C的对边分别为〃、b、c.

B

(1)若3a-c=3〃cosC,求角6的余弦值大小；

(2)己知6=3、B=p若。为ABC外接圆劣弧AC上一点，求八位)。周长的最大值.

练透核心考点

1.(23-24高三下广东•阶段练习)在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,A=j.

(1)若C=2ZJ,证明：(sinA+sin3)(sinA—sin3)=sinBsinC；

(2)若a=2,求一43c周长的最大值.

2.(23-24高三上•江苏盐城•阶段练习)已知ABC的内角A8,C的对边分别为

a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且_ABC的面积为

(1)求C;

(2)求一ABC周长的最小值.

高频考点四：周长(边长)最值(边的代数和最值)

典型例题

sinC-sinAsinB

例题(23-24高三上•安徽•阶段练习)记的角A,8,C的对边分别为a,6,c,且

1.«c-bc+a

(1)求A；

(2)若6=2/，求"的最小值.

例题2.(23-24高三上•福建福州•期中)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设

(sinB+sinC)-=sin2A+sinBsinC.

(1)求A

(2)若A。为NA4C的角平分线，且AD=1,求46+c的最小值.

练透核心考点

b

1.(23-24高三上•广东广州•阶段练习)已知ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且三

cosCcos8

(1)求角8的大小；

⑵若3C的中点为。且4。=若，NBAD=9,请写出。与。的关系式，并求出a+2c的最大值.

3

2.(22-23高一下•安徽六安•期末)从条件①b—CCOSA=Q(石sinC—1卜②sin（A+5）

Me用中4任

选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在4ABe中：内角A,民C的对边分别为a,b,c,,

(1)求角C的大小；

2

⑵设。为边A2的中点，求枭CD的最大直

高频考点五：周长(边长)取值范围(周长取值范围)

典型例题

例题1.(23-24高一下•河南商丘•阶段练习)设锐角三角形ABC的内角A氏C的对边分别为。，b,c,已

知2ccosB=a(2-/?),且C=■1.

(1)求。的值；

(2)若。为3c的延长线上一点，且=求三角形AC。周长的取值范围.

6

例题2.(23-24高三上•河南新乡•阶段练习)ABC的三个内角A,B,。所对边的长分别为。，b9c,设向

量/?=(a+c,sin5),q=(b-a,sinC-sinA),p//q.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2,求一ABC周长的取值范围.

例题2.(23-24高一下•浙江宁波•阶段练习)在锐角,ABC中，已知6=2百,2a-c=2bcosC.

⑴求3；

⑵求3a+2c的取值范围.

例题3.(23-24高一上•浙江绍兴•期末)在,ABC中，内角A民C对应的边分别为。，b,c,^2c2=a2+b2.

112

⑴证明：--+―-=;

tanAtanBtanC

(2)求:的取值范围.

b

练透核心考点

1.(23-24高一下•上海•假期作业)在ABC中，已知"=———,且cos(A-B)+cosC=l-cos2C.

asinB-sinA

(1)试确定的形状；

(2)求牛的值.

b

2.(22-23高一下•江苏•阶段练习)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

A/3(ocosC+ccosA)=2Z?sinB.

⑴求角8的值；

(2)若6=2百，求片+°2的取值范围.

3.（23-24高三上•黑龙江牡丹江•阶段练习）已知，ABC的内角A,&C的对边分别为a,b,c,且

ccosB-2acosA=bcosAcosB-asin2B-

（1）求A；

（2）若。=也，。为ABC的内心，求303+2OC的取值范围.

频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）

典型例题

例题1.（23-24高一下•河南洛阳•阶段练习）在一ABC中，角的对边分别为a,b,c,且

sinBa

=1.

sinA+sinC------b+c

（1）求角c的大小；

（2）若ASC为锐角三角形，且〃=4,求ABC周长的取值范围.

例题2.（23-24高三下•黑龙江•阶段练习）已知在锐角三角形AfiC中，边a,b,c对应角A,B,C,向量

机=（2cosA,百），=^sinA-,cos2,且加与〃垂直，c=2.

⑴求角A；

（2）求〃+b的取值范围.

例题3.(2023•四川成都一模)已知函数/(x)=26sinxcosx+2cos2%-1.在锐角ABC中，角A,B,C的

对边分别是a,b,c,且满足〃A)=L

(1)求A的值；

(2)若6=1,求a+c的取值范围.

练透核心考点

1.(2023•全国•模拟预测)在锐角A5C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=b(l+cosA).

(1)证明：A=2B；

⑵求£的取值范围.

a

2.(23-24高三上•安徽•阶段练习)在锐角WC中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且4=/+庆.

(1)证明：A=2B；

(2)若c=2,求ABC的周长的取值范围.

3.(22-23高三上•浙江丽水•期末)已知锐角ABC内角AB,C的对边分别为a,b,c.若

bsinB-csinC=(b-a)sinA.

(1)求C;

(2)若c=6，求a-b的范围.

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高频考点一遍过............................................2

高频考点一：周长（边长）定值（求周长）...........................2

高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）.....................3

高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）.........................4

高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）..................6

高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）.................7

高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）.........31

频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）9

第一部分：基础知识

1、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式J法〈巴心，在结合余弦定理求周长取值范围；

2

2,利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据

角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：周长（边长）定值（求周长）

典型例题

例题1.（2024•全国•模拟预测）在ABC中，角A,民C所对的边分别为aeGABC的外接圆半径为R,且

3

cosB=-,a-y/2b=2RcosA.

⑴求sinA的值；

，一119

⑵若JlBC的面积为tn，求一ABC的周长.

【答案】⑴述

10

（2）260+20

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；

（2）由（1）求出sinC,再根据正弦定理可得出4c的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得

解.

nb

【详解】（1）由a—后=2HcosA,结合正弦定理「=—^=2R,

sinAsinB

得sinA—&sinB=cosA,化简得sin（A-1]=sinB,

因为A,5«0,7i）,且AB不同时为钝角，则A-：号],

TT

所以4一；=8,

4

XcosB=1,所以sinB=3,因止匕sinA=sin（B+无]=2^；

5514）10

（2）由（1）矢口sinA=^^,cosA=cos（3+/]=一^^,

10I4）10

则sinC=sin（8+A）=sinBcosA+sinAcosB=，

由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=35直:40:17^2，

令a=35同化＞0）,贝1」。=40左,0=17岳，

则S^ABC=-absinC」x35后x40左x小色=—,解得k=^~,

△Me22502510

因此„ABC的周长为35忘+4。+17应=26.+20

105

例题2.（2024•湖南常德•三模）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且

sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C•

⑴求角C;

⑵若“，b,c成等差数列，且,ABC的面积为M,求一ABC的周长.

4

【答案】⑴与2兀

（2）15

【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出6+〃+"=。2；再结合余弦定理得出cosC=-J即可求解.

（2先根据“，b,c成等差数列得出a+c=26；再利用三角形的面积公式得出必=15；最后结合⑴中的

a2+b2+ab=c2,求出。，b,。即可解答.

【详解】（1）因为sin?A+sin?5+sinAsin3=sin?。，

由正弦定理==可得：a1-^-b2+ab=c2.

sinAsinBsinC

a2+b2-c2a2+b2-(a2+b2+ab)

由余弦定理可得：cosC=

2ab2ab2

又因为Ce（0,兀）,

所以C=g.

（2）由b/成等差数列可得：a+c=2b®.

因为三角形ABC的面积为身叵

43

/.iabsinC=f即aZ?=15②.

由⑴知：a1+b1+ab=c1®

由①②③解得：a=3,b=5,c=l.

「.Q+Z?+C=15,

故三角形ABC的周长为15.

练透核心考点

1.（23-24高一下•天津静海•阶段练习）在&ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、。，已知

asin3+6bcosA=0.

⑴求角A的大小;

（2）若a=2/，且SMC=2百，求.ABC的周长.

【答案】（l）A=g

（2）2员26

【分析】（1）根据正弦定理及特殊角的三角函数值求解即可；

（2）根据三角形面积公式和余弦定理求解6+c=2如，即可求解三角形的周长.

【详解】（1）由正弦定理得sinAsinBu-5/^sinBcosA,

因为3e（0,兀），则sin3>0,所以sinA=-若cosA,所以tanA=-L，

因为Ae（O,兀），所以A=g；

（2）因为〃=2括，且5ABe=gbcsing=2』，所以庆=8,

由余弦定理可得12=/=从+<?—2Z?ccos727r=/++%。=s+32一人。，

所以（6+c）2=12+bc=20,解得b+c=2君,

因此—ASC周长为a+b+c=26+26.

2.（23-24高一下,云南昆明,阶段练习）在^ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c，且℃osC+V^csinA=b+c.

⑴求A；

（2）已知,ABC的面积为土叵，设/为8C的中点，且40=后，求.ABC的周长.

【答案】（1"三；

⑵回+痘.

【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；

（2）由中线的向量表示平方后化简，由三角形面积公式可求出6+c/c,再由余弦定理求出。即可.

【详解】（1）由题意知“ABC中，acosC+y/3csinA=b+c,

由正弦定理边角关系得：sinAcosC4-VSsinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC

=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

所以GsinAsinC=cosAsinC+sinC,

因。£（0,兀），所以sinCVO,

所以6sinA-cosA=1,所以2sin[A—d）=Lsin[A—q]=5,

又Ae（O,兀），等],

0^007

所以=即4=弓.

663

(2)在ABC中，AM为中线，；.2AM=AB+AC，

.-.4|AAf|2=(AB+AC)2=|AB|2+2AB-AC+|AC|2

=|AB|2+2网|AC|cos/BAC+|AC|2=c2+b2+bc,

:.b~+C1+6c=88,

空,3^3

*^AABC

4234~4~

.\bc=3,b2+02=88-Z?c=85,/.b+c=J/+02+2bc=791,

jr

a2=Z?2+c2-2bccos—=(/?+c)2-3Z?c=82,

:.a;底,ABC的周长为回+庖.

高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）

典型例题

例题L（2024•四川成都•模拟预测）在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-ABC的面

工匚csinBsinC

积5=----------------.

cosA

⑴求tanA；

（2）若sin5sinC=,a=2,求Z^+c'.

【答案】（l）tanA=/；

（2）20.

【分析】（1）由三角形的面积公式和正弦定理求解即可.

（2）由同角三角函数的基本关系求出sinAcosA,再由正弦定理求出反=4百，最后由余弦定理求解即可.

【详解】（1）由题意可知，S」"sinC="Fin'sinC,

2cosA

由sinCwO,得bcosA=2asin_B,

由正弦定理可知，sinBcosA=2sinAsinB,

sinA1

由sinB>0,得cosA=2sinA,BPtanA=-------=—

cosA2

/—c1,.,a2sinBsinC

（或S=—besmA=-----------------

2cosA

百十力士工用r/rrt1•n.「•4SiYASill3SillC

由正弦定理可矢口：一sin5sinCsinA=--------------，

2cosA

sin八1

因为sinAsin5sinCwO，所以tanA=----=—.)

cosA2

(2)由tanA=z，可知角A为锐角，

2

sinA_1rr-

所以<cosA2，得sinA=—,cosA=?3,

sin2A+cos2A=1'5

因为sin8sinC=，

5

由正弦定理得一--=—二，所以6c=4石，

sinBsinCsin'A

由余弦定理a2=b2+c2-26ccosA,

R

22

得从+。2=a+2bccosA=4+8y/5x^-=20

例题2.(23-24高三下•重庆•阶段练习)在」IBC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,_ABC的

面积为S,且4S+"\/§'伊-a--c-)=0.

(1)求角8的大小；

(2)若-ABC外接圆的半径为1,边AC上的高为跖=1,求a+c的值.

【答案】①三

（2）3

【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换即可得解；

（2）利用正弦定理求得b,再利用三角形面积公式求得ac,从而利用整体法，结合余弦定理即可得解.

【详解】（1）4S+百（/一片―。2）=。，

即4•gacsin5=6(a?+，一82)=26accosB即sinB=^3cosB，

所以tanB=y/39又0<5<兀，则3=

(2)由4BC外接圆的半径为1,得目=三=上丁2,b=5

sinAsinCsinB

边AC上的jWj为_B£=1,所以一BE•b=—acsinB,

22

则工xlxg=—acx^~,所以ac=2,

222

Z?2=々2+/-2QCCOS3,/.(<7+c)2—3ac=3,BP(tz+c)2-6=3,

故a+c=3.

练透核心考点

1.（2024・四川成都,模拟预测）在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知.ABC的面积

a2sinBsinC

S=-----------

cosA

（1）求tanA；

（2）若cosBcosC==2,求

【答案】⑴3

⑵12

【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解;

（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.

【详解】（1）由题意可知，S^-absmC=CrsinBsinC,

2cosA

百丁力士工用市"1.”/sin2AsinBsinC

由正弦定理可矢口：一smBsinCsinA=---------------------,

2cosA

oiti2^1

因为sinAsinBsinC^O,所以tanA=-------=—.

cosA2

（2）由tanA=g,可知角A为锐角,

sinA_1

r8sA坐

所以cosA2,得sinA=——,

sin2A+cos2A=l5

所以cos（5+。）=-cosA=-2f

275

由cos（B+C）=cosBcosC—sinBsinC=

V5得sinBsinC=^-,

5^,cosBcosC-----，

55

由正弦定理得而—=总’所以小45

22

由余弦定理〃2=Z?+C-2Z?CCOSA,

得/+/=+2bccosA=4+4A/5X-12.

2.（23-24高三上•广东湛江•期末）在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,a=3五,

asinB=Z7sinA+—.

I3j

⑴求角A；

（2）作角A的平分线与3c交于点£>,且AD=退，求6+c.

【答案】（呜

⑵6

【分析】（]）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；

（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b+c="，再运用余弦定理解方程即得.

【详解】（1）因asin5=bsin[A+]],由正弦定理可得：sinB^sinA+^-cosA-sinAsinB=0,

即sinBcosA-sinA=0.

因Be（0,兀），故sinBwO,则有^^cosA=^sinA,即tanA=6,

22

因人£（0,兀），故

（2）因为AD为角平分线，所以S.+SDAC=SABC，

所以』A3.A。sinNDAB+-ACADsinADAC=-AB-ACsinABAC.

222

因NBAC=巴，ZDAB=ZDAC=y,AD=^3,则由AB+立AC=,

36444

即AF+AC=AB-AC,所以b+c=cb.

又由余弦定理可得：a2^b2+c2-2bccos-=（b+4—36c,

把o=30，人+c=必分别代入化简得：（6+C）2-3（6+C）-18=0,

解得：〃+c=6或6+c=-3（舍去），所以>+c=6.

高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）

典型例题

例题1.（2024•陕西宝鸡•模拟预测）..ABC中，。为8C边的中点，AD=1.

⑴若一至。的面积为2百，且44叱==，求sinC的值;

（2）若AB^+AC?=10,求ABC的周长的最大值.

【答案】⑴也；

14

(2)4+275.

【分析】

(1)根据三角形的面积之和等于,MC的面积，求得5C,结合余弦定理求得AC,再由正弦定

理即可求得sinC；

(2)根据cos/ADB+cos/ADC=兀，结合已知条件求得8C,再利用不等式即可求得三角形ABC周长的最

大值.

【详解】(1)设BC=a,由gsinZADCxADx(BZ)+OC)=26,即:*当、卜0=26，解得a=8；

在△ADC中，OC=4,由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2ADxDCxcosZADC,

即AC?=1+16-2xlx4x［一；］=21,解得村=回

ACAD1H

由正弦定理得：.即碇一再，解得sinC=当.

sinZ.ADCsinC—14

2

(2)设NA£)C=。,6»G(O,JI),

贝/ADB中，AB2=BD2+l-2-BD-l-cos(it-0)=BD2+l+2BDcosO,

△ADC中，AC2^CD2+l-2CDlcos0^CD2+l-2BDcos0,

因为AB'+ACZ=io,BD=CD,所以BD=2,即3c=4：

由Afi2+AC2=io得(AB+AC)2W2(AB2+AC2)=2O,当且仅当AB=AC=指时取得等号；

所以AB+ACW2如，当且仅当AB=AC=括时取得等号，

即..ABC的周长的最大值为4+26.

例题2.(2024高三•江苏•专题练习)如图，一ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c.

⑴若3a-c=3bcosC,求角5的余弦值大小;

(2)已知人=3、B=j,若。为_ABC外接圆劣弧AC上一点，求△ADC周长的最大值.

【答案】⑴g

(2)3+2g

【分析】(1)由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；

(2)由余弦定理得到的关系式ALP+oc?=9_仞.℃,利用基本不等式求得人。+oc42遭，即

得周长的最大值.

【详解】(1)在‘ABC中，由3“-c=3bcosC及正弦定理，得3sinA-sinC=3sin8cosC,即

3sin(B+C)-sinC=3sin5cosC,

则3(sinBcosC+cosBsinC)-sinC=3sinBcosC,整理得5111。(3以)58-1)=0,而sinCwO,即cosB=；.

27r

(2)在AADC中，/AOC=—,AC=3,,

3

27r

由余弦定理得AC2=AD-+DC2-2AD-DCcos—,即4^+=9一人。.oc,

于是(A£>+DC)2=9+孙女9+⑷丁。，解得AD+DCV2VL当且仅当AD=£>C=g时取等号，

所以当AD=OC=旧时，△ADC周长取得最大值3+2«.

练透核心考点

1.(23-24高三下•广东•阶段练习)在-ABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,A=g.

(1)若C=2ZJ,证明：(sinA+sin3)(sinA-sinB)=sinBsinC；

(2)若a=2,求一ABC周长的最大值.

【答案】①证明见解析

(2)6

【分析】(1)利用余弦定理结合题设可得"一尸=根，再利用正弦定理边化角，即可证明结论；

(2)由/=炉+o2一火可推出他+c)2-36c=4,利用基本不等式可推出b+c44,即可求得/由C周长的最

大值.

【详解】⑴证明：由余弦定理知〃=廿+02-2庆期4和4=1，

得/=b2+c2—be,

又c=2b,贝!)々2一/=2/?2=6。，

结合正弦定理得sit?A-sin2B=sinBsinC,

(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinBsinC；

(2)由(1)矢口/=/+/—oc,又〃=2,

故〃+。2—历=4,即伍+c)2-3Z?c=4,

6>0,c>0,所以3A+4=(6+C)2+4,

^^2|^^2——c—

{b,即b=c=2时取等号，

故a+b+c46,即ABC周长的最大值为6.

2.(23-24高三上•江苏盐城•阶段练习)已知ABC的内角A民C的对边分别为

a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且.ABC的面积为

(1)求C;

(2)求ABC周长的最小值.

【答案】(呜

⑵3相

【分析】(1)已知条件结合余弦定理求出cosC,得角C；

(2)由一ABC的面积求出瑟=3,余弦定理得c=J/+吹-日，由基本不等式求_ABC周长的最小值.

【详解】(1)由(a+A+c)(a+b-c)=3仍，+b2+2ab—c2=3ab,

“2右2_2i

即a1+/一$=",则cosC=--------------=—,

lab2

由。«0,兀)，得C=(

(2)SARC=LabsinC=B-ab=,得"=3,

ABC244

由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2—ab^得c=J〃2+b?-ab，

ABC周长/=〃+/?+y/a2+/?2-ab>2yfab+N2ab-ab=2g+A/3=36，

当且仅当〃=b=6时取等号，所以“IBC周长的最小值为33.

高频考点四：周长(边长)最值(边的代数和最值)

典型例题

例题1.(23-24高三上•安徽•阶段练习)记一ABC的角A,民C的对边分别为a,6,c,且‘唯一‘1nA=■

73c—bc+a

⑴求A；

(2)若Z?=2G，求。+|■的最小值.

【答案】(DA=m

6

(2)3

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

(2)先利用正弦定理求出"，c,再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.

sinC-sinA_sinBc-a_b

【详解】(1)因为由正弦定理得:

拒c-bc+aV3c-bc+a

^b2+c2-a2=y/3bc,

b1+C1-〃6bc_6

由余弦定理得:cosA=

2bc2bc~~2

因为Ae(O,7i),所以A=2；

6

(2)由正弦定理：a=b=c.=6sinA=26x5=石,

sinAsinBsinC'sinBsinBsinB

26sme=2氐仁一修二瓜os3+3si=,

Z?sinC

sinBsinBsinBsinB

c_^3^cosB+3sinB_3FT2+COSB

aH—I—F-x/3x

2sinB2sinB22sinB

DD不BBy

又因为sinB=2sin—cosy=---------^-,cosB=cos9--sin7—=-----------看代入得:

1+tan2—22i+tai?一

22

1-tan2—

2+-----------1

♦28Bc

1+tan—tan2—F3

a+—=—+\/3•__________223+3

22)B)B-B

4tan—4tan—4tan—1-

222)

1+tan2—

2

tanO

当且仅当—即tan白=6,B=?时取等号,

44tan—23

2

所以“十3的最小值为3.

例题2.(23-24高三上•福建福州•期中)ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,设

(sinB+sinC)-=sin2A+sinBsinC.

(1)求A;

(2)若A。为NBAC的角平分线，且AD=1,求劭+c的最小值.

【答案】(1)A后

(2)9

【分析】(1)首先根据正弦定理将角转化成边，然后再根据余弦定理求解即可;

(2)首先根据已知条件结合等面积的关系求出6+c=bc,然后再根据均值定理进行求解即可.

【详解】(1)(sinB+sinC)2=sin2B+2sinBsinC+sin2C=sin2A+sinBsinC,

即：sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A，

由正弦定理可得：b2^c2+bc=a2,

所以cosA=咳土。^=」，

2bc2

又因为Ae(O,万)，所以A=茎.

TT

（2）AO为NBAC的角平分线，ZBAD=ZCAD=-.

由sABD+S=S,得LcAO-sinZBAr>+L6AD-sin/C4D=工儿sinZBAC,

1ACDabc

1/ixjzyrivzy,rix?v17D,

又AE>=1,所以b+c=bc,故！+，=1,

bc

_c4b、「£.竺=9,

所以4。+c=（4/?+c）•5+—+——25+2,

bcbc

c4-h

当且仅当7=—，即c=2b时，4b+c的最小值为9.

bc

练透核心考点

1.(23-24高三上•广东广州•阶段练习)已知ABC的内角4民C的对边分别为“，b,c,且

cosCcosB

⑴求角8的大小；

⑵若BC的中点为。且AZ)=6，ZBAD=3,请写出。与。的关系式，并求出a+2c的最大值.

【答案】（1）8=5

（2）a=4sin（9,473

1兀

【分析】(1)利用正弦定理及两角和得正弦公式即可求得COSB=3,结合角的范围可知8

(2)依题意在中由正弦定理可得3O=2sine,即可得a=4sin。，利用辅助角公式可知

a+2c=46sin[+m],结合角的范围及三角函数单调性可得a+2c的最大值为4K.

b2sinA-sinCsin5

【详解】(1)因为汜由正弦定理得

cosCcosBcosCcosB

即可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB,

所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA,

又0<A<7i,所以sinAwO,所以cos3=,，

2