高考数学复习：任意角与任意角的三角函数

专题01任意角与任意角的三角函数

知识点1:角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

来I按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分类j按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合$={川夕=a+k-360。，kH}.

提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.

知识点2：弧度制的定义和公式

1.定义：把长度等于半径近的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2.公式:

|a|=](弧长用1表示)

角a的弧度数公式

角度与弧度的换算①180.；②1rad—Q)

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式

3.特殊角的互化

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717171712兀3兀5713兀

0712兀

6432T~6~2

提醒：

1.有关角度与弧度的两个注意点

(1)角度与弧度的换算的关键是兀=180。，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

2.常见结论

(1)轴线角：

角的终边的位置集合表示

终边落在X轴的非负半轴上{=^,360°,%£Z}

终边落在X轴的非正半轴上{ct|ct=^360°+180°,AGZ}

终边落在y轴的非负半轴上{ct|ct=^360°+90°,kGZ}

终边落在y轴的非正半轴上｛加=左360。+270。，kGZ]

终边落在了轴上{«|«=^180°+90°,kb}

终边落在X轴上{a\a=k-180°fJtez}

终边落在坐标轴上{a|a=Z?90。，kGZ}

(2)象限角:

象限角集合表示

第一象限角{a|fc-360°<a<)t-360o+90o,正Z}

第二象限角{皿360。+90。<«<左360。+180°,正Z}

第三象限角｛媒・360。+180。＜。＜左360。+270°，正Z｝

第四象限角{ct|t360o+270o<Gt<^360°+360°,4eZ}

知识点3：任意角的三角函数

(1)定义

设角a终边与单位圆交于P(x,y),贝!|sina=》，cosa=&tana=##0).

拓展：任意角的三角函数的定义(推广)

设?(尤，y)是角a终边上异于顶点的任一点，其到原点。的距离为r,

则sina=：,cosa=ptana=；(#0).

(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

知识点4：单位圆与三角函数

几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在无轴上，余弦线的起点都是原

点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角a的正弦线、余弦线和正切线.

知识点5：同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(a£R).

(2)商数关系：tan兀+$左GZ).

知识点6：诱导公式

公式一：

sin(a+A•2n)=sina,

cos(a+A•2K)=COSa«

ian(a+A•2K)—tana,

其中AWZ.

公式二

sin(双+(:)——sina,

cos(n4-a)=-cosa,

tan(n+a)=tana.

公式三

sin(—a)=­sina,

cost-a)=cosa9

tan(-a)=­tana.

公式四

sin(K—a)=sina,

cos(n一Q)=—cosa,

tan(?t-a)=­tana.

公式五

sin(—-a)=cosa.

cos(]—a)=sina.

公式六

5in(m+a)=cosa.

cos(y+a)=­sina.

公式七

3TT

cos(~+a)=sina

3TI

sin(-+a)=­cosa

公式八

.371、.

cos(3—a)=­since

,,3兀、

sin(工一a)=­cos。

简记：

对于角，与土a”/ez)的三角函数记忆口诀"奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当上为奇数时，正

弦变余弦，余弦变正弦；当左为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在a的三角函数值前面加上当a

为锐角时，原函数值的符号”

提醒：

诱导公式较多，易错记错用，关键是注意“两个变不变”，即“函数名变不变”、函数值的“符号变不变”.

0@@®

，题型归纳

【题型1终边相同的角】

满分技法

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，

然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.

1.（2324高一上.安徽芜湖.阶段练习）与-20。角终边相同的角是（）

A.-300°B.-280°C.320°D.340°

【答案】D

【分析】由终边相同的角的性质即可求解.

【详解】因为与-20。角终边相同的角是-20。+h360。，左eZ,

所以当％=1时，与-20。角终边相同的角是340。，D选项符合，其他选项不满足上eZ.

故选：D

2.（2324高一下•江西赣州•期中）角a的终边与65的终边关于y轴对称，则&=（）

A.左-180。-65。（keZ）B.左―360°—65°（无eZ）

C.^-180o+115°（JteZ）D.公360°+115°仅eZ）

【答案】D

【分析】先求与大小为65。的角的终边关于y轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求a即可.

【详解】因为大小为115。的角的终边与大小为65的角的终边关于y轴对称，

所以a=h360°+115°（左eZ）.

故选：D.

7兀

3.（2324高一下•辽宁.阶段练习）下列与下终边相同的角的表达式中正确的是（）

4

A.2kK—^{keZ）B.2E-：（keN）

C.2foi+：（左eZ）D.2far+：（左eN）

【答案】A

【分析】由?与-g终边相同即可得答案.

44

【详解】对于AB,因为77;r=2兀-Jr;，所以77r;与终TT边相同，

4444

所以与?终边相同的角为2E-5后eZ）,故A正确，B错误；

对于CD,当左=0时，2析+；=?,显然与终边不相同，故CD错误.

444

故选：A.

4.（2324高一下•河南驻马店•阶段练习）若角。的终边在直线丁二%上，则角。的取值集合为（）

A.{。|。=公360°+45°,左EZ}B.{ala=k・3600+135°,左EZ}

C.{ala=k-18（f-135°,左EZ}D,{alCL=^-180°-45°,左wZ}

【答案】C

【分析】根据角a的终边在直线y=x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即

可求出角a的集合.

【详解】由题意知角a的终边在直线，=彳上，

故（z=-360°+45°«wZ或（z=A360°+225°,%eZ,

即（z=（2左+1）480°-135°次eZ或a=（2左+2”80°-135°,左wZ,

故角a的取值集合为{3a=k-18O0-135°,k^Z}.

故选：C.

5.（多选）（2223高一上•重庆•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{刈。=2桁水eZ}

B.终边在，轴的非负半轴上的角的集合是[x[x=]+2E#eZ，

C.第三象限角的集合为++

D.在-720。〜0。范围内所有与45。角终边相同的角为-67s和-315。

【答案】ABD

【分析】ABC：通过写出对应的集合来判断；D：直接按照要求计算角度即可.

【详解】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{。隆=2E,keZ},A正确；

终边在,轴的正半轴上的角的集合是x=]+2E,%eZ，，B正确；

第三象限角的集合为[aE+2E<a苫+2配,丘z1,C错误；

在一720。〜0。范围内所有与45。角终边相同的角为45。一7200=-675°和45。-360。=一315。，D正确.

故选：ABD.

【题型2判断角所在象限】

满分技法

象限角的两种判断方法

（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.

（2）转化法：先将已知角化为^360o+ct（0o<Gt<360°,AGZ）的形式，即找出与已知角终边相同的角a,再由

角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角.

6.（2324高一下.辽宁抚顺•期中）3888°的终边落在（~）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据角a与角o+左360°（壮Z）的终边相同，3888°=288°+10x3600,所以3888°与288°的终边落在

同一象限，判断288°所在象限即可.

【详解】因为3888°=288°+10x360°,又因为288°的终边落在第四象限，

所以3888°的终边落在第四象限.

故选：D

7.（2324高一上•山东枣庄•期末）已知集合4=｛钝角｝,2=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝，则（）

A.A=BB.B=C

C.AcBD.BcC

【答案】C

【分析】根据钝角的范围，即可得出选项c正确，再由第二象限角的范围

｛090。+公360。＜分＜180。+公360。,壮2｝,即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.

【详解】因为钝角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以A=故选项C正确，

又第二象限角的范围为｛090。+公360。＜£＜180。+h360。,k0,

不妨取£=480。，此时夕是第二象限角，但480。＞180。，所以选项ABD均错误，

故选：C.

8.（2223高一上•甘肃天水・期末）若。是第二象限角，则180°+々是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】由象限角的定义即可求解.

【详解】由题意a是第二象限角，

所以不妨设360°•左+90°＜。＜180°+360°•左，仅eZ）,

所以360°-k+270°＜a+180°＜360°+360°•忆（keZ）,

由象限角的定义可知180°+a是第四象限角.

故选：D.

【题型3角的范围及其分布图】

满分技法

⑴先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。到360。范围内的角a和。，写出最简区间｛x[a＜x＜。｝；

（3）起始、终止边界对应角a、S再加上360。的整数倍，即得区间角集合.

9.（2324高一下•河南.阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a的集合是（）

A.aI—+2krt<a＜（2左+1）兀，左eZB.5cc|——+^7i<cr<(fc+l)7i,A:eZ

6

a|--^-+2fai<or<(2A:-1)K,Z:GZ>D.

C.a|--+2kji<a<2kn,kGZ

【答案】B

【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角。的集合.

【详解】终边落在阴影部分的角为L+EWaWa+D兀，左"，

6

即终边落在阴影部分（包括边界）的角a的集合是卜|葛+版《夕＜优+l）；rKez1.

故选：B.

10.（2024高一上•全国・专题练习）已知集合{。伏SGOo+dSoVaW笈SGOo+gOOKeZ},则图中表示角。的

终边所在区域正确的是（）

【答案】B

【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果.

【详解】当口=公360。+45。，左eZ时，角a的终边落在第一象限的角平分线上,

当口=公360。+90。，时，角a的终边落在y轴的非负半轴上，

按照逆时针旋转的方向确定范围可得角a的终边所在区域如选项B所示.

故选：B.

a

1L（2324高一上.全国•课后作业）已知角a的终边在如图所示的阴影区域内,则角，的取值范围是一

【答案】[彳15°+^-90°<1<52.5o+^-90o,A:ez|

【分析】

根据图形先求出终边在30。角的终边所在直线上的角的集合和终边在180。-75。=105。角的终边所在直线上

的角的集合，从而可求出角a的取值范围，进而可求得三的取值范围

2

【详解】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为H={a|a=30°+k•180。,左cZ},

终边在180。-75。=105。角的终边所在直线上的角的集合为S2={。W=1。5°+公180。水eZ},

因此终边在题图中的阴影区域内的角a的取值范围是国30。+公180。4£<105。+公180。,左〃},

所以角色的取值范围是盘15°+A:-90o<^<52.5o+^.90o^ezL

2[22J

]-15°+^-90°<-<52.5o+^-90o,^ez[

故答案为：H2J

【题型4扇形弧长、面积、圆心角的计算】

满分技法

应用弧度制解决问题的方法

⑴利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

12.(2324高一上.云南曲靖•阶段练习)半径为3cm,圆心角为210。的扇形的弧长为()

A.630cmB.—cmC.—cmD.—cm

662

【答案】D

【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可.

兀兀

【详解】圆心角210。化为弧度为一77r，贝IJ弧长为7：x3=；7cm.

662

故选：D

13.(2324高一上•全国•期末)已知一个扇形的中心角是a,所在圆的半径是R.

(1)若》=60。，火=10cm,求扇形的面积；

⑵若扇形的周长为20cm,面积为9cm2,求扇形圆心角的弧度数；

(3)若扇形的周长为定值C,当夕为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.

../50兀

【答案】⑴亍

2

⑵a=3

(3)当a=2时，扇形面积有最大值，为《

16

【分析】(1)利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案；

(2)根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案；

(3)根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式,

可得答案.

【详解】(1)由a=60°=工，则5=,£代=4二义102=亚(cm?).

32233v'

Ra+2H=20

22

(2)由＜1n2c，解得a=x或18,因为。＜av2»,所以。=大

—aR=999

12

c

(3)由2H+aH=C,得R=-

2+a

2

c1n21CC~1

rrt.lS=-ccR=-a—-----------=-----------------

贝122〃+4a+42a+±+4

a

C2

由0vav2兀，则而，当且仅当a=2时，等号成立,

当a=2时，扇形面积有最大值

14.(2324高一上•陕西西安•阶段练习)如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱

塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙

江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽

的几何图形，设AO的长度是/,BC的长度是广，几何图形ABCD的面积为S,扇形3OC的面积为S',已

知：=2,ZBOC=a.

19thAslanGames

Hangzhou2022

（i）求？；

（2）若几何图形ABC。的周长为4,则当。为多少时，S最大？

【答案】⑴3

*

【分析】（1）通过弧长比可以得到与。3的比，再利用扇形面积公式即可求解;

3

（2）由题意得2OB+3r=4,S=^l'OB,然后利用基本不等式求最值即得.

【详解】（1）由=贝=l'=a-OB,

所以!=£1^1="=2,即04=203,1=21',

I'a-OBOB

0-IOA--1'-OB--2r-2OB--rOB

S=22=22=3

，11

、-VOB-r-OB

22

(2)由(1)知，AB=CD=OB,

几何图形ABC。的周长为AB+/+/'+CD=2O3+3/'=4,

S=-lOA--l,-OB=-2l,2OB--l^OB=~l,-OB=--(3l,Y(2OB)

222224v7v7

出手相管6当且仅当｛"黑2

即a=§时，S最大值为1.

【题型5三角函数定义的应用】

满分技法

（1）已知角a的终边上的一点P的坐标，求角a的三角函数值.

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.

（2）已知角a的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值.

方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数,

从而求解问题.

（3）已知角a的终边所在的直线方程（y=kx,k/））,求角a的三角函数值.

方法：先设出终边上一点P（a,ka）,a#0,求出点P到原点的距离（注意a的符号，对a分类讨论），再利用

三角函数的定义求解.

（4）已知一角的三角函数值sina,cosa,tana）中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置,

二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况.

15.（2024高一下•上海•专题练习）若。€（-万,0）,则点（cosa,tana）在第（）象限.

A.~B.二C.三D.四

【答案】D

【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置.

7T

【详解】因为a©（-万,。），所以cosa>0,tana<0,

所以点（cosa,tana）在第四象限.

故选：D.

16.（2324高一下•北京海淀•期中）若sina<0且coscr>0,则a的终边在所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】借助三角函数定义即可得.

【详解】a的终边过点（cosa,sine）,又sintz<0且cose>。，

则a的终边在所在象限为第四象限.

故选：D.

17.（2324高一上•福建福州•阶段练习）已知角a的顶点是坐标原点，始边与了轴非负半轴重合，若终边交

单位圆于点尸则（）

A.a--B.sina=—C.cosar=—D.tana=—

3222

【答案】C

【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可.

【详解】因为角a终边交单位圆于点

所以［£|2+q=1，解得y0=土#,所以尸,，土g］，

所以sina=y=±/,cosa=x=^~,tan<z=—=±73,故选项C正确，选项B、D错误；

22x

1JT

因为cosa=-,所以a=2E土一，左£Z,故选项A错误.

23

故选：C.

00n

18.（2324高一上・甘肃武威・期末）已知角。满足sin（9<0,tan0<0,且sin^=sin不，则角不属于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.

【详解】由sind<0,tan6<0,得出。为第四象限角，

所以把+2kn<0<1TI+2析^>—+kTt<—<n+kn,keZ,

242

则］为第二象限角或第四象限角，又因为sin,Msin,,

所以sin1>0,则］为第二象限角.

故选：B.

19.（2324高一•全国•课堂例题）若角。的终边上有一点尸（凡。）（。W0）,贝Usin。的值是.

【答案】显或也.

22

【分析】由已知求得IOP,对〃分类讨论即可求得sin。的值.

【详解】二.尸（〃M）,:.\OP\=y/a2+a2=4i\a\,

当a>0时，I。尸1=叵a,sin6=—；

\j2a2

当〃<0时，|OP|=-0a,sin8=-=.

—A/2472

「.sin。的值是正或一走.

22

故答案为：旦或—呈.

22

20.（2223高一•全国•随堂练习）设。是锐角，利用单位圆证明下列不等式：

⑴sina+cosa>1；

（2）sina<a<tana.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】(1)(2)利用单位圆，三角函数定义推理即得.

【详解】(1)在单位圆中，4L0),ZAOP^a,NAOP的终边交单位圆于点P,作PMLx轴于点

令P(x,y)(x>0,y>0),由三角函数定义得sina=y=|PM|,cosa=x=|OM\,

在RSOPM中，|PM|+|OM|>|OP|=1,

所以sina+cos(z>l.

(2)过点A作单位圆的切线交OP于点T,显然劣弧"长/=(zxl=(z,

显然sinc=y=|PM|,tane=|,AOP的面积S[=-|OA||PM|=-sintz,

A22

扇形AOP的面积S?=2/1OA\=—a,i-.AOT的面积S3=,|OA||AT|=—tana,

由图形得E<S2Vs3,即;sina<ga<gtana,

所以sina<c<tana

【题型6同角公式的基本应用】

满分技法

1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解；在使用开平方关系sina=±A〃一cos2a和cosa=i\/l-sin2a时,

一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角a所在的象限，如果角a所在的象限是已知的，则按三

角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角a所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论.

2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式sina土cosa,sincrcosa建立联系，注意商数关系及

,,,乃的灵活应用；

1=sired+cos16={sinO+cosOy-IsinOcosO=tan—

3.知切求弦：先利用商数关系变形得出sina或cosa表达式，然后利用平方关系求解.

Q1n(7

利用一7=tan。可以实现角a的弦切互化.

cosa

4.三角函数式化简的方法和技巧：

(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及

变形，解决问题.

⑵技巧：①异名化同名；②异角化同角；③弦切互化；④1的代换.

5.三角恒等式证明问题：

（1）三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③

作恒等式两端的差式使之为0.

（2）证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被

证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推

出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形.

21.（2324高一上•新疆克孜勒苏•期末）已知tana=5,则、"侬。=_

2sma—cosa

【答案】I

【分析】利用同角三角函数基本关系式,转化为正切表示的式子，即可求解.

sina+cosatana+12

【详解】tana=5,所以

2sina-cosa2tana-13

7

故答案为：-

22.（多选）（2324高一上•山西吕梁•期末）已知sina-cosa=好，0<a<7r,则下列选项中正确的有（）

5

A-2D.36

A.sma-cosa=-B.sma+cosa=—

55

D.sina=@

C-.tanaH-----1---=—5

tan。35

【答案】AB

【分析】结合同角三角关系将sina-cosc=或平方即可求解sinacosa即可判断A,再利用平方关系求解

5

sina+cosa判断B,化切为弦通分即可求解判断C,解方程即可求解sine判断D.

【详解】由sintz-cosa=且，得（sina-cosaf=l-2sinacosa=，,

55

2

所以sinacosa=~故选项A正确;

因为sinacoso=—,aG[0,TI],所以sina>0,cosa>0,

94尺

又因为(sina+cosa)?=l+2sin】cosa=:，所以sina+cosa=-----，故选项B正确;

55

e、，1sinacosa15,小小〒工一…、口

因为tana-I--------=---------H----=---------=—,故选项C车日味;

tanacosasinasinacosa2

由sina-cosa=,sina+cosa=,所以sina=故选项D错误;

555

故选：AB

23.（2122高一上•甘肃兰州•期末）求证:

1一2sin尤cos尤1-tanx

⑴----j------=-------------；

cosx—sinx1+tanx

（2）sin4x+cos4x=l—2sin2xcos2x.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论;

（2）利用平方关系可证结论.

■、*到、、干□口什mcos2x+sin2x-2sinxcosx(cosx-sinx)2

【详解】(l)证明：左边=--------；------------------=-------——--------r

cosx-sin"x7(cosx-sinxj(^smx+cosx)

cosx-sinx1-tanx..,

=--------=-------=右边・

smx+cos%tanx+1

(2)证明：左边二(cos2x+sin2-2cos2xsin2x=l-2cos2^sin2x=>&ii.

24.（2324高一上.江苏苏州.期末）在平面直角坐标系xOv中，已知角。的终边经过点尸（3〃,Ya）,其中〃w0.

(1)求cos6的值;

（2）若6为第二象限角，求cos“叵运+sin”叵叵的值.

Vl-sin6>Vl-cos6>

33

【答案】⑴a>0时,cos6=7；Q<0时，cos6）=--

7

（2）一二

【分析】（1）利用三角函数的定义求解；

（2）由。为第二象限角得cos。，利用同角三角函数关系式得sin。，代入计算即可.

【详解】（1）因为P（3a,-4a）,"0,所以=«3aY+（4z>=5时,

当.<0时，3。=诉=导="

33

综上，a>0时，cos~；4<0时，cos0=

3

(2)因为。为第二象限角，所以Q<0,cos6^=--,

贝ljsin。=Jl-cos?9-1-(--)2=—,

1+sin。..1+cos04-，3+"7

所以cos。----------+sm0,+—x

1-sin1-cos。55525

【题型7诱导公式基本应用】

满分技法

1.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有

京与£+a§+a与苏(+a与;a等,常见的互补关系有浓与兴+屿+0与与0,：+8与与。等.

2.利用诱导公式化简求值的步骤:⑴负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.

一+%

25.(2324高二下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)则cos

【答案】¥

【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求出结果.

【详解】因为sin

11711,5兀、/2兀、/兀兀、./兀、2亚

所以cos+xI=cos(—+x)=-cos(—+x)=-cos(—+—+%)=sin(—+x)=

故答案为:3

tan(a-3兀)

26.(2324高一上•浙江丽水・期末)化简

cosIa+—

I2

【答案】1

【分析】利用诱导公式化简求值.

sina

tan(a-3兀)_9戊"_90.

【详解】cosa_]

兀-sina-sina

a+—

2

故答案为：1.

【题型8同角公式、诱导公式的综合应用】

满分技法

1.明确三角函数式化简的原则和方向

(1)切化弦，统一名.

(2)用诱导公式，统一角.

（3）用因式分解将式子变形，化为最简.

也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了

2.化简要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可

能简单,能求值的要求出值.

3.利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于如何配角、如何去分析角之间的关系.

27.（多选）（2324高一上•湖北荆门•期末）己知sin（a-7r）+2sin。+之=。，则下列结论正确的是（）

A.tana=2B.sin6Z-costz=-

5

一.3-sina+cosa1

C.sinacosa+cos2a=—D.---------------=—

5sina—cosa3

【答案】AC

【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断.

【详解】由sin(0-兀)+2sin[a+引=°n-sina+2cosa=0=tana=2.故A正确;

.2sincrcoscr+cos2atana+12+13,乙一十会

smacosa+cosa=-----------------------=-------2=-----=一，故C止确；

costz+sina1+tana1+45

sina+cosatancr+12+10,,_

----------------=-----------=--=3,故D错误；

sina-cocatana-12-1

因为tana=2>0,所以。为第一或第三象限角.

.221

sina+cosa-\2A/5

sina=------

sina-5

若a为第一象限角，则《-------=2nr—，所以sina-cosa=

cosa加5

cosa=——

sina>0,cosa>05

sin?a+cos2a=lf.275

sma=--------

sina.5

若a为第三象限角，则W-------=2=^>i—，所以sina-cosa=

cosaV55

cosa=------

sina<0,cosa<05

所以B错误.

故选：AC

28.（2324高一上・贵州毕节•期末）已知sina=-冬叵，a是第三象限角，求:

5

（l）tana的值;

.（3兀）

sin-----acos（兀+a）tan（-a—兀）,,一

（2）I2J'''的值.

COS(2K-a)sin(兀-a)tan(-cr)

【答案】(1)2

⑵3

【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系求解;

(2)利用诱导公式化简求值.

【详解】(1)因为sinc=-2,a是第三象限角,

5

则cosa=-Vl-sin2a=---,

2-

sina5小

所以tana==T=-=2；

cosaV5

一行

sincos(7t+a)tan(-a-兀)

(2)-cos6r-(-cosa)(-tan(7)cosa11.

COS(2TI-a)sin(7i-a)tan(-cr)cosa•sina•(-tana)sinatana2

3兀

,r,y一心.sin(a+2024兀)-6sin(a----)

29.(2324图一上•陕西宝鸡•期末)已知2，_taJoW

2cos(«-^)-sina4

(1)求tana的值；

(2)求sintz-cosa的值.

【答案】(1)2

⑵冷或-叵

55

【分析】(1)利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系化简已知等式，即可求得答案；

(2)判断角所在象限，分类讨论，根据同角三角函数关系求出sin%cosa的值，即可求得答案.

..3兀

［详解］(1)由题意得si"、+2°24兀)-6sin(a-5)

2cos(a—兀)-sina

sina-6cosa

-2cosa-sina

=-ta-n-a---6-=1

-2-tancr"

得tan。-6=-2—tan。，即tana=2;

cin(y

(2)由tana=-------=2,知sina=2cosa,则。为第一象限角或第三象限角,

cosa

代入sir^a+cos2a=1,得cos2a=：,

当。为第一象限角时，CGsa=^~，sina=V1-cos2«=,

55

所以sina—cosa=旦

5

当。为第三象限角时，cosa=-^------2^/5

sina=-cosa=

5

所以sina-cosa=——

5

.A/5V5

sina-cosa=——------

综上所述，5或5

30.（2324高一上•江苏连云港•期末）求值

_sin（7i-a）cos（7r+a）

⑴已知a是第三象限角，且sm"有,求侬浮一⑶的值;

(2)已知sin夕+cos/=[(()＜£＜兀),求tan乃的值.

【答案】⑴-半

⑵一。

萼’再利用诱导公式即可求出结果;

【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到cose=-

24兀71

（2）根据条件得到2sin£cos4=-—<0,从而得到g<,<兀，通过求出sin£-cos6=士，联立sin4+cos尸=士,

43

求出sin4=M，cos£=—不，即可求出结果.

【详解】（1）因为a是第三象限角，且sina=-g,

所以cosa=-Jl-sin2a=-

sin(兀一a)cos(兀+a)_-sinacosa

▽『(a)=