累加、累乘、构造法求数列通项公式-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展20累加、累乘、构造法求数列通项公式(精讲+精练)

、知识点梳理

一、累加法

a“-«„-i

an-\~an-2=/(«-2)

形如an+l=an+/(«)型的递推数列(其中/(n)是关于，i的函数)可构造：

将上述，巧个式子两边分别相加，可得：an=f(n-l)+f(n-2)+...f(2)+f(l)+a1,(n>2)

①若/(〃)是关于〃的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/'(〃)是关于，，的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(")是关于"的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于"的分式函数，累加后可裂项求和.

二、累乘法

形如an+l=%•/(")/(")型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：

将上述，巧个式子两边分别相乘，可得：an=f(n-1)-f(n-2)••/(2)/(l)^,(n>2)

三、构造法

1.第一种形式：形如。向=pan+q(其中均为常数且p*0)型的递推式

(1)若p=l时，数列｛。,｝为等差数列；

(2)若q=0时，数列｛4｝为等比数列；

(3)若『XI且q/0时，数列｛氏｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

如下两种：

法一：设％+几=0(。,+2),展开移项整理得%+i=°%+("-1)4,与题设a“+i=0%+q比较系数(待定

系数法)得X=—^=p(a〃+—^)=>q+—=,即(〃“+—构成

p-1p-1p-1p-1p-1[p-lj

以4+」一为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1%+上一]的通项整理可得

pT[PTJ

法二：由an+l=pan+q得4=pan1+9(«>2)两式相减并整理得=p,即｛。角-4｝构成以«2-q为首

项，以p为公比的等比数列.求出｛an+i-an｝的通项再转化为累加法便可求出an.

2.第二种形式：形如o„+1=pan+Up21)型的递推式

(1)当/(")为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设凡+A"+3=p[a,T+4(〃-1)+用，通过待定系数法确定A、8的值，转化成以q+A+8为首项，

♦

以父=—21—为公比的等比数列｛%+An+B｝,再利用等比数列的通项公式求出｛a“+An+B｝的通项整理

yn—my.

可得。

法二：当/(〃)的公差为d时，由递推式得：an+i=pan+f(ri),=pa〃_i+/(〃-1)两式相减得：

--4=p&-+d，令优二为刊-。〃得：2=。2+d转化为第一种形式，求出bn,再用累加法便可

求出c1n.

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设4+X/(〃)=+4/(〃-1)],通过待定系数法确定几的值，转化成以4+丸/⑴为首项，以

父二厂3%为公比的等比数列也+4/5)｝,再利用等比数列的通项公式求出｛%+4/5)｝的通项整理可

IAZAZZI•

得。〃.

法二：当/(〃)的公比为(7时，由递推式得：an+i=pan+f(n)----①，an=pan_x+f(n-l),两边同时乘以q

得anq=pqan_]+qf(几一1)---②，由①②两式相减得见讨-4夕=p(a〃-gr),即%——=p,在转化为

an—qa〃一1

第一种形式便可求出％.

法三：递推公式为〃用=〃%+/(其中p,9均为常数)或〃用=%〃+应〃(其中p,必厂均为常数)时，

要先在原递推公式两边同时除以得：幅上与+1,引入辅助数列抄“｝(其中2=之)，得：

qqqqq

bn+1=4.再应用类型第一种形式的方法解决.

qq

(3)当/(〃)为任意数列时，可用通法：

在%两边同时除以P'+I可得到%=3+42,令&=如则g=2+坐，在转化为累

ppppP

加法，求出b“之后得an=p"b”.

二、题型精讲精练

【典例1】在数列｛%｝中，«1=0,。“-4T=2"-1(〃N2).求｛%｝的通项公式.

【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.

【详解】因为=-1(九22),

所以当“22时，.“=(%—4)+(。3—。2)+(。4一%)"1---~an-l)+«1

(〃一1)(3+2〃-1)、

=3+5+7+…+21+0——-------_],

2

又q=0适合上式，所以%="—1.

【典例2】已知数列｛a九｝,ar=1,(n+l)an+1=nan/求通项公式an.

【答案】a=-

nn

【分析】由题得也=一,再利用累乘法求解.

a„n+\

a

［详解］V(n+l)a=na>Ax1

n+1n>an

.%_1"3_2"4_3n—1

**q2，%3'%4'，"〃_］n(n>2).

以上各式相乘，得5」....an=a=J

(n>2)

%几nn

又ai=l满足上式，.,.an=L(nGN*).

n

【典例3］已知数列｛%｝中，卬=2,且对任意“wN*,都有。用=2a“-l.求数列｛4｝的通项公式;

【分析】(1)构造等比数列求通项；

【详解】(1)由%=24-1得--1=2&-1)

又％-1=1,所以数列｛a,-1｝是以1为首项,2为公比的等比数列，所以。“-1=卜2"7=2"7,所以4=2"一+1.

【题型训练1-刷真题】

一、单选题

1.（2022•浙江•统考高考真题）已知数列｛4｝满足％则（）

5577

〃℃〃℃〃℃

A.2<1001[uu<—2B.—2<1001[uu<3C.3<100t2]1nunu<—2D.—2<100[1UU<4

2.（2021・浙江•统考高考真题）已知数列｛q｝满足q=1，%=eN*）.记数列｛«„）的前n项和为S”,

则（）

399

A.—<S100<3B.3<S]0G<4C.4<S100<—D.—<S100<5

二、解答题

3.（2022・全国•统考高考真题）记5”为数列｛%｝的前〃项和，已知%是公差为;的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

111c

(2)证明：—+—+—<2.

«1«2a„

【题型训练2-刷模拟】

1.累加法

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）数列｛%｝满足％=1,且。“++1（〃eN*）,则数列｛a“｝的通项公式为（）

j"+l）R〃=包

2.（2023・全国•高三专题练习）己知数列｛q｝满足4=l,a“=a“T+3〃-2（〃N2）,则｛4｝的通项公式为（）

A.a„=3n2B.%=3/+〃C.。“=①:1D.

22

3.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足。〃+1-%=2",%=1,则。5=（）

A.30B.31C.22D.23

4.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛风｝满足4==，%+|=%+一一，则｛%｝的通项为（）

2n+n

131

A.——,n>1,nGN*B.—+—,n>l,neN*

n2n

3131

C.---------,H>1,HGN*D.-------,H>1,HGN*

2n2n

5.（2023・全国•高三专题练习）若数列&｝满足。向-氏=坨11+£|且％=1,则数列｛%｝的第100项为（）

A.2B.3C.l+lg99D.2+lg99

,、11cc

6.（2023・全国•高三专题练习）已知S,是数列｛g｝的前〃项和，且对任意的正整数小都满足：-----=2几+2,

an+\an

若％=；，贝1JS2023二（）

2023「2022—20211010

A.------B.------C.------D.------

2024202320242023

7.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足〃•q+i=（几+1）。〃+2,（〃cN*）,且q=l,则%022=（）

A.6065B.6064C.4044D.4043

8.（2023・全国•高三专题练习）在数列｛%｝中，％=2,.=%+皿1+。，则为=

A.2+lnnB.2+（n-l）lnnC.2+〃ln〃D.1+n+lnn

9.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足q=33,。用-。“=2〃，则字的最小值为（）

A.10.5B.10.6C.10.4D.10.7

二、填空题

10.（2023•全国•高三专题练习）在数列｛〃“｝中，4=1,a„+1-a„=7-2n,则数列也｝中最大项的数值为

11.（2023•全国•高三专题练习）设数列｛q｝满足4=2,0用-4=3-221,则%,=.

12.（2023•全国•高三专题练习）数列｛%｝满足4=1,且对任意的“eN*都有%+|=。,+〃+1,则数列］《1的

前100项的和为.

13.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的各项均不为零，且满足4=1,%="22,N*）,

1十几

则｛«„）的通项公式.

14.（2023•全国•高三专题练习）数列｛4｝中，％=0,%+1-4=1+J+］且""=9'则"="

三、解答题

15.(2023•全国•高三专题练习)已知等差数列也｝(〃eN*)的首项为一1,公差为2.数列｛叫满足q用-为=优

⑴求知取得最小值时«的值；

31114

(2)右。1=:，证明：一+—+…+—

4%出an3

16.(2023・陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)在数列｛%｝中，％=3,氏+1=%+2〃+1.

⑴证明：数列｛凡-科是等比数列；

⑵求数列停)的前〃项和5“.

1

17.(2023•河南关B州•模拟预测)已知数列｛g｝满足：勾=3,a„=a,!_1+2--(«>2,neN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵令-1+(-1)"log,(a„-l),求数列也｝的前八项和.

18.(2023・全国•高三专题练习)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简

单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形

的摆放规律相同)，设第〃个图形包含人”>个小正方形.

①②③④

⑴求出八5)；

(2)归纳出/(〃+1)与人”，的关系式，并根据你得到的关系式求人“1的表达式；

11113

'7/(I)"2)-1"3)-1/(«)-12,

112

19.(2023•内蒙古赤峰•校联考三模)设各项都为正数的数列｛4｝的前n项和为S“，且％=1,---------==

anan+\"〃1

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设函数〃X）=X.2，T,且〃=/4）,求数列也｝的前w项和T,.

20.（2023・全国•学军中学校联考二模）设数列｛叫满足%=3%-2%（论2）吗=1，4=2.

⑴求数列｛叫的通项公式；

（2）在数列｛%｝的任意如与4M项之间，都插入个相同的数（-1）黑，组成数列也,｝,记数列也｝的

前〃项的和为4，求弓的值.

2.累乘法

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足4“+1=（-1）"4，且4=1,贝1|%8+%9=（）

A.-2B.0C.1D.2

2.（2023•全国•高三专题练习）已知4=1,%=〃（%+]—aj（〃eN+）,则数列｛4｝的通项公式是见=（）

，、a、、n

3.（2023・全国•高三专题练习）数列｛%｝中，q=1,比叱二菖7（九为正整数），则％。22的值为（）

.112021c2022

A.------B.------C.------D.------

2022202120222021

4.（2023•全国•高三专题练习）4知数列｛%｝的前〃项和S“=（",且4=1,则S,=（）

A.14B.28C.56D.112

5.（2023•四川绵阳•绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）若数列｛%｝满足5-1）%=（〃+1）%（〃22）且

4=2,则满足不等式凡＜462的最大正整数〃为（）

A.20B.19C.21D.22

二、填空题

6.（2023•全国•高三专题练习）己知数列｛%｝满足4=2,%=2（”+2）%,则｛叫的通项公式为

n+1

7.（2023・全国•高三专题练习）在数列｛%｝中，若q=2,%+1=21+£|%，则｛4｝的通项公式为.

8.(2023・全国•高三专题练习)数列｛qj满足：4=1,an=a｝+2tz2+3a3+---+(n-l)a„_1(n>2,MeN*),则

通项%=.

三、解答题

9.(2023•浙江金华•校考三模)已知等差数列｛%｝的各项均为正数，4=1,出+%+6=的5.

⑴求｛4“｝的前〃项和S"；

(2)若数列也｝满足4=1,a：=a也,求他,｝的通项公式.

「、4”2

10.(2023春・山东临沂•高三校考阶段练习)已知数列｛%｝的首项为1,前”项和为S“，且满足？=Q.

⑴求｛%｝的通项公式;

(2)求数列生的前"项和5.

2"

11.(2023春•山西吕梁・高二统考阶段练习)已知数列｛。“｝,｛2｝满足弓=4=1，。也=。计2%1.

(1)若｛%｝是等比数列，且9,3%,生成等差数列，求｛2｝的通项公式；

(2)若｛%｝是公差为2的等差数列，证明：bl+b2+b3+...+bn<^.

12.(2023・湖北武汉・统考模拟预测)已知工是数列｛a“｝的前”项和，2Sn=na„,%=3.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若bn=|16-«„|,求数列也｝的前n项和Tn.

13.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛g｝的前〃项和为S“，gs,=%-2"T.

(1)证明：［券>是等差数列；

⑵求数列［午］的前”项积.

工构造法

一、单选题

1.（2023•江苏淮安・江苏省吁胎中学校考模拟预测）在数列｛4｝中，且。用=24+1,则｛见｝的通项

为（）

A.an=T-\B.。“=2"

C.凡=2"+1D.%=2向

2.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝中，%=4,。用=4。,一6，则。“等于（）

A.22"+1+2B.22,,+1-2

C.22"-|+2D.22H-1-2

3.（2023・全国•高三专题练习）在数列｛。“｝中,4=14,^（）

A.橙+31是等比数列B.［果-3,是等比数列

c.，祟+『是等比数列D.1墨-升是等比数列

，则数列1含1的前10项和

4.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛风｝中，q-2,。“+|=°；2（〃eN）

Sio=()

161820

A.nC.D.2

TT11TT

5.（2023・全国・高三专题练习）已知数列｛凡｝的前几项和为5“，若5〃+为二〃（几£曰），则1082（1—%）23）=（）

A.-2023D.2023

20232023

6.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的前几项和为S”，若3S〃=2%-3孔，贝lj%（）2i=（）

（1V0217

A.1B.32021-6C.-22021-lD.22021-l

二、填空题

7.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛a“｝中，％=1,%.=3。“+4,则数列｛《,｝的通项公式为.

8.（2023・全国•高三对口高考）数列｛%｝中，区，+1=*丁，4=2,则%=.

9.（2023•全国•高三专题练习）数列｛即｝满足%+i=5%+3x5".,弓=6,则数列｛即｝的通项公式为.

〃若册=则正整数加

10.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛。"｝中，ax=\,an-a,e=%y（eN*）,81,

的