2024届江苏省南京市高考三模数学试题（含答案解析）

2024届江苏省南京市雨花台中学高考三模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.集合/={xeN「l<x<4}的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

2.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球,

则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（）

1r7c7-17

A.-B.—C.—D.—

4241224

3.已知复数Z满足卜-才=2+乙则复数Z在复平面内对应点的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

4.已知方程sin2a+2sinacosa-2sina-4cosa=0,贝Ucos%-sinacoso=（）

4334

A.—B.—C.——D.—

5555

5.在平行四边形NBC。中，点区厂分别满足砺前，存=：灰.若丽=兀而+国,

则实数的值为（）

1177

A.——B.-C.——D.-

5555

6.已知eJlg3,Z?=lg（ln3）,c=ln1,则b,。的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

7.已知球。的直径为尸C=26,43是球面上两点，且PA=PB=®ZAPB=,则三棱

锥的体积（）

A.@B.V3C.—D.V6

22

22

8.己知双曲线C:=-4=l（a>0,b>0）的左，右顶点分别为4,4，尸是双曲线上不同于4,

ab

4的一点，设直线4P,4尸的斜率分别为心加则当，+山（桃2）取得最小值时，双曲线C的

离心率为（）

A.孚B.V2c.V3D.2

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.下列命题中正确的是（）

A.已知随机变量则O（3X+2）=12

B.P（B）=P（AB）+P辟）

C.已知一组数据：7,7,8,9,5,6,8,8,则这组数据的第30百分位数是8

D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9,方差为11；

女生成绩的平均数为7,方差为8,则这10名学生成绩的方差为10.5

10.在棱长为3的正方体N3CD-4800中，M是4月的中点，N在该正方体的棱上运动,

则下列说法正确的是（）

A.存在点N,使得MV//BG

B.三棱锥河一43。的体积等于:

C.有且仅有两个点N,使得〃平面43G

D.有且仅有三个点N,使得N到平面43cl的距离为百

11.下列等式中正确的是（）

88

A.才以=28

B.

*-=1k=2

春k-1,18、

c.y——=i——D.£©)=墨

hk\8!k=0

12.已知圆。i+/=2,过点M（l,3）的直线/交圆。于A,3两点，且|/8|=2,则直线/

的方程为.

13.分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1

的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部

分的线段去掉得到图2,称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作,

得到图3,称为“二次分形”……,依次进行““次分形"（〃eN*）.规定：一个分形图中所有

线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则〃的最小整数

值是.（取lg3,0.4771,lg2®0.3010）

试卷第2页，共4页

图1图2图3

14.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边

形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知NGAD为圆的内接四边形/BCD的两

条对角线，sinZCBD:sinZBDC:sinZBAD=1：1：V3,AC=4,则△48。面积的最大值

为.

四、解答题

15.在三角形48c中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知

(Q-c)(sinA+sinC)=Z?(sinA-sinB),

(I)求角C的大小；

(11)若0=百且6氏，求6-g”的取值范围.

16.如图1,在直角梯形48CD中，AB//DC,AB1BC,ZBAD=45°,AB=6,CD=2,E,F分

别为4D,3C的中点，沿即将平面EFCD折起，使二面角。-斯-3的大小为60。，如图2

所示，设分别为/民8尸的中点，P为线段AD上的动点(不包括端点).

⑴求证：CN1AE；

7Ap

⑵若直线依与平面ZOE所成角的正弦值是求

5AD

17.学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如

下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天

内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败

均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为:；参加“四人赛”活动

2

试卷第3页，共4页

(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为D1.李明周一到周五每天都参

加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响.

(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；

⑵设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为

/(P).求p为何值时，/(P)取得最大值.

2222

18.已知平面直角坐标系无2y中，椭圆E:1+%=l(a>6>0)与双曲线C:4=1.

⑴若E的长轴长为8,短轴长为4,直线乙：>=履+机优w±2)与C有唯一的公共点W,过M

且与人垂直的直线分别交x轴，>轴于点工«0)1(0/)两点，当“运动时，求点。(xj)的

轨迹方程；

⑵若E的长轴长为4,短轴长为2,过E的左焦点片作直线4与E相交于己。两点(尸在x轴

上方)，分别过尸作E的切线，两切线交于点N,求△猫。面积的最小值.

19.已知｛%｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前〃项的最大值记为即

Mn^max｛al,a2,---,an｝;前〃项的最小值记为”,即叫=min,”如…,%｝，令P"=M"-m"

(〃=1,2,3,…)，并将数列｛p,｝称为｛册｝的“生成数列”.

⑴若知=3",求其生成数列｛p,J的前〃项和；

(2)设数列也｝的“生成数列”为｛%｝,求证：P„=q„;

⑶若｛p,J是等差数列，证明：存在正整数%,当〃》时，an,an+l,an+2,…是等差数列.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBDBBCCAABDBC

题号11

答案BCD

1.D

【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.

【详解】由题意，得/={04,2,3},故集合/子集个数为2,=16个.

故选：D.

2.B

【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个

凹槽中的放法数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率

公式，即可求出结果.

【详解】将编号为123,4的4个小球随机放入编号为123,4的4个凹槽中，共有A：=24种

放法，

恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有C；=6种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的

有1种放法，

C2+17

所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是尸=,

鼠424

故选：B.

3.D

【分析】设2=》+行卜/€11),运用复数加、减运算及复数模的公式计算即可.

【详解】设2=》+行(x,yeR),则w=x-yi,

所以z+^=x+yi+x-yi=2x,z-z=(x+yi)-(x-yi)=2yi,

所以|z-z「二4y之，

又|z-z「=z+z,所以4y=2x,即y=—x,

所以复数z在复平面内对应点的轨迹为抛物线.

故选：D.

答案第1页，共16页

4.B

【分析】由sin2a+2sinacosa-2sina-4cosa=0,变形为⑸口。+2cosa/sina—2)=0,得

到tana=-2,再由cos?。-sinacosa=巫勺逆等，利用商数关系求解.

cosa+sina

【详解】解：因为方程sin2a+2sinacosa-2sina-4cosa=0,

所以sincr(sincr+2cosa)—2(sina+2cosa)=0,

即(sina+2costz)(sina-2)=0,则sina+2cosa=0或sina-2=0(舍去),

所以tana=-2,

匚匚「I2.COS26Z-sincrcoscr

所以COSa-S1I16ZCOS6Z=----------------------------------

cosa+sina

1-tana1-(-2)3

1+tan2al+(-2)25'

故选：B

5.B

【分析】设在=1,方=B，由赤=g就，DF=^DC,得至1」元=7+；3,#=；3+B，

结合平面向量的基本定理，化简得到-)+否=,+；〃)@+[2+〃]坂，即可求解.

【详解】由题意，T&AB=a,AD=b＞则在平行四边形ABCD中，

因为屉=；Z，~DF=^DC,所以点£为5C的中点，点尸在线段。。上，且C尸=2。尸，

——►11-

所以ZE=3+―6,/T7=+6,

23

又因为丽=2赤+〃/，^~BD=~AD-~AB=b-a，

所以菖+b=AA.E+juA.F—Aftz+~Z?)+6j—++,

111

4+—〃=—l

解得’;，所以〃=!。

所以2+

1

—A4~—1

故选：B.

答案第2页，共16页

【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路：

1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量

的加、减或数乘运算；

2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将

条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

6.C

【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可.

【详解】因为e"=lg3,可得。=ln(lg3),

且31g3=lg27>l,则lg3>；,可得ln(lg3)>lng,所以a>c；

又因为ln3>l>lg3>0,则lg(ln3)>0>ln(lg3),所以6>a；

综上所述：.

故选：C

7.C

【分析】利用球体的性质先计算球心到平面4打的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可.

【详解】由题意可知八4必为正三角形，设其外接圆圆心为半径为八

.2r=-------=>PM=r=\

则n.兀，且四_1平面/尸5,

sin—

3

所以(W=尸2.=&，故C到平面4PB的距离为2女，

所以三棱锥尸-/3C的体积为』x2行x且x(百Y=".

8.A

【分析】先根据双曲线的方程，得到4再设2=x,通过求导，判断函数

\a)a

答案第3页，共16页

/(x)=21nx+^的极小值点，得到2的值，再根据。，4c的关系求双曲线的离心率.

xa

22

【详解】设PQ,y)为双曲线C上异于4、4两点的任意一点，则1-看=1，

ab

又44(a,o),所以：

x+ax-ax-ax-aa

所以q+In⑶、3+21/,

b\a)ba

设2=%,贝!j/(x)=21nx+L(%>0),

ax

/，/\212x—11

因为/(x)=------2-2—>0=>x>—,

xxx2

所以/'(X)在，,上单调递减，在+也［上单调递增，所以当X=g时，函数取得最小值.

即2=1时，f+in上住取得最小值.

a2b

此时：<7=2Z>=>a2=4Z>2=4(c2-a2)=>5a2=4c2e2=-^-r=—=>e=—.

V7aA2

故选：A

9.ABD

【分析】对于A,根据二项分布的方差计算公式求解；对于B,根据概率公式判断；对于C,

先把数据从小到大排列，8个数中的第3个数即为结果；对于D,根据分层方差与总方差的

计算公式求解.

【详解】对于A,随机变量X〜46,6,D(X)=6x|x|=|,则。(3X+2)=9D(X)=12,

故A正确；

对于B,P(B)=尸故B正确；

对于C,依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5,6,7,7,8,8,8,9,

因为8x30%=2.4,所以第30百分位数是7,故C错误；

对于D,依题意，设5名男生为再,马，一工5，5名女生为%…，

这10名学生的平均成绩元=，(5X9+5X7)=8,

这100名学生数学成绩的方差底=^-[11+(9-8)2]+^-[8+(7-8)2]=10.5,故D正确.

答案第4页，共16页

故选：ABD.

10.BC

【分析】根据点M的位置容易判断A,由嗑.4g=嚷4g求解可判断B；当N[,N]分别为

片民用。中点时，可判断C；易证平面且。，平面/。「且

4Q=002=&。=6，可判断D.

【详解】对于A,显然无法找到点N,使得NV//8G，故A错；

11139

对于B,VM_AiBCt=VB_AxMCx=-S^MCi-315=-x-x-x3x3=-,故正确；

对于C,如图所示N”N2分别为8避出£中点，有肱V,〃平面48G，儿亚2〃平面4台£，

故正确；

对于D,易证耳。1•平面43C],8QJ■平面NCD],^.BXOX=O1O2=O2D=^B]D=y/3,

所以有点用,4c,。四点到平面4g的距离为百，故D错.

故选：BC

小Dx

11.BCD

【分析】利用(1+x)8的展开式与赋值法可判断A,利用组合数的性质C：+C：=C"可判断B,

利用阶乘的裂项法可判断C,构造(l+x)"=(l+x)8(l+尤了求其含V的项的系数可判断D.

【详解】对于A,因为(1+X)8=C；+C；X+C：X2+...+C；X8,

88

令X=l,得28=1+C；+C；+…+C：=l+Zcj,贝！]£《=28-1,故A错误；

k=lk=\

对于B,因为C；+C：=C

8

所以Ec：=c；+C；+C；+•••+《=C；+C；+C；+…+C；

k=2

答案第5页，共16页

=C；+C；+…+C；=-=C；+C；=C：,故B正确；

1TLi,11眉一(左一1)!(左一1)(左一1)!k-1

」丁，口刀("1)!k\左!(4-1)!-后-今！k!'

所心，、以，£左芸一r1?£[『1一1升『11721r13r“十T1虬1,J1，注故c十正确.•

对于D,(1+x)16=(l+x)8(l+x)8,

对于(1+X);其含有炉的项的系数为C：6，

对于(1+X)8(1+X)8,要得到含有V的项的系数，

须从第一个式子取出左(。＜左V8,左€N)个x,再从第二个式子取出8-上个X,

882

它们对应的系数为2cte/=z(c；y,

k=0k=0

8

所以E©)-2=C，故D正确.

k=0

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用组合的思想，从多项式(l+x)1l+x)8

中得到含有x8的项的系数，从而得解.

12.x=l或4x-3y+5=0

【分析】当直线/的斜率不存在时求出|力用；当直线/的斜率存在时，设/的方程为

y-3=k(x-l),利用所以由圆心(0,0)到直线/的距离d、手、圆的半径构成的直角三角

形求出上可得答案.

【详解】当直线/的斜率不存在时，设/的方程为x=l,

[x=lfx=l\x=\

[x+y=2卜=1[7=-1

所以|1一(一1)|=2=|明,符合题意;

当直线/的斜率存在时，设/的方程为V-3=Mx-l),

因为|/同=2,所以圆心(0,0)到直线/的距离d=,

71+k

答案第6页，共16页

由邑f+/=2,得左=：,

43

4

所以直线/的方程为k3=?1）,

则直线」的方程为x=l或4x-3y+5=0.

故答案为：x=l或4x-3y+5=0.

13.12

【分析】根据题意得到每次分形后所得线段之和为首项为4;，公比是4;的等比数列，求出〃

33

次分形后线段之和为,列出不等式，结合〃eN*,求出“212.

4

【详解】由题意得：“n次分形”后线段之和是“（n-1）次分形”后所得线段之和的且

一次分形后线段之和为:1义4=4；,故每次分形后所得线段之和可看出首项为4彳，公比是4；的

3333

等比数列，故〃次分形后线段之和为（X弓:故（£]:30,两边取对数得：

（21g2-lg3）77>l+lg3,又〃eN*,解得:n>\2,故〃的最小整数值为12.

故答案为：12

14.373

【分析】先通过正弦定理得到CD:8C:8。=1:1:6,再结合托勒密定理求出AD+AB=A6

最后由面积公式及基本不等式即可求出最大值.

【详解】如图，可知NA4O+N8CD=180。，由诱导公式可得sinNB/OusinNBCZ）,

答案第7页，共16页

A

又sinZCBD:sinZ.BDC:sinABAD=1:1:百，

故sin/CBD:sin/BDC:sin/BCD=1:1：A/-3,

在△BC。中，由正弦定理可得co：Bc：5z)=1:1：6,

所以设CD=k,BC=k,BD=Ck,

由余弦定理可得cos/BCD=kfk2=_L,

2k22

27rTT

因为/BCDe(0#),所以故=

33

则由托勒密定理可得C52£>+CD-48=NC-8D,

所以k-AD+k-AB=辰-4,所以40+48=4百，

又S-BD=^AD-AB-smZDAB=-AB-AD<g。=3，,

当且仅当AB=AD时取等号.

故△48。面积的最大值为3VL

故答案为：3A/3.

15.(I)(II)斗，百

3L2)

【解析】(1)利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角C；

(2)由正弦定理可得b=2sin8,a=2sin/,将6-工。转化为关于B的三角函数，利用三角

2

函数的性质求出取值范围.

【详解】解：(1)(ci-c)(sinA+sinC)=Z?(sinA-sinB)

222

由正弦定理，(a—c)(a+c)=6(a—6),^a-c=ab-b

由余弦定理，cosC=g-+b~~C-=-,

2ab2

答案第8页，共16页

又••・Ce(O,万)

b_a_c_V3

(2)因为。=百且bNc,由正弦定理得sinBsin/sinC

T

:.b=2sinB,a=2sinA,

2%

'：B+A=—

3

2万

...4=------B

3

'：b>c

:.B>C

"八2〃

33

厂.工。

6—=2sinB—sin/=2sin3—sin胃.B

2

=-sin5-—cos5

22

=VJsin(B-?)

71,n7171

:.—<B——<—

662

71

—<sin|5--|<1

26

:.b--ae

2

7

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题.

16.(1)证明见解析

AP

(2)-----二

vJAD5

【分析】(1)由已知可证得斯，平面5C/，进而可证得即，CN,通过证出CNL跳"

证得CN_L平面/2FE,即可证得结果；

(2)以N为原点，NQ,沏,NC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

求出/DE平面的一个法向量，以及诉,即可利用线面角的向量公式解出.

【详解】(1),••旦下分别为/3BC的中点,昉〃48.

答案第9页，共16页

EF1FB,EF1FC

■：FBCFC=F,FB,FCu平面BCF

;.EF_L平面8CF,,；CNu平面BCF,EFLCN,

■：NCFB是二面角C一EF-B的平面角，:.ZCFB=60°.

FC=FB,:ABCF为等边三角形，

CN1BF.

EF("IBF=F,EF,BFu平面ABFE,

，CN_L平面/8FE,

又/Eu平面ABFE,CNLAE.

(2)设/£中点为。，由(1)知NQ,A®,NC两两垂直，以N为原点，NQ,NB,NC所在直

线分别为x轴，F轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

AB=6,CD=2,ABAD=45°,CF=BF=2,

C(0,0,V3),A(6,1,0),£,(4,-1,d),Z)(2,0,^3)，.3,1,。，

.­.Z5=(-4,-1,V3),ZE=卜2,-2,01疝=6,0,0),

设平面ADE的法向量为五=(x,y,z),贝!]

n-AE=0f2x+2y=0

一即r

n-AD=0[-4x-y+s/3z=0

取x=l,贝！]y=—l,z=百，万=(1,—1,君)，

设方=%茄=(Y2,-46勾，2e(0,1),

:.MP=MA+AP=(3,0,0)+(-42-2,5^2)=(3-42,-2,V3/l),

设A0与平面/DE所成的角为6»,则

sin9=\cosMP,n\==/

11国(3-4行+分+3万

答案第10页，共16页

_________3_________3

V5A/2022-24A+95'

解得力=［或2=1（舍）

,AP_1

一罚一不

17.⑴分布列见解析，E（X）=7.5（分）

2

⑵P二

【分析】（1）X可取5,6,7,8,9,10,求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，

再根据期望公式求出数学期望即可；

（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为了（P）,

再根据导出求出函数“P）的单调区间，即可得出答案.

【详解】（1）解：X可取5,6,7,8,9,10,

「"AC；出If，*X=6）=C；小出4.

2

*X=7）=嗯IX5

尸（X=8）=C；

16

P（X=9）=C：［I尸（X=10）=C；・1

32

分布列如下:

X5678910

155551

P

323216163232

所以E（X）=5X—+6x—+7x—+8x—+9x—+10x—=7.5（分）；

323216163232

（2）解：设一天得分不低于3分为事件A,

则尸（/）==

则恰有3天每天得分不低于3分的概率

答案第11页，共16页

/（。）=。［寸］“一寸［2=黑（2。+1）3（1-02,

则/"）=《*6（2。+1『（1-。）2-［x2（2p+1）3（1-0

=热20+1『（1-0（4-100,

当0<p<：7时，/'（p）>o,当（9<P<1时，/'（0<o,

所以函数"P）在［,|］上递增，在［*1］上递减，

所以当/时，/（0取得最大值.

22

18.（1）---匕=1（尸0）

1002517

⑵恪

6

【分析】（1）根据题意可得。=4,6=2,得到双曲线C的标准方程，然后利用直线

/］：y=履+加（左w±2）与C有唯一的公共点M,过〃且与4垂直的直线分别交x轴，V轴于

点Z（x,0）,8（0,y）两点,即可求解;

丫2I----y=1,

（2）依题意,E:---\-y2=1，设4：%=W-G,联立47结合韦达定理，得到切线

4

x=ty一框,

方程，然后根据两条切线方程联立，结合构造函数求解三角形面积最值即可.

【详解】（1）

短轴长为4,所以。=44=2,c：--^=l,

因为£的长轴长为8,

416

y=kx+m

联立方程，22,得（4一左2）、2一2痴x-加2-16=0（左w±2）,

-------------=1

〔416

答案第12页，共16页

又/1与C有唯一的公共点所以A=（-2折）2-4（4-r）（_加2-16）=0,

-2kmkm4k

即苏=4斤2—16，W的横坐标为一4-k2m

+4左力、_..-4k2+m216二匚a4/4k16、

寸巴x=代入>=玄+加中，y=--------=----，所以川----,----，

mmmymm)

一日」7工士卫士小、，161(4左、“k20

过"且与4垂直的直线为=一7％"1---，贝!jx=-20x—,y=-----,

mk\mJmm

所以加=,k=—,又加2=4左2_i6，所以^^=客--16,

yyy

222

即工_匕=1（尸o）,所以。的轨迹方程为工一匕=1（"o）.

10025v710025,7

(2)

因为£的长轴长为4,短轴长为2,所以a—2,b—1,c—

2

E:?+/=l,左焦点片卜月,0卜

当4斜率为o时，P,。分别为椭圆的左、右顶点，此时切线平行无交点,

当4斜率不为0时，设l/x=ty苜,

A+2_]

由Ja+VT得,2+4)/一2回一l=0,A=16/+16>0,

x=ty一粗,

设尸(国,%),。(%,%)，贝!!/+%=4^，乂乂

广+4r+4

\PQ\=J1+L|必一%I=Jl+»/(m+力)2-4%%

-X

椭圆在x轴上方对应方程为y

答案第13页，共16页

一演

则点P处切线斜率为4卜兄4%，

点尸处切线方程为y-必=-4（尤-匹），即于+必了=1,

同理可得点。处的切线方程为等+%了=1,

呼+必尸1①，

4(72-71)4（%一弘）

由，得“

+y^y=1②，