2024-2025学年人教版九年级数学上册期中素养测评练习题（宁夏适用）

2024-2025学年7.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当近2时，y随x的增大而增大，且-2gxW时，y的

最大值为9,则a的值为（）

九年级上册人教版数学期中素养测评练习题

A.1或—2B.-扬或也C.收D.1

8.某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒.现准

学校:姓名：班级：考号：

备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规

定，销售时利润率不能超过50%,设该口罩售价为每盒直%>60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200

一、单选题

元利润，则每盒口罩的售价应定为（）

1.如图，将VABC绕点。按照顺时针方向旋转35。得到△A'3'C,4E交AC于点D.若NA'Z）C=90。，则NA=

A.70元B.80元C.70元或80元D.75元

)

B

二、填空题

9.已知点A（-2,b）与点B（a,3）关于原点对称，则a-b=__.

10.若关于％的方程（根-4）止同+2%—5=0是一元二次方程，则加=.

11.已知二次函数y=-（x-l）2+2,当％根时，y随着％的增大而减小，则机的取值范围为.

A.45°B.50°C.55°D.60°12.已知关于%的方程（。+1）%2-2%+3=0有实数根，则整数。的最大值是__.

2.抛物线y=3（%-Ip-2的顶点坐标是（）13.已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与

A.（1,—2）B.（—1,2）C.（L2）D.（-1,-2）x轴的另一个交点坐标是.

3.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

X-1012

y0343

4.关于光的一元二次方程1=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是（）

14.如图，已知在边长为6的正方形比DE中，A为所的中点，点5在边尸C上，且3尸=2,连接A3,尸是

A.m>0B.m>0C.机>0且加D,机之0且mwl

A5上的一动点，过点尸作。石，PN上DC,垂足分别为M,N,则矩形尸面积的最大值是____.

5.经过A（2—3仇也）,5（4b+c—1,机）两点的抛物线y=反一/+2。（%为自变量）与x轴有交点，则线段

长为（）

A.10B.12C.13D.15

6.已知关于％的方程履2_（2"3）%+"2=0,则①无论上取何值，方程一定无实数根；②4=0时，方程只DNC

15.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程幺-6%+4=0的两个实数根，则这个直角三角形

有一个实数根；③左且左W0时，方程有两个实数根；④无论左取何值，方程一定有两个实数根.上述说法

4

斜边的长是.

正确的个数是（）

16.如图，等腰MADEF的三个顶点分别在等边VABC的三条边上，ZE£>F=90°,已知45=36+3,则ADEF

A.1个B.2个C.3个D.4个

面积的最小值是.

(1)求该二次函数的解析式；

⑵若二次函数y=v+云+C的图象与X轴交于两点，与y轴交于点C,连接AC、BC,求VABC的面积.

三、解答题

17.解方程：x2—4x—5=0.

20.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以O£

所在直线为九轴，以过点0垂直于九轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=10m,该

18.化学课代表在老师的培训下，学会了高镒酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教

抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做

这个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学？

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

⑵现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点4、3处分别安装照明灯.已知点A、

19.如图，二次函数"％2+6%+c的图象经过点(5,0)和(1,-8).

3到的距离均为6m,求点A、B的坐标.

21.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，

现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价X(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,

其图象如图所示：23.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1机长.嘉嘉在点A(6,l)处将沙包(看成点)抛出，并运动路

线为抛物线。1：丫=。(％-3)2+2的一部分，淇淇恰在点8。c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛

1M

物线:丁=一#+x+c+1的一部分.

OO

(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元？

(1)写出G的最高点坐标，并求。，C的值;

(2)若嘉嘉在％轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的〃的

整数值.

22.在Rt团ABC中，团ACB=90°,AC=BC=3a,点D是斜边AB上一动点(点D与点A、B不重合)，连接CD,

将CD绕点C顺时针旋转90。得到CE,连接AE,DE.

(1)求团ADE的周长的最小值;

(2)若CD=4,求AE的长度.

24.如图，在长为50m,宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面

积为1260m2,道路的宽应为多少？

D

25.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为昂，将抛物线向右平移相（根＞0）个单位，得到一条新

路线是一条抛物线，行进高度y（根）与水平距离M机）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为gm,

3

抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为邑.若S2=：S],求相的值.

当水平距离为3根时，实心球行进至最高点3相处.

图1

⑴求y关于X的函数表达式;

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离

大于等于6.70办此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.

26.许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可

以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点。为伞骨。4,

03的交点.点C为抛物线的顶点，点A,8在抛物线上，OA,03关于y轴对称.。。=1分米，点A到X轴

的距离是0.6分米，A,5两点之间的距离是4分米.

（1）求抛物线的表达式；

（2）分别延长AO,3。交抛物线于点凡E,求E,厂两点之间的距离;

参考答案

题号12345678

答案CABCBBDA

1.C

【分析】由旋转的性质得出NA'C4,再根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：：将VABC绕点C按照顺时针方向旋转35。得到△AB'C

NA'C4=35°,

•.,ZA=ZA；ZA,DC=90°

ZA=ZA'=900-ZA'C4=55°,

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键.

2.A

【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标.

根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决.

【详解】解：•.•抛物线y=3(x-l)2-2,

该抛物线的顶点坐标为(1,-2),

故选：A.

3.B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形

绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形.

【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴,

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

4.C

【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式按-4〃c>0,结合一元二次方程的定义，

建立关于根的不等式，求出机的取值范围.

【详解】解：・・・关于x的方程(徵-1)/-2/1=0有两个不相等的实数根，

Z?2-4tic=(-2)2-4x(m-l)x(-1)>0,

Vm—1^0,

；

,实数m的取值范围是m>0且

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟

练掌握根的判别式.

5.B

【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出。=人-1,求得抛物线解析式，根据抛物线与％轴

有交点得出A=Z?2—4公之0,进而得出5=2,贝！Jc=l,求得AB的横坐标，即可求解.

b

1x=-----

【详解】解：:抛物线y=-]/+笈—〃+2c的对称轴为直线2。

・・・抛物线经过A(2-3b,m),3(4b+c-1,祖)两点

.2—3/?+4Z?+c-l

即c=〃一1,

——x2+bx—b1+2c=——x2+bx—b1+2b—2,

•・•抛物线与九轴有交点,

***A=Z?2—4ac>0,

即/?2-4X

即62一46+4<0，即伍_2)240,

:•b=2,c=Z7—1=2—1=1,

.・・2—3匕=2—6=<4b+c—1=8+1—1=8,

・・・AB=4Z?+c-l-(2-3Z?)=8-(-4)=12,

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题

的关键.

6.B

【分析】利用根的判别式，可得出A=9-43进而根据各选项的情况得出结论.

【详解】解：关于x的方程履2—（2左一3）x+左一2=0,

A=[-（2^-3）]2-4^（^-2）=9-4^,

2

当左=。时，关于x的方程为3x-2=0,贝!|x=§,

方程只有一个实数根，故②说法正确；

当9—4左W0,解得左V：,贝且发片0时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说

44

法错误；

综上，上述说法正确的是②③，共2个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，牢记“当A20时，方程

有两个实数根”是解题的关键.

7.D

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0,

然后由-2gxSl时，y的最大值为9,可得x=l时，y=9,即可求出a.

【详解】,二次函数y=ax?+2ax+3a2+3（其中x是自变量），

•••对称轴是直线x=-|^=-l,

:当xN2时，y随x的增大而增大，

Aa>0,

・・,-23口时,y的最大值为9,

x=l时，y=a+2a+3a2+3=9,

.*.3a2+3a-6=0,

a=l,或a=-2（不合题意舍去）.

故选D.

h

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c(a/))的顶点坐标是,

2a

4aC~b'),对称轴直线x=-2,二次函数y=ax2+bx+c(a/))的图象具有如下性质：①当a

4〃2a

b___h

>0时，抛物线y=ax?+bx+c(ar0)的开口向上，x<---,y随x的增大而减小；x>—

2a2a

时，y随X的增大而增大；X=-3时，y取得最小值处二忙，即顶点是抛物线的最低点.②

2a4。

h

当a<0时，抛物线y二ax?+bx+c(a#0)的开口向下，xV-丁时，y随x的增大而增大；x>

2a

时，y随x的增大而减小；x=-§时，y取得最大值4℃一”,即顶点是抛物线的最高点.

2a2a4a

8.A

【分析】根据每天的销售利润=每箱的销售利润X销售数量，即可列出关于x的一元二次方

程，解方程即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%,即可确定x的值.

【详解】解：根据题意得：(x-50)[80-2(x-60)]=1200,

整理得：x2-150x+5600=0.

解得：xi=70,无2=80.

当x=70时，利润率=?二X100%=40%<50%,符合题意；

当x=80时，利润率=今，^乂100%=60%>50%,不合题意，舍去.

所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元.

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，

用含x的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程.

9.5

【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a,b

的值即可.

【详解】：点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称，

a—2,b——3,

a—6=2—(-3)=5

故答案为：5.

【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系

的点的坐标变化是解答本题的关键.

10.0

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进

行计算解答即可.

【详解】解：根据题意可得m-4/0,加-2|=2,

解得m=0,

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

11.

【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数了=-。-1)2+2,当

加时，y随着式的增大而减小，可以得到1机21,然后求解即可.

【详解】解：・.•二次函数y=—(%—1)2+2,

工开口向下，对称轴为直线x=l,

・•・当兄>1时，y随工的增大而减小，

•・•当了>；加时，y随着工的增大而减小，

11

—m>I,

2

解得相，2,

故答案为：m^2.

12.-1

【分析】本题考查根的判别式，分。+1=0和〃+1。0两种情况，结合根的判别式求出〃的取

值范围，即可.

3

【详解】解：当〃+1=0,即〃=—1时，方程转化为—2%+3=0,解得：x==,符合题意；

2

当a+lwO,即：aw—1时，方程为一元二次方程，

・・,方程有实数根，

2

・・・△=(—2)9—4x3(a+l)N0,解得：

2

综上：a<——,

・・・整数〃的最大值是-1;

故答案为：-1.

13.(3,0).

【分析】根据（0,3）、（2,3）两点求得对称轴，得出对称轴方程为x=l,再利用二次函数

图像的对称性解答即可.

【详解】,抛物线y=ax?+bx+c经过（0,3）、（2,3）两点，

对称轴x=0+?2=l；

2

点（-1,0）关于对称轴对称点为（3,0）,

因此它的图像与x轴的另一个交点坐标是（3,0）.

故答案为：（3,0）.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数图像的对称性.

14.24

【分析】以FE为x轴，以尸C为y轴，先建立平面直角坐标系，求出A8的解析式为

27

加=一片-2,设P（a,-ja-2）,用含。的式子表示出尸加，PN，根据矩形面积公式列

式，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：以FE为x轴，以bC为y轴，建立平面直角坐标系，

:边长为6的正方形FCDE1中，A为所的中点，BF=2,

；.A(-3,0),B(0,-2),C(0,-6),E(-6,0),

设AB的解析式为%B=丘+6,则

0=-3k+b

解得3,

b=-2

b=-2

2

**•=——x—2(-3(%WO),

292

设P(〃，-—a-2)(—3<«<0),则PM=6+a,PN=-—<2-2-(-6)=4--af

S矩形pNDM=(6+a)(4-ga]=—|a2+24,

.,.当a=0时，矩形RVD”面积的最大值是24.

故答案为:24.

【点睛】本题考查了二次函数的应用问题，用待定系数法求一次函数的解析式,矩形的面积，

正方形的性质等知识点，能灵活运用知识点是解此题的关键.

15.2不

【分析】由题意解一元二次方程Y一6x+4=0得至Ux=3+岔或尤=3-石，再根据勾股定理

得到直角三角形斜边的长是2起.

【详解】解：••・・个直角三角形两条直角边的长分别是■元二次方程f-6x+4=0的两个实

数根，

由公式法解一元二次方程尤2一6x+4=0可得x="'MT，=6±2、=3七也,

22

根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是J(3+司+(3一肩=应=2币,

故答案为：2s.

【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键.

，,27

16.—

4

【分析】过万作于过尸作式N_LA3于N,则三△D/W,设石N==

用X、y表示出A8的长度即可得到X、y的关系式，最后根据凡°斯=:(尤2+3?)求最

值即可.

【详解】过E作£M_LA8于M,过/作FNJ_45于N,设石A/=y,DAf=%,

・.•等腰R/ADEF

:.AEDM*DFN(AAS)

.・.EM=DN=y,DM=FN=x

•・•等边VABC

・・・ZA=NB=60。

AM=—EM=—y,BN=—FN=—x

3333

•/AB=36+3

/.AB=AM+MD+DN+NB=3^+3

即AB=^-y+x+y+^-x=3\/3+3

整理得x+y=36

y=3^3-x

2

「・S.DEF==J_（%2+y2）=j_%2+j_（34一%）=X-3A/3X+—=x-^^-+—

2222224-

•••当尤=乎时，邑四=］最小•

,、27

故答案为：--.

4

【点睛】本题综合考查全等三角形中的一线三垂直模型、等边三角形的性质、二次函数最值，

利用二次函数来求最值是解题的关键.

17.%=-1,%2=5.

【分析】利用配方法解方程即可.

【详解】解：移项，得

%2-4%=5,

x2-4x+4=5+4,

（X-2）*，

两边开平方，得

x一2=±3,

••尤］=-1,无2=5.

【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程.

18.一个人每节课手把手教会了6名同学

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第

二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合

题意的值，即可得出结论.

【详解】解：设一个人每节课手把手教会了了名同学，

根据题意得：(1+无y=49,

解得：%=6,X2=-8(不符合题意，舍去).

答：一个人每节课手把手教会了6名同学.

19.(l)y=x2-4x-5；

⑵15

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关

键.

(1)根据待定系数法求解；

(2)先求出A、B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求解.

[25+56+c=0

【详解】(1)解：由题意得：,,。，

[l+b+c=-S

[Z?=-4

解得：<,

[c=-5

.,.该二次函数的解析式为y=/-4尤-5；

(2)解：当x=0时，y=-5,

当y=0时，0=/一4尤一5,

解得：x=-1或x=5,

•••二次函数股/+bx+c的图象与X轴交点(TO),(5,0),

；.VABC的面积为：1x5x(l+5)=15.

9,

20.(l)y=-—(X-5)2+9

⑵A(5-¥，6),B(5+半,6)

【分析】(1)根据题意，设抛物线的函数表达式为y="(.-5)2+9,再代入(0,0),求出

的值即可；

(2)根据题意知，A,2两点的纵坐标为6,代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可

解决问题.

【详解】(1)依题意，顶点25,9),

设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9,

将(。,。)代入，得0=a(0-5>+9.解之，得”-幺.

o

A抛物线的函数表达式为y=-石(x-5)2+9.

9

(2)令y=6,得——(X-5)2+9=6.

【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的

运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.

21.(1)y=10x+100；(2)这种消毒液每桶实际售价43元

【分析】(1)设y与X之间的函数表达式为>=丘+6,将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表

达式，即可求解；

(2)根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于尤的一元二次方程，通过解方程即可求解.

【详解】解：(1)设'与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b,

[110=左+6

将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：”，，，

130=3后+6

解得:

故函数的表达式为：y=10x+100；

(2)由题意得：(10x+100)x(55-x-35)=1760,

整理，得尤2-10X-24=0.

解得玉=12,x2=-2(舍去).

所以55-x=43.

答：这种消毒液每桶实际售价43元.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识,

正确利用销量X每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键.

22.(1)6+3立;(2)3-4或3+々

【分析】(1)根据勾股定理得到AB=〃AC=6,根据全等三角形的性质得到AE=BD,当

DE最小时，AADE的周长最小，过点C作CFLAB于点F,于是得到结论；

(2)当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论

【详解】解:(1)•.•在RtAABC中,ZACB=90°,AC=BC=3/

AB=V2AC=6,

VZECD=ZACB=90°,

ZACE=ZBCD,

AC^BC

在AACE与ABCD中，＜ZACE=ZBCD,

CE=CE

AAACE^ABCD(SAS),

.\AE=BD,

AADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE,

当DE最小时，AADE的周长最小，

过点C作CF±AB于点F,

当CDLAB时，CD最短，等于3,此时DE=3/,

...△ADE的周长的最小值是6+3V2;

(2)当点D在CF的右侧，

VCF=-AB=3,CD=4,

2

.•.DF=V7,

AE=BD=BF-DF=3-不；

当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+击,

综上所述：AE的长度为3-0■或3+g.

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运

用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质.

23.（1）G的最高点坐标为（3,2）,«=-1,c=l；

⑵符合条件的n的整数值为4和5.

【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点46,1）在抛物线上，利用待定系数法即可

求得。的值；令x=0,即可求得c的值；

（2）求得点A的坐标范围为（5,1）〜（7,1）,求得w的取值范围，即可求解.

【详解】（1）解：•.•抛物线G：y=a（x-3『+2,

•••C的最高点坐标为（3,2）,

•••点A（6,1）在抛物线G：>=。（尤-3>+2上，

1=6/（6—3）"+2,解得：a=――,

•••抛物线的解析式为y=-|（x-3）2+2,令x=0,贝合=一（（。-3）2+2=1；

（2）解：：到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，

点A的坐标范围为（5,1）〜（7,1）,

1%

当经过（5,1）时，1=—X52+-X5+1+1,

88

17

解得

当经过（7,1）时，1=—：X72+?X7+1+1,

88

解得“=予41；

.17.<41

..一<n<一

57

符合条件的n的整数值为4和5.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的

坐标特征是解题的关键.