隐圆模型（四大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中试题分类汇编（山东专用）（含答案）

专题08隐圆模型

北点北K强型

定边利北用模型

经典尽础弘

定依定角模型

四点先同强型

优选援开题

I经典基础题

定点定长模型

1.如图，四边形/BCD中，AB=AC=AD,且NC/O=3N8/C,若NDBC=42°,则

NCAD=_,NBDC=

2.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若NCAD=76。，则NCBD=度-

3.如图，在边长为6的菱形4BCD中，44=60。，M是4D边上的一点，且

N是边上的一动点，将A/MN沿所在直线翻折得到/"N,连接4c.则4c长度

的最小值是

试卷第1页，共6页

定边对直角模型

4.如图，。。是△48C的外接圆，NC为直径，若/8=26,3C=3,点尸从B点出发，在A/BC

内运动且始终保持=当C,P两点距离最小时，动点尸的运动路径长为（）

C.D.2兀

5.如图，矩形45CD的宽为10,长为12,E是矩形内的动点，AE1BE,则CE最小值为

A.9B.8C.7D.6

6.如图，A4C8中，CA=CB=4,乙4CB=90。，点P为。上的动点，连过点力作

AM1BP于M.当点尸从点。运动到点4时，线段的中点7V运动的路径长为（）

试卷第2页，共6页

7.如图，在矩形48。中，N8=8,8c=6,点P在矩形的内部，连接尸4PB,PC,若

APBC=^PAB,则PC的最小值是（）

A.6B.V73-3C.2713-4D.4而-4

8.如图，在等腰RtZ\/8C中，ABAC=90°,AB=AC,BC=2插,点。是NC边上一动

点，连接8。，以为直径的圆交3。于点E,则线段CE长度的最小值为（）

A.2亚-2B.V5-2C.V5-1D.出-1

9.如图1,是。。的直径，点C在的延长线上，48=4,BC=2,尸是。。上半部

分的一个动点，连接OP,CP.

（1）当。尸OC时，AOPC的最大面积为；

（2）如图2,延长尸。交。。于点。，连接80,&BD=CP.求证：CP是。。的切线.

[产型04]四点共圆模型

10.如图，已知A/8C中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,ZCPB=NA,过点C作CP的

垂线，与8P的延长线交于点。，则的最大值为（）

试卷第3页，共6页

11.如图，点。为线段48的中点，点、B,C,。到点。的距离相等，连接4C,BD.则下

面结论不一定成立的是（）

AACB=AADBB.ZABC+ZADC=180°

ZABD=ZACDD.若ZABD=2NCBD,则4。=2。

12.如图，在四边形/BCD中，AB=BC,对角线AD平分Z4DC,ACLCD,且

ABAC=AADB.

⑴证明：ZBAD+ZBCD=1SO°；

(2)若44。8=30。，AD+CD=45求AD的长.

优选提升题

(23-24九年级上•山东济南•期中)

13.如图，在四边形/BCD中，4B=AC=AD,ZBAD=140°,ZBDC=50°,贝I|ZD8C=

()

A.30°B.25°C.20°D.15°

（23-24九年级上•山东枣庄•期中）

14.如图，在边长为2道的等边人42。中，点。、E分别是边3C、NC上两个动点，且满足

试卷第4页，共6页

AE=CD.连接3瓦AD相交于点P,则线段CP的最小值为（）

A.1B.2C.y/3D.273-1

（23-24九年级上•山东济南•期中）

15.如图，等边AABC中，D在BC上，E在AC上，BD=CE,连BE、AD交于F,T在

EF±,且DT=CE,AF=50,TE=16,贝UFT=.

（23-24九年级上•山东威海•期中）

16.如图，在RtZUBC中，乙lBC=90。,4B=4,5C=6,尸是/8左侧一动点，且

则线段CP长度的最大值是.

（23-24九年级上•山东泰安•期中）

17..如图，在38c中，乙4cB=90。，AC=5,8C=8,点。是边8c的中点，点£是边

48上的任意一点（点£不与点8重合），沿DE翻折△02E使点2落在点尸处，连接4F,

则线段AF长的最小值是.

试卷第5页，共6页

（23-24九年级上•山东淄博•期中）

18.如图，ABLBC,AB=5,点、E、尸分别是线段/8、射线2C上的动点，以跖为斜边

向上作等腰RtADEF,4EDF=90°,连接AD,则AD的最小值为

（23-24九年级上•山东济南•期中）

19.如图，已知/C=8C=4,点。是48下方一点，且NC=NZ）=90。，求四边形

面积的最大值.

试卷第6页，共6页

1.84°##84度14°##14度

【分析】由4B=/C=AD可知点2,C,。在以/为圆心的圆上，根据圆心角和圆周角的

关系即可求得.

【详解】解：•••/8=NC=/。，

:•点、B,C,。在以/为圆心的圆上，

NDBC=42°,

ZCAD=2ZDBC=84°,

■：ACAD=3ABAC,

:.ZBAC=-ZCAD=2S°,

3

ZBDC=-ZBAC,

2

...ZRDC=—x28°=14°.

2

故答案为：84°,14°.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是

解题的关键.

2.38

【分析】由已知我们可以将点B,C,D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三

个点，从而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得即可.

【详解】•.・AB=AC=AD,

•••点B,C,D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，

.­.ZCBD是弧CD对的圆周角，ZCAD是弧CD对的圆心角；

•■•ZCAD=76°,

11

•••ZCBD=-Z.CAD=-x76°=38°.

22

答案第1页，共16页

【点睛】此题考查了圆周角定理.此题难度适中，解题的关键是根据题意得到B,C,D在

以A为圆心，AB为半径的圆上，然后利用圆周角定理求解.

3.2M-2

【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点H在上，A'C

的长度最小，是解题的关键.

过点M作交延长线于点，，连接CM,根据菱形的性质和直角三角形的性质,

求出CH,而，再由勾股定理求出CW的长，再由折叠的性质可得点H在以〃为圆心，AM

为半径的圆上，从而得到当点H在线段MC上时，4C长度有最小值，是解题的关键.

【详解】解：过点M作LCD交CD延长线于点乜连接CM,

•••AM=2,DM=4

CD//AB,

：.AHDM=/4=60°

.-.HD=^MD=2,,HM==273

:.CH=6

•••MC=YIMH2+CH2=2M

•.•将AAMN沿MN所在直线翻折得到△4MN,

：.AM=AM=2,

.•.点H在以M为圆心，为半径的圆上，

・•・当点H在线段上时，/'C长度有最小值

A'C长度的最小值NC=MC-MA'=2M-2

故答案为：2M-2

4.A

【分析】本题考查了圆，解直角三角形，弧长公式，取的中点J,即可得=根据

答案第2页，共16页

NC为G>O直径得//3C=90°,则448尸+/尸8c=90。，根据/以尸=/P8C得

ZBAP+ZABP=90°,即可得4P8=90。，点P在以NB为直径的。。上运动，即当入P、

C共线时，尸c的值最小，在7?四。8/中得1211473=也，可得NG®=60。，即可得；添加辅

3

助线，根据计算得出点P在以为直径的。。上运动，当人P、C共线时，PC的值最小

时解题的关键.

【详解】解：如图所示，取48的中点J,

,­,AB=2道,

:.BJ=-AB=4i,

2

•••/C为。。直径,

ZABC=90°,

;.ZABP+NPBC=9Q°,

■■ZBAP=ZPBC,

ZBAP+ZABP=90°,

ZAPB=90°,

.•.点尸在以42为直径的。。上运动，

即当入P、C共线时，尸。的值最小，

在中，BJ=y/3,BC=3,

.­•tanZCJB=—=—,

BJ3

,­,ZCJB=60°,

・•・当C、P两点距离最小时，动点。的运动路径长为：60%x牝与,

1803

故选：A.

5.B

【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，由

答案第3页，共16页

知点E在以4B为直径的半。。上，连接CO交。。于点/，当点E位于点E'位置时，线段

CE取得最小值，利用勾股定理可得答案.

【详解】如图,

AE工BE,

•••点、E在以AB为直径的半。。上，

连接CO交。。于点

当点£位于点E'位置时，线段CE取得最小值，

•••AB=\Q,

OA=OB=OE'=5,

■：Bc=n,

OC=yjBC2+OB2=A/122+52=13.

:.CE'=OC-OE'=13-5=8.

故选：B.

6.A

【详解】解：设NB的中点为。，连接N0,如图所示：

•••N为2M的中点，。为48的中点，

.■.NQ为ABAM的中位线，

••,AM上BP,

••.0N15N,

：/QNB=90。,

.••点N的路径是以QB的中点。为圆心，长为半径的圆交C3于。的曲,

♦:CA=CB=4,乙4c3=90°,

:.AB=gCA=4匹乙QBD=45°,

••2。。。=90°,

.@为©0的:周长，

答案第4页，共16页

.••线段BM的中点N运动的路径长为：90Tx46=耳,

180~2

故选：A.

7.C

【分析】判断出点尸在以A8为直径的。。上，连接CO交。。于点尸，此时尸C取得最小

值，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：••・四边形N2CD是矩形，

.■■^ABC=9Q°,即NP2C+NP2N=90°,

.:乙PBC=LPAB,

.-.^PBA+/LPAB=90°,即ZAPB=9O°,

.•.点尸在以为直径的。。上，连接CO交。。于点P,

此时PC取得最小值，

••・四边形488是矩形，AB=8,BC=6,

：.OB=OP=—AB=4,

2

由勾股定理得CO=JOB、BC2="2+6。=2V13，

PC=25-4

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点

尸位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离.

8.C

答案第5页，共16页

【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连

接根据N4EB=90。得出点£在以力B为直径的。。上，进而勾股定理求得0C,当点E

在线段0C上时，CE最小，即可求解.

【详解】如解图①，连接/E,

图①

AB=AC—2,

•••4。为直径，

ZAED=90°,

/.ZAEB=90°,

二•点E在以为直径的。。上，

.「OO的半径为1,连接OE,OC,

OE=-AB=\,

2

在RtA。/。中，

VOA=\,AC=2,

oc=^OA2+AC2=Vs，

如解图②，当点E在线段OC上时，CE最小，

CE^OC-OE=s/5-l,即线段CE长度的最小值为遥-1.

«一一/C

图②

故选：C.

9.(1)±,4

(2)见解析

【分析】(1)根据三角形的面积公式得到S%pc=2,4,根据题意确定OP_LOC时，〃最大,

答案第6页，共16页

计算即可；；

(2)连接ADAP,BP，证明四边形ADBP为平行四边形，得到/尸=2。，证明44PB=△CPO,

根据全等三角形的性质得到4P8=/OPC,根据圆周角定理得到N/4PB=90。，根据切线

的判断定理证明结论.

【详解】(1)•:AB=4,

.•.02=2,OC=OB+BC=4.

在AOPC中，设0c边上的高为a,

vSeopc—；OC-h=2h,

・•・当h最大时,S«opc取得最大值.

当OPLOC时，力最大，

此时〃=2,S^opc=2x2=4.

：.OA=OB,OD=OP

四边形4)8尸是平行四边形

AP=BD,

又,:CP=BD,

・•.AP=CP,

答案第7页，共16页

在△4PB与△CP。中

AP=CP

<ZA=ZC

AB=CO

.•.△NP3三△CPO(SAS),

；.NAPB=ZOPC,

・•,48是直径，

；.NAPB=90°,

ZOPC=90°,即PC_LOP,

・•・PC是。。的切线.

【点睛】考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质，解题关键是抓住经过半径的外端且

垂直于这条半径的直线是圆的切线求解.

10.C

3

【分析】由/尸CQ=N/C8=90。，ZCPB=ZA,证明ACPQSAC/B,推出。。=3尸。，当

4

尸C有最大值时，C。有最大值，根据=得到点4C、B、P四点共圆，若PC

有最大值，则尸C应为直径，由乙4。2=90。，得到N2是圆的直径，勾股定理求出

PC=AB=JAC?+BC?=5，即可得到答案.

【详解】解：「COLCP

...NPCQ=NACB=90°

VZCPB=NA

^CPQs小CAB

PC_QC

••工―茄

PCQC

“丁一亍

3

QC=-PC,

・•・当尸c有最大值时，C0有最大值，

•••ZCPB=NN,

・••点4C、B、P四点共圆，

若尸C有最大值，则尸。应为直径，

答案第8页，共16页

■.■ZACB=90°,

・•./8是圆的直径，

•••PC=AB=y/AC2+BC2=5，

3is

.••0C的最大值为=x5=?,

44

故选：C.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌

握四点共圆的性质是解题的关键.

11.D

【分析】本题考查了圆的判定和基本性质，根据圆的判定和基本性质判断即可.

【详解】•••点。为线段的中点，点2,C,。到点。的距离相等，

：.OA=OB=OC=OD,

故点B,C,。都在以点。为圆心，CM为半径的圆上，且48是直径，

ZACB=ZADB,

故A正确；

四边形/BCD是圆的内接四边形，

.-.ZABC+ZADC=180°,

故B正确；

根据同弧上的圆周角相等，得到a=

故C正确；

作的平分线BE,交圆于点E,

则NABE=ZDBE=|NABD,

又NABD=2ZCBD,

：.AABE=NDBE=ZCBD,

AE=DE=CD,

答案第9页，共16页

■：AE+DE>AD,

：.2CD>AD.

故D错误，

故选D.

12.⑴见解析

（2）BD=4

【分析】（1）由题意推出=从而得到A、B、C>。四点共圆，进而得出结

论即可；

（2）首先根据已知信息求出4D,再结合四点共圆的结论，在Rt^/血中求解即可.

【详解】（1）证：•••A8=8C,

.-.ABAC=ABCA,

ABAC=AADB,

ABCA=AADB,

・•・A、B、C、。四点共圆，

：.ABAD+ABCD=■

（2）解：-ACLCD,

ZACD=90°,

ZADB=30°,BD平分N4DC,

ZADC=60°,ZCAD=30°

.•.在中，AD=2CD,

■■AD+CD^Ayfi,

MD=巫,CD2,

33

・・・A、B、C、。四点共圆，

・•・ZACD=/ABD=90°,

在Rt"BD中，BD=AD-cosZADB=—xcos30°=—x—=4,

332

BD=4.

【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆

当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键.

13.C

答案第10页，共16页

【分析】本题考查了本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是根据题意得到从C、。三

点共圆.首先根据得到点2、C、。三点在以点/为圆心的圆上，然后根据

/8。。=50。得到/七1C=2乙M。=2*50。=100。,利用圆周角定理即可求解.

【详解】解：AB=AC^AD,

.•.点B、C、。三点在以点/为圆心的圆上，如图所示：

■：ZBAD=140°,

ZDCA=40°,

NDBC=-ADAC=1x40°=20°.

22

故选：C.

14.B

AB=BC=AC,zABC=zBAC=zBCE=60°,

•••AE=CDBD=CE,:.AABD^ABCE(SAS)

NBAD=NCBE,又NAPE=NBAD+ZABE,

ZAPE=ZCBE+ZABE=ZABC,

ZAPE=6O°,

ZAPB=12O°,

•••点P的运动轨迹是O为圆心,OA为半径的弧上运动,

答案第11页，共16页

连接oc交00于N,则OC1AB,

.­■根据圆周角定理可得NAOB=120°,ZOAF=30°,AF=1AB=也

■■.OA=2AB=2,

sin30°

OC=2OA=4

当点P与N重合时,CP的值最小,最小值=OC-ON=4-2=2.

故选：B

【点睛】本题主要考查圆的圆周角定理及三角形全等的相关知识，综合性大，需综合运用所

学知识求解.

15.17

【分析】用“SAS”可判定4ABDmZXBCE,得到NAFE=60。，延长FE至点G,使得FG=FA,

连AG,AT,得到4AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明AFAT三4GAE

(ASA),即可求得答案.

【详解】•••△ABC为等边三角形，

.•.AB=AC=BC,zABD=z.BCE=60°,

itAABDffABCE中，

'AB=BC

<ZABD=ZBCE=60°,

BD=CE

••.AABD=ABCE(SAS),

•••ZBAD=ZCBE,

•■•zADC=zCBE+zBFD=zBAD+zB,

.-.zBFD=zB=zAFE=60°；

延长FE至点G,使得FG=FA,连AG,AT,

答案第12页，共16页

,.2AFE=60°,

.•.△AFG是等边三角形，

・・.AG=AF=FG=50,zAGF=zFAG=60°,

vzBAF+zEAF=zCAG+zEAF=60°,

/.ZBAF=ZCAG,

•.DT=CE,

.,.Z.DBT=ZBTD,

vzBAD=zCBE,

.,.Z.BAD=zBTD,

・・・A、B、D、T四点共圆，

.,.zBAD=zDAT,

.*.ZFAT=ZGAE,

在AFAT和4GAE中，

AFAT=ZGAE

<AF=AG,

ZAFG=ZAGF=60°

.*.AFAT=AGAE(ASA),

・・・FT=GE,

vFG=50,TE=16,

・・.FT=；(FG-TE)=17.

故答案为：17.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理

等，作出辅助线，判断出AFAT三4GAE是解本题的关键.

16.25/10+2##2+2710

【分析】此题考查圆周角定理，勾股定理，最短路径问题：以为直径作圆O,得到点尸

在圆。上运动，连接C。并延长，交圆。于点。，当点尸与点。重合时，CP最大，即为线

段C©的长度，勾股定理求出OC即可得到线段。尸长度的最大值.

【详解】如图，以43为直径作圆。，

答案第13页，共16页

%

4c

vAPIBP,

:./APB=90°,

二点尸在圆。上运动，

连接C。并延长，交圆。于点。，当点尸与点。重合时，CP最大,即为线段8的长度,

-：OB=-AB=2,BC=6,

CO=y/OB2+BC2=6+62=2屈,

■■CP的最大值为OC+OD=2V10+2,

故答案为：2厢+2.

17.V41-4##-4+V41

【分析】由翻折的性质可知DB=DF,结合D是BC的中点得到DB=DF=CD,进而得到点F

在以。为圆心，以8。为半径的圆上，连接/。交圆于尸'，此时/尸'的值最小，求出/尸即

可求解.

【详解】解：由翻折的性质可知。尸，

,•,。是2C的中点，

.■DB=DF=CD,

.,.点尸在以。为圆心，以2D为半径的圆上，连接交圆于F,此时4r的值最小.

VAC=5,BC=S,ZACB=90°,

CD=—BC=—x8=4,

22

答案第14页，共16页

AD=>]AC2+CD2=V52+42=V41，

AP=AD-DP=AD-CD=M-4.

故答案为：V41-4.

【点睛】本题主要考查图形的翻折变换，勾股定理等知识，构造圆找到/尸最小时的位置是

解题的关键.

18.巫

2

【分析】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等