河南省周口市某校2024-2025学年高二年级上册9月月考数学试题

2024-2025学年度高二9月联考

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.给出下列命题：

①零向量的方向是任意的；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若空间向量晨B满足同=即则

④空间中任意两个单位向量必相等.

其中正确命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

2.如图，在直三棱柱Z5C—451G中，E为棱4G的中点.设丽=万，~BBx=b,~BC=c,则砺=

（）

_11_

C.ClH—b7H—cD.-a+b+c

222

3.对于任意空间向量G,b,c,下列说法正确的是（）

A.若2_Lb,b.Lc,则万B.a-(b+c)=a-b+a-c

C.若万石＜0,则5,3的夹角是钝角D.(S-b)c=a(b-c)

4.设X/ER,向量2=(x,2,2),3=(2/,2),己=(3,—6,3)且5J_1，bl1c,则5+()

A.3V2B.4V2C.5D,6

5.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点4-3,4)的直线/

的一个法向量为(1,—3),则直线/的点法式方程为：lx(x+3)+(—3)x(y—4)=0,化简得

x-3y+15=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点河(1,2,3)的平面的一个法向量为

沅=(1,2,-4),则该平面的方程为()

A.x-2v-4z+7=0B.x+2y-4z+7=0

C.x+2y+4z+7=0D.x+2y-4z-7=0

6.已知圆锥尸。的母线长为2,表面积为3兀，。为底面圆心，AB为底面圆直径，C为底面圆周上一点，

NBOC=60°,河为P8中点，则△MOC的面积为()

V15V151515

A.-----B.-----C.—D.—

8448

7.如图，在棱长为2的正方体48C。—481GA中，已知M,N,尸分别是棱弓口，AAX,8c的中点,

。为平面上的动点，且直线08］与直线OB1的夹角为30。，则点。的轨迹长度为()

兀

A.—B.71C.2兀D.3兀

2

8.在四棱锥尸-48CZ)中，尸2,平面4BCD,底面488为矩形，48=R4.若2C边上有且只有一个点

Q,使得尸0，纱，此时二面角/-P。-。的余弦值为()

口V30c逅

£>.----D叵

666

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知平面a与平面，平行，若拓=(2,-4,8)是平面，的一个法向量，则平面a的法向量可能为()

A.(-l,2,-4)B.(-l,2,4)C.(2,4,-8)D.(-2,4,-8)

10.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(

（1）过点片（//o，Zo）,且以您=（应九0）伍加。0）为方向向量的空间直线/的方程为

x-x0=y-y0=z-z0

abc

（2）过点尸Go/o/o）,且＜=（加加WO）为法向量的平面。的方程为

m（x-xo）+/7（j-jo）+Z（z-zo）=O.

6x-3y=2.x-1y-3z-4

现已知平面。：x+2歹+3z=6,/］：＜/l:x-3=y=\-z,l:——二』一二——,则

\3y-2z=1,2322-2

（）

A./］_LaB.I211aC.l311aD.lJ/a

11.如图，正方体48。。-44GD的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）

IT

A.两条异面直线DXC和BC］所成的角为:

7T

B.直线BQ与平面/BCD所成的角等于2

4

C.点C到平面BDC,的距离为—

13

D.四面体5£＞G4的体积是2

113

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，四棱柱48CD—451GA为正方体.

①直线CG的一个方向向量为（0,0,1）；

②直线3G的一个方向向量为（0,1,1）；

③平面及C1C5的一个法向量为(-1,0,0)；

④平面与CD的一个法向量为(1,1,1).则上述结论正确的是.(填序号)

13.已知空间向量2=(2,3,切)，3=(0,2,1),3=(2,7,〃)，若G,己共面，则机"的最小值为

14.设空间向量/，；,「是一组单位正交基底，若空间向量5满足对任意的x,外向-行-0|的最小值

是2,则卜+3q的最小值是o

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图，在直四棱柱450—45]GA中，ABIICD,ABLAD,

AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F,G分别为棱。2，g，8片的中点.

(1)求M•丽的值；

(2)证明：C,E,F,G四点共面.

16.(15分)如图，已知平行六面体N5CD—44CQ中，底面/BCD是边长为1的菱形，CCX=2,

NC、CB=ZBCD=NQCD=60°.

(1)求线段C4]的长;

(2)求证：C4LB}DX.

17.(15分)已知空间中三点/(1,一夜,3),3(0,0,5),C(1,V2,4).

(1)若向量成与方平行，且网=走，求玩的坐标；

(2)求向量方在向量正上的投影向量5；

(3)求以C2,。为邻边的平行四边形的面积.

18.(17分)如图，在四棱锥尸—中，底面N2C。为直角梯形，ZADC=ZBCD=90°,

BC=1,CD=C，PD=2,ZPDA=60°,/尸40=30°,且平面尸4D，平面/BCD,在平面

4BCD内过8作80_L4D,交4D于。，连尸O.

(1)求证：尸。，平面4BCD；

(2)求二面角Z—必―C的正弦值；

(3)在线段PN上存在一点使直线8M与平面尸/。所成的角的正弦值为其Z,求P70的长.

7

JT

19.(17分)将菱形48co绕直线AD旋转到/EED的位置，使得二面角E-4D-8的大小为一，连接

3

71

BE,CF,得到几何体45£—。。尸.已知45=4,ZDAB=~,M,N分别为/R2。上的动点且

3

色=型=〃。=<1).

AFBD

(1)证明：MNH平面CDF；

(2)求8E的长；

(3)当的长度最小时，求直线到平面CZE的距离.

2024-2025学年度高二9月联考

数学参考答案及评分意见

1.D【解析】零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故①正确；当两个空间向量的起点相同，终点也

相同时，这两个向量必相等.但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，

要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量G与3的方向不一定相同，故③错

误；对于命题④，空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同，故不一定相等，故④错误.故

选D.

2.A【解析】由题意可得而=函+瓦彳+乖=函+函+g布=函+函+；%=函+方+

-(BC-BA)=-BA+-BC+BB.=-a+-c+b.i^A.

222122

3.B【解析】对于A,若万_LB,blc,则晨己不一定垂直，故A错误，

对于B,a-(b+c)-a-b+a-c,故B正确，

对于C,若鼠否夹角为兀，则展B<0成立，故C错误，

对于D,伍％)已表示与c共线的向量，而1(3下)表示与万共线的向量，所以他%)已与1(。为不一定相

等，故D错误，故选B.

4.D【解析】因为51_己，则鼠己=3x—12+6=0,解得x=2,则@=(2,2,2),因为百/己，贝U

g=W，解得y=—4,即5=(2,—4,2),所以，@+3=(4,—2,4),因此，卜+q=J16+4+16=6.故

选D.

5.B【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点尸(x,y,z),则砺=(x-l,y—2,z—3),•.•平面的法向

量为比=(1,2,—4),.■.lx(x-l)+2x(j-2)-4x(z-3)=0,x+2y—4z+7=0.故选B.

6.A【解析】设底面圆的半径为r,则2兀外+兀/=3兀，解得外=1或厂=—3(舍去)，则

(1、

OP=V4^1=V3,如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),C—,-,0,

1故反=［走」,0

,所叫困=1,|而:|=1,故

I22J122’2’而=1畛倒

77

____j.______

cosNGW="=工=),所以sin/O(W=J1—=叵，所以

10cH0M1X14N⑷4

SAMOC=；xlxlxNp^=1^,故选A.

7.C【解析】以。为坐标原点，DA,DC,DD],所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则尸(1,2,0),M(0,l,2),N(2,0,l),£>(0,0,0),4(2,2,2),

故函=(2,2,2),PA/=(-l,-l,2),/W=(l,-2,1),设平面PAW的法向量为比=(x,y,z),则

"上=(”办(-12)-2z=0,令.J得，—=],

故式=(1/,1).因为

m-PN=(x,y,z)-(1,-2,l)=x—2y+z=0,

DB1=2m,故。平面PAW,0为平面尸MN上的动点，直线。片与直线的夹角为30。,

平面PAW,设垂足为S,以S为圆心，r=J5]S为半径作圆,即为点。的轨迹，其中

131

40=丽|='4+4+4=2百,由对称性可知，BxS=^BxD=4i,故半径r=】£xG=l,故点。

的轨迹长度为2限故选C.

8.C【解析】尸/1.平面48c。，。0匚平面45。。，；.尸幺_1。。，又尸。，£>。，PACPQ=P，

PQ,P/u平面尸/Q,二。。J_平面P/0,又NQu平面P/Q,.•.£)2，/。；设PA=4B=2,

AD=t(t>0),BQ=m(0<m<t),:.AQ~=4+m2,DQ2=4+(r-m)2,AD~=t2,

4+7772+4+(r-m)2=r,即机2-加J+4=o关于阴的方程有且仅有一个[o,4范围内的解，曲线

y=掰2-/加+4的对称乾为机=人，；.△=/-16=0,解得：/=4,.,.加=2.以/为坐标原点，AD,

.2

AB,方的方向分别为x,y,z轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则/(0,0,2),£>(4,0,0),。(2,2,0),.,.而=(4,0,-2),丽=(—2,2,0),ly轴，平面尸4D,.•.平

•力=4x—2z=0,

•n=-2x+2y=0,

।।\m-n\1KV6

令X=l,解得：y=lfz=2,.-.H=(l,l,2),cos(m,n)==—,由图形可知：二面

网.同<66

角4—PD—Q为锐二面角，，二面角A-PD-Q的余弦值为—.故选C.

6

9.AD【解析】设平面，的法向量为成，则由题意可得比〃为，对于A选项，m=(-l,2,-4)=-1zi,满

足题意；对于B选项，设(-1,2,4)=2(2,-4,8),4无解，所以不符合题意；对于C选项，设

(2,4,—8)=4(2,—4,8),X无解，所以不符合题意；对于D选项，玩=(―2,4,—8)=—为，满足题意.故选

AD.

6x-3v=2,

10人(2【解析】平面1:》+2旷+32=6,则平面法向量为炉=(1,2,3),对/1：-则

[3v-2z=l,

x_laI

3x-l=^=z+~,即一^=4=—2,所以/过点方向向量为4=[±2,1],所以

221211^32)1(33)

33

云=34，所以刃/玛，所以《La,故A正确，D错误；对.x—3=y=l—z,即T=；=

所以4过点(3,0/)，方向向量为&=(1J—1)，点(3,0』)代入平面方程》+2〉+32=6成立，所以4与平

面a有公共点，故B错误；对所以4过点(1，3,4),方向向量为

语=(2,2,—2),因为=(1,2,3>(2,2,—2)=2+4—6=0,所以所以"ua或&〃a，但点

(1,3,4)代入平面方程x+2y+3z=6不成立，故。仁1，所以4〃a，所以C正确.故选AC.

11.BCD【解析】建立如图所示空间直角坐标系。—乎，则。(0,0,0),£>1(0,0,1),C(0,l,0),

5(i,i,o),q(0,1,1).

对A：瓦=(0,1,-1),5Q=(-1,0,1),故cos麻,J=」,故(瓦，西)=如，

'/v2xV22''3

TT

即异面直线。。和3C]所成的角为故A错误；

对B：5Q=(-1,0,1),由z轴，平面48cD,故平面4BCD的一个法向量为羽=(0,0,1),则

cos/5C；,m\=^^=—,故直线BQ与平面/BCD所成的角为巴，故B正确；

对C：0=(—1,0,0),丽=(1,1,0),5Q=(-1,0,1),设平面5DC]的法向量为力=(x,y,z),则有

fx+v=0,-\BC-n\1-11V3

4"令x=l,则亢=(1,—1,1),故点C到平面8£>G的距离="=故C正

[-x+z=0,1\n\V33

确；

对D：易得四面体ADG4为正四面体，则

^BDCXAX^^ABCD-^-By14X3义？*11X13，故DI卜：^^0.

12.①②③【解析】设正方体的棱长为1.因为441〃CC「且数=(0,0,1),所以①正确；因为

ADJIBG，7瓦=(0,1,1),所以②正确；因为CD,平面与GC8,CD=(-1,0,0),所以③正确；因

为正方体中平面48CC1，8C]U平面48cq,所以CDLBC],又BC]，4C,

51CC|CD=C,Bg,COu平面4CD,所以Bq，平面片CD,而8。与Zg相交，不平行，则

ZG与平面8]CD不垂直，故数=(1,1,1)不是平面8。。的法向量，所以④错误.故答案为①②③.

13.-1【解析】因为G,b,/共面，a,己不共线，所以设B=+〃己，即

「22+2//=0,2

(0,2,1)=2(2,3,机)+〃(2,7,〃)=(22+2〃,32+7〃,2机+〃〃)，即<34+7〃=2,解得<〃=g,所

2m+Lin=1,

[n-m=2,

以〃=加+2,mn=m(jn+2)=m2+2m=(m+1)2—1,因为(加+1)220,所以的最小值为-1.故答

案为-L

14.1【解析】以『，],1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则;=(1,0,0),

j=(0,1,0),k-(0,0,1),设1=(r,s,/),则卜_*_力|=—x)2+(s-y)2+一,当「=》，s=y

时，归-xi-历|的最小值是2,=±2。取@=(x,y,2),则G+3]=(x,y,5),

|a+3^|=A/X2+v2+52o又YX,y是任意值，；.忸+3可的最小值是5.取3=(x,y,-2),贝!!

G+3G=(x,y,l),.[归+3q="1+'+]2.又x,y是任意值,5+3q的最小值是1.故答案为1.

15.(1)解：在直四棱柱45CD—44cl2中，ABLAD,

易得，AD,AAX,45两两垂直.

故以4为坐标原点，AD,48所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

AAX=AB=2AD=2CD=4,

C(2,0,2),£(2,2,0),尸(1,4,0),G(0,2,4).

而=(-2,2,2),=(-1,2,0).

CG-EF=-2x(-l)+2x2+0=6.

(2)证明：由(1)得：屋=(0,2,—2).

0=-2m-n,

令CE=mCG+nEF,即<2=2m+

-2=2m,

m=-1.

解得八

n=2,

:.CE=-CG+2EF.

故C,E,F,G四点共面.

16.(1)解：设丽=5,CB=b,CCx=c,则同=忖=1,同=2.

•••ZC.CB=ZBCD=ZC.CD=60°,则展3=3N=2xlxcos60。=1,

_1

a-b=lxlxcos60°=—.

2

•：CAx=CD^CB^CCx=a+b+c,

\CA^=+B+W=+B+^)2=J^2+片+^2+2(N・B+H+b-c)=

^1+1+4+2XQ+1+1^=V1T,故线段C4的长为而.

(2)证明：：的二丽二一通+函=〃一认

:.CA^-B^=(a+b+c)-(a-b)=a2-b2-b-c+a-c=l-l-l+l=0,

故，8a.

17.解：(1)由已知可得方=(—1,2夜,2),

因为向量成与方平行，设成=2万，其中2eR,

则\m\=|2|-|2g|=|2|Jl+8+4=V13|2|=V13,解得X=±1.

所以，比=方=(―1,272,2)或成=-AB=(1,-2A/2,-2).

(2)由k=(0,2虚,1),可得明=3,

又由=3,可得向量"的单位向量为。=1(0,2A/2,1),

故向量存在向量％上的投影向量]="G=[O,迎

99

(3)由题可得：G4=(0,-2A/2,-1),C5=(-1,0,1),

所以cos〈C4c5〉=

G4l-|C5|V9xV26

V34

所以sinC二

所以，以CB,a为邻边的平行四边形的面积为|百|13卜也0=3'虚义叵=&7.

18.解：(1)•/BOLAD,ZADC=ZBCD=90°,

二四边形20DC为矩形，.•.Z)0=8C=l.

在△PDO中，PD=2,DO=1,ZPDA=60°,

则PO=yjPD2+OD2-2PD-ODcos600=G,

PO2+DO2=PD~,POLAD.

又平面「40,平面48CD,尸Ou平面尸4D,

平面PADA平面ABCD=AD,

PO1平面ABCD.

(2)以。为原点，04为无轴，。3为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系如下图所示,

♦.•尸。=百，NP4D=30。，可得幺。=3,

则。(0,0,0),2(3,0,0),尸(0,0,G),5(0,V3,0),C(-l,43,0).

设平面"2的法向量为前=(x,y,z),可=(3,0,—G),而=(0,君,-百),

PA-m=3x-Mz=0,

取玩=(1,6,6).

PB-in=My-Gz=0,

设平面CPB的法向量为五=(a,8c),PC=(-1,V3,-A/3),

n-PB=y/3b-y/3c=0,

取元=(0,1,1).

n-PC——a+V3Z)-V3c=0,

I应.司2A/3_V42

设二面角Z—PB—C的平面角为。，则cos9|=^^

\m\-\n\77x0-7'

sin0=A/1-COS20=

O7J7

二面角A—PB—C的正弦值为—

7

(3)设加=2万，则两=豆+而=(3,—g,0)+2(—3,0,g)=(3—3%—有，后)，

又平面PAD的一个法向量为OB=(0,50),

直线8M与平面尸/D所成的角的正弦值为cos〈砺，就〉=7~"==—

11GxJ(3-34)2+3+3方7

33

解得几=二，显然几=三时，M在线段加上,

44

PM=~AP=UP()2+0#=—.

442

19.(1)证明：在“。上取点〃，使得把=也=网=4(0＜几＜1),连