2025年中考数学复习：二次函数综压轴题-相似三角形问题（解析版）

2025年中考复为二次函数综履轴题专题训练:楣倒三角形问题

1.如图，抛物线,=—/+31+4与a:轴交于A,B两点（点？1位于点8的左侧），与沙轴交于C点,抛物线

的对称轴I与必轴交于点N,长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在T轴上方的抛物线对称轴上

运动.

⑴直接写出。三点的坐标；

⑵过点P作夕轴于点当△CPM和△QBN相似时,求点Q的坐标.

【答案】（1）4（—1,0）,5（4,0）,。（0,4）；

⑵点Q的坐标是（|■，明或（|■，*或（|■，"答）.

【分析】（1）分别令力=0和"=0,求解即可得出答案；

出求出抛物线的对称轴,设（2侏力,则丁（畀+1）,〃'（0工+1）,耳右0）,再分两种情况也当器=

黑时，②当鬻=缥时，分别利用相似三角形的性质求解即可.

UNbNQN

【详解】⑴解:在g=—/+3力+4中，令宏=0得g=4,即。（0,4）,

令g=0,得一/+3/+4=0,解得x=—1或力=4,即A（—1,0）,B（4,0）;

（2）解:抛物线y=—x2+3/+4的对称轴为直线力=—,

—22

设Q（y，t），则呜,计1）,M（0,t+l）,呜,0）,

­1•5（4,0）,0（0,4）,

：.BN=^-,QN=t,PM=多,CM=\t-3\,

,：4CMP=4QNB=90°,

・•.△CPM和"BN相似只需湍=黑或器=器，

①当需逐时

2

解得±=与或t=孕，

2o

•-Q（多号）或（多M）；

②当空=理时0=工

BNQN'S力'

2

解得t=3+曾或t=3-（舍去）,

KD，

综上所述，点Q的坐标是得，学）或（得，婴）或（33+|<^

v227vZo72/

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象和性质，、相似三角

形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键.

（1）求二次函数的解析式；

（2）请你判断是什么三角形,并说明理由.

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点,过点P作尸打垂直x轴于点试探究是否存在以

P、H、。为顶点的三角形与△4BC相似？若存在，求出P点的坐标.若不存在,请说明理由.

【答案】⑴Unll8+E一卷；

⑵直角三角形，理由见解析；

⑶存在，点P的坐标为（—瑞，晋）或（—岩，箸），理由见解析.

【分析】（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、6的值，继而可得出函数解析式：

（2）根据二次函数解析式，求出点。的坐标，然后分别求出AC、的长度，利用勾股定理的逆定理可

证明△ACB是直角三角形；

（3）分两种情况进行讨论，①4DHP〜ABCA,②&PHD〜ABCA,然后分别利用相似三角形对应边成比例

的性质求出点P的坐标.

【详解】⑴解：由题意得，函数图象经过点4（—4,3）,5（4,4）,

故可得：[4=表（4+2）（4&+6）'

解得:忆之

故二次函数关系式为：y=+2）（13/—20）=-^-x2+-^-x--7-.

484886

故答案为：y=黑■力—

4o00

（2）解：A4CB是直角三角形，理由如下：

由⑴所求函数关系式g=条~#2+■力—

4886

当g=0时,0=]|■靖+?—]■,

4ooO

解得Xi=-2—

J-O

.•.点C坐标为(一2,0),点D坐标为(鲁，0),

又♦.•点4—4,3),B(4,4),

AB=V(4+4)2+(4-3)2=V65,

AC=V(-2+4)2+(O-3)2=V13,

BC=V(4+2)2+(4-0)2=2V13,

•.•满足AB?=3+3。2,

A4CB是直角三角形.

（3）解:存在；

点P的坐标为（-晋需）或（-皆，得）.

设点P坐标为（应士0+2）（134—20））,

则PH—■（劣+2）（136-20）,HD——x+,

若LDHP〜/XBCA,

则也=3L

ACBC'

焉■（劣+2）（136-20）一力+瑞^

即W---------------=------

V132V13'

解得：力=—瑞或力=瑞（因为点P在第二象限，故舍去）;

JLDJ-O

代入可得PH=M，

即打坐标为（一5035\

13

若4PHD〜ABCA,则黑=吗,

BCAC

■^■(2;+2)(13iC—20)—

即

2V13

解得：立=—詈或2=患（因为点P在第二象限，故舍去）.

XOJ-O

代入可得。5=鬻，

即吕坐标为：（一岩，箸）.

5035122

综上所述，满足条件的点P有两个，即

13113IT

【点睛】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同

时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解.

3.如图,在平面直角坐标系中，抛物线"=a/++c与力轴交于点A,与0轴交于点C,点力和点

C的坐标分别为（—1,0）和（0,2）

⑵将线段CB绕点。顺时针旋转90°，得到线段CD,连接AD,求线段AD的长；

(3)点河是抛物线上位于第一象限图象上的一动点，连接41f交于点N,连接,当S皿v=

时，请直接写出点双的横坐标的值.

【答案】⑴V=^-x2+-|-£C+2

⑵AD=V^

⑶2一乎

【分析】⑴把A(—l,0),<7(0,2)代入夕=ax2+^-x+c,求出a,c的值即可：

(2)先求出点B的坐标，过点。作DE_L沙轴于点E,证明RtACDE空RtABOC可录出点D的坐标，再根据

两点间距离公式求出入。即可；

⑶过点”作，①轴于点F,过点N作NG，2轴于点G,根据S^BMN=jSAABJV得AN=4MN,即AN:

4河=4:5,运用待定系数法求出直线反7的解析式《=—$+2,设河(恒，一泰2+_|_馆+2),

，一当1z+2),证明ZVLNG〜AAMP,得用■4g=3,代入相关数据求解即可.

2'MFAF5

【详解】⑴：抛物线y=ax2++c经过点A(—1,0),(7(0,2)

Q---+C=0

c=2

解得,

c=2

/.抛物线的解析式为：y=―+-yJC+2

⑵对于沙=//+多3+2，

当沙=0时，则一""2+玄+2=0

解得，g=—l,g=4

.•.30=4,3(4,0)

C(O,2)

AOC=2

过点。作现；_Lg轴于点石,如图，

・・・/DEC=/BOC=9N

・・•ZDCB=90°

・・.ZDCE+ZBCO=90°

•//DCE+”JDE=90°

：.ACDE=ABCO

又CD=CB

・・・/\CDE^^BOC

・・.CE=BO=4,DE=CO=2

•・・CE=CO+OE

：.OE=2

D(—2,—2)

又4—i,o)

AD=V[-2-(-l)]2+(-2-0)2=V5

(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,

把点B(4,0),C(O,2)代入得，d"％=°

：.直线BC的解析式为？/=一紧+2

设--|-m2+-^-m+2）,N（n,--1+2）,

过点“作W_Lc轴于点F,过点N作NG_Lc轴于点G,如图，

则有：AG—\+n,AF—1+m

•*S、BMN

・・.AN=4MN,即AN:AM=4:5,

由MF_L7轴，NG_L力轴得NG〃MF

・・・RANG〜bAMF

.NG=AG=AN=4

，9'MF~^F~AM~~5

•1+九二」①

**1+m5°

-+2A

--------J--------=9②

—1-m2+-|-m+25

由①得，几=!(4?72—1)③

5

一9x七(47九一1)+2A

把③代人②得，2T----------二A

-ym2+-1m+25

整理得，4m2—16m+5=0

解得：7711=2+巧1,馆2=2一巧L

*/m<4

5

...m=02----V-T--T-

.♦.点M的横坐标为2—

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

4.如图，已知抛物线y=—/—24+3与c轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

⑴求点4B,。的坐标；

（2）抛物线的对称轴Z与t轴的交点为。，连接AC,在抛物线上是否存在点E、斤（点E、尸关于直线Z

对称，且E在点斤左侧），使得以。、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，若存在,求出点E的坐标，若

不存在，请说明理由.

【答案】（1）点A的坐标为（一3,0）,点3的坐标为（1,0）,点。的坐标为（0,3）

-3-V17-1-V17

⑵存在，点E的坐标为

22

【分析】（1）令夕=0,，=0,解方程即可；

（2）根据二次函数解析式得到点。的坐标为（一1,0）,求得XAOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，得到

ZOAC=45°,如图，设EF交Z于点G,根据轴对称的性质得到DF=DE,根据相似三角形的性质即可得出

结论.

【详解】（1）解：在V=—x2—2x+3中，令沙=0,—X2—2x+3=0,

解得②=-3,x2=l,

点入的坐标为（一3,0）,点B的坐标为（1,0）,

在y=—x2-2a;+3中，令2=0,夕=3,

.•.点。的坐标为（0,3）;

（2）解；存在，由y=—x2—2z+3=—（cc+l）2+4知抛物线的对称轴，为直线，=—1,

.♦.点。的坐标为（-1,0）;

•••4―3,0）,。（0,3）,

OA—OC—3,

：.ZVIOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，

.•.ZOAC=45°,

如图，设EF交/于点G,

•.•点E,F关于直线/对称，

:.DF=DE,

•.•△ED尸〜△AO。，

则NEDF=90°,/DEF=45°,

DG=FG.

分两种情况讨论:

当点E在工轴上方时，设瓦的横坐标为n(n<-l),

则E]Gi——1—Ti,DG\—E]Gi——1—TI,—1—n),

将其代入g=—/—2%+3中，得一1—n——n—2n+3,

解得n1=\恒,n2=夫近(舍去),

.四(T-ViT-1+V17)

当点E在力轴下方时，设石2的横坐标为九S<—1),则E2G2=-1一九，OG2=E2G2=-1一九，

：.E2(n,l+n),

将其代入"=-x2—2/+3中，得1+九——ri—2n+3,

解得%=-3日.,n2=-3\47(舍去),

.nf-3-V17-1-V17\

,，即2'2人

综上所述，在抛物线上存在点E、F(点E、F关于直线I对称，且E在点F左侧)，使得以D、E、F为顶点的

三角形与△AOC相似，

77

.•.点E的坐标为.(T丁,T产)，星(一③丁，TJ7).

【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性

质，正确作出辅助线是解题的关键.

5.如图，已知抛物线与①轴交于4―1,0),B(3,0)两点，与“轴交于点。(0,3),。为顶点，点P是①轴上

方的抛物线上的一个动点，PMLc轴于点双,与交于点E.

(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；

(2)设点尸的横坐标为t(O<t<3),

①当［为何值时，线段PE的长最大；

②连接CD,证明：ABCD为直角三角形；

(3)是否存在点P,使得以点P、M、B为顶点的三角形与ABCD相似？若存在，求出点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式V=—，2+22+3,顶点为£>(1,4)

(2)①当t="|■时，线段PE的长最大值为日,②证明见详解

【分析】(1)设抛物线解析式为y^ax2+bx+c(aWO),将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可；

(2)①利用待定系数法求得直线的函数关系式为g=—a?+3.设—F+2t+3),则E(3—方+3).

那么，PE=—,一方)，(■，结合二次函数得性质即可求得答案;②根据点的坐标利用两点之间的公式和

勾股定理逆定理即可判定;

⑶由⑵知,⑵是直角三角形，且乙BCD=90°,CD=&,BC=30分两种情况(I)APMB〜

△BCD,贝”第=等；(II)ABMP〜△BCD,贝寸黑=萼，分另U求解即可.

JDIVI1Ivl(_y.Lz

【详解】(1)解:设抛物线解析式为V=a/+b,+c(a#O),

•/抛物线与立轴交于A(-1,O),5(3,0)两点，与夕轴交于点(7(0,3),

(O—a—b+cfa=—1

(0=9a+3b+c,解得(b=2,

[3=c1c=3

抛物线所对应的函数关系式v=—x2+2,+3,

经配方，得夕=-(,-1)2+4,则抛物线的顶点为。(1,4).

⑵解:①抛物线沙=—/+2c+3与多轴交点坐标为A(-1,O),5(3,0).

设直线的函数关系式为y=far+b(%WO),

则比产。,解得

[3=6[6=3

直线B。的函数关系式为g=—6+3.

设P(t,-/+2力+3),则E(t,—力+3).

PE———力2+2力+3—(——1+3)———力2+31———(t—,

a=—1<0,且0V1V3,

当时，线段PE的长最大值为小

②亍正明：：B(3,0),C(0,3),D(l,4)

则BC=V32+32=3V2,BD=V(3-l)2+42=275,CD=Vl2+(4-3)2=V2,

•：BC2+CD1BD1,

.♦.△BCD为直角三角形；

⑶解:存在.

由(2)知△BCD是直角三角形，且/BCD=90°,CD=戊，BC=3#1.

(I)如图3.2,若△P7WB〜△BCD,则善4=

13M

BC

~CD7

日n—七2+2力+3_3^/2^

即3T="

整理，得t2—54+6=0,解得4=2,右=3(舍去).

.-.F(2,3).

(II)如图3.3,若〜△BCD,

则理上=生

PMCD'

即3T=区2

一力2+2力+3

整理，得3/一7右一6=0,解得唾=―|-,力2=3(舍去).

・••P(得士

【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和

相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质.

6.在平面直角坐标系rrOy中，已知抛物线F：y=-a?+b①+。经过点A(_3,—1),与夕轴交于点B(O,

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)在直线上方抛物线上有一动点C,连接OC交于点。，求器的最大值及此时点。的坐

标.

【答案】(l)g=—宏2—2%+2

⑵率(一1寸)

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质：

(1)用待定系数法求函数解析式即可；

⑵过点。作2轴的垂线CH交于点”，交c轴于点H,则CM〃夕轴，可知4CDM〜/\ODB，由此可得

综=_§^='^，设0(力一严—2t+2),且一3＜力＜0,则知。,1+2),所以。"=一U+2)2+*，当1=

OL)2'2，4

―方时，CM有最大值，即可求出点。的坐标.

【详解】⑴解:将4(—3,—1),B(0,2)代入g=—/+匕力+c,

,日f—9—3b+c——1,

HC=2,

解得忆'

抛物线的函数表达式为g=-/—2/+2;

⑵解:如图，过点。作力轴的垂线CH交AB于点河，交力轴于点H,则CM"y轴,

：./XCDM-/XODB,

.CD=CM=CM

设直线AB的表达式为y—mx+n,

把4一3,—1),B(O,2)代人表达式得，］—3?+九=T'

⑺=2,

解得卜=1，

m=2,

・・・直线AB的表达式为g=c+2.

设C(t,—1?—2方+2),且—3V1V0,则M{t,t+2),

CM———力2—2t+2——t——2=——»——3力=——(力+-^一)T—?，

—3VIVO,

当t——时，CM有最大值，

9.

CD的最大值为3,此时点C的坐标为(—1"，A1").

2o'24，

7.直线g=—3力+3与/轴交于点8,与g轴交于点C,抛物线g=—/+W+c经过8,。两点，与二轴的

另一交点为连接AC,点P为4。上方的抛物线上一动点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图①，连接BP交线段人。于点。，若PDB0=5:16,求此时点P的坐标；

⑶如图②，连接PC.过点P作PE〃9轴，交线段ZC于点石，若△FCE与△ABC相似,求出点P的

横坐标及线段PE长.

【答案】（l）g=—x2—2x+3

⑵T宇或（丁+）

（3）xP=—|-，PE=三或xP=~,PE=^~

【分析】（1）先确定点B、。的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）先求直线AC和BP的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明"DG〜△BPH，根据相似三角形对应

边成比例建立方程求解即可；

（3）分两种情况：AABC〜△EPC或△AB。〜/\ECP，根据对应边成比例建立方程求解即可.

【详解】（1）解：直线9——3x+3与。轴交于点B,与沙轴交于点C,

令2=0,则沙=3;令y=0,则2=1,

.\B（1,O）,0（0,3）

,/抛物线y——X2+bx+c经过B,C两点、,

将B、。的坐标代入解析式可得

-l+b+c=O

c=3

b=-2

解得

c=3

.,・抛物线解析式为：?/=—T*2—2T+3;

(2)解：令抛物线y=—x2—2力+3=0,可得比=1或6=—3,

・・・4—3,0),

VC(O,3),

・・・设直线AC的解析式为：g=k/+bi,

将4(—3,0),C(O,3)代入直线g=k力+仇,得

J—3fc+bi=0

⑤=3'

k=l

解得:

氏=3

・,.直线AC的解析式为：g=/+3,

设P点坐标为(rn,—m2—2m+3),

设直线BP的解析式为：y=ax+n,

将_8(1,0),F(m,—m2—2m+3))代入解析式g=a/+口中，得

fa+n=0

1am+n=—m2—2m+3'

直线BP的解析式为："=—(771+3)/+771+3,

联立直线BP与直线

(y=-(jn-\-3)x+m+3

[y=x+3'

如图过点P作PH_L/轴于点作DG±x轴于点G

・・,DG//PH

：.ABDG=ABPH,ABGD=ABHP=90°

又・・•ADBG=APBH

:・ABDG〜4BPH

•：PD:BD=5:16

：.BG:BH=16:21

*.*BG=x—x=l犯7,BH—x—Xp—1—m

BDm+4B

]m

,771+4_16

,•1—m21

解得:m=-或m=--晟-,

经检验，m=―m――都是方程的根，

当m=--时，一in2—2m+3=-^7-;

24

当m=--时，一m2—2m+3=-1-•••

故点P的坐标为(一］,?),(——，)；

⑶解:设P点坐标为(a,-a2-2a+3),

・，.E(Q,Q+3),

222--2

PE=-CL—2a+3—(a+3)——CL—3a,AC—V?1O+OC7=A/3I3=3A/2^,

EC—d(Q—0)2+(a+3—3)2=d2a2=_^/2Q,

,:PE//y轴,

：./PEC=/ACO,

又•・・04=OA=3,OC±OA,

・・.ZCAB=ZACO=45°,

・・・/PEC=ACAB,

①当△AB。〜AEP。时，

AC=AB

~EC~^P"

即避遑_=4,

——(i—2a+3-a—3

解得：a=-I"或a=0,

经检验a=0不是方程的根，应舍去，

PE=-a?-3a=;

②当4ABC〜/\ECP时，

ABAC

京一访,

即_3V2______,

——(I—2Q+3-a—3

解得:a=--或a=0,

经检验a=0不是方程的根，应舍去，

9Q

:.PE=-a—3G-—-.

4

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

8.如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线夕=a/+be+3；与刀轴交于点人和。，与"轴交于点R点

P为直线AB上方抛物线上一动点,过点P作PQ，比轴于点Q，交线段于点河，已知点4(4,0),

且AC=5.

⑴求抛物线的函数表达式；

（2）求当双是PQ中点时的P点坐标；

⑶作PN，4B,垂足为N,连接PB,

请从下列两个问题中任选一个问题完成.

问题①:求PN的最大值；问题②：求4PAB的面积最大值.

（4）连接r，当①为何值时，四边形QMP3为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出尸

点坐标;若不能，说明理由.

【答案】⑴沙=—■|-2：2+■工+3;

（2）点P（%）；

（3）选①当z=2时，PN的最大值为孕，理由见解析;②4PAB的面积最大值为6.

（4）立=2时，四边形是平行四边形；不可能为菱形，理由见解析.

【分析】（1）可求出点。坐标为（一1,0）,将A、C点坐标代入解析式求出a、b的值，即可求出函数解析式；

⑵根据题意可得：MQ=Jy;QA=4—cQ>0）,有〃。区可证AAMQ〜△ABO,可得票=

丫巴,即二^^■，这里的y=―yrc2+-^-x+3,可求出关于力的一元二次方程的解，从而求出力、y的

OJ34344

值，进而求出P点坐标；

⑶①设P（，,一；/+4+3）,有△4WQ〜A4BO,则哭:=等《=曾■，从而求出人从仁与小一c）,

'44/AOAIDJDU4

MQ=1~（4-，）,PN=v-MQ=—%+3rc,再证4PMN〜/\AMQ,有第=,即=

—苴力2+3力

T------，得到关于PN的函数关系式，再求最大值即可；

黜-⑼

②为定值，故求APAB面积最大值，相当于求PN最大值,在①的基础上再计算面积即可求解；

（4）根据平行四边形的性质，当刊以二。^时，四边形OMPB是平行四边形，此时有一春/+32；=3,求解出

7即可；此时，0口=2,1@=~!,那么0"=^^谈互涯=£,所以。6力。河,所以不可能为菱形.

【详解】（1）解：•••4（4,0）,人。=5,

.Jl6a+46+3=0

"[a-b+3=0'

解得,"J.

._32I9.Q

••y~~~^x+1力+3

⑵解：由题意知：点8（0,3）

当7W时PQ中点时，MQ=-^-y;QA=4—x（x>0）

・・・PQ_L/轴

・•.MQ//OB

・・.△yWQ~AABO

.QA=MQ4—C=方y

"OAOBf]43

解得9X1=1,X2=4（舍去）.

.*.?/=—yXl2+-TX1+3=V，即点P(l，3).

"442

（3）解：由勾股定理得，AB=5,

•//\AMQ-/\ABO

.AQAMMQ4-x_AM_MQ

=，即

'9~^O~~ABBO4—5一^-

AM—-~（4—x）,MQ—~^~（4—6）,

PM—y—MQ=―1■力2+3]，

•：PN±AB,PQ_LOAf

：.4PNM=AMQA=90°,

•//PMN=/AMQ,

：.4PMN~AMQ,

-PK=PM_即且L=十+3工

IQAM-4-X式4_0

PN=-^x2+=—1■（工一2）2+率,

5555

当,=2时，PN的最大值为早；

5

②4B=J0A2+CR2=5,当PN取最大值时,△R4B面积最大,

最大面积为：1-><5x卓=6;

/o

故APAB的面积最大值为6.

⑷解：•.•PM7/OB,

当时，四边形是平行四边形，

即，—+3*=3>

解得x—2,

；.，=2时，四边形O7WPB是平行四边形，

此时，OQ=2,MQ=1■，那么。河=再应谈=合

所以OBWOA7,所以不可能为菱形.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定及性质、坐

标与图形、平行四边形的性质等知识点，构建相似三角形，找到相应线段的等量关系是求解的关键.

9.已知在平面直角坐标系比加中，抛物线夕=a/+五+c(a/0)经过点A(—l,0)、B(3,0)、。(0,3)三

点，点。和点。关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G.

备用图

⑴求该抛物线的解析式；

(2)连接CG、BG,求△GCB的面积；

⑶在对称轴右侧的抛物线上有一点平面内是否存在一点N,使得C、G、M、N为顶点的四边形

是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在,请说明理由；

(4)连接4D、BD,将抛物线向下平移后，点。落在平面内一点E处，过两点的直线与线段40

交于点斤，当与△48。相似时，直接写出平移后抛物线的解析式.

【答案】⑴y=——+2x+3

⑵3_

⑶存在，(1,2)或(二1产，汽疸)

(4)y——X2+2c+■或v——X2+2x

【分析】(1)改设抛物线的解析式为交点式，代入点。坐标，求得a,进一步得出结果；

(2)可推出△BCG是直角三角形，进一步得出结果；

(3)只需△CGW是等腰三角形，分为当MG=CG时，点Af是点。关于抛物线的对称轴的对称点；当CM=

GM时，此时同在CG的垂直平分Affi■线上，可求得的解析式，进一步得出结果；

(4)分为当点E在x轴的上方和在7轴上两种情形：当点H在7轴上方时，作DH±AB于作FQ±AB

于Q,根据4BDF〜/XADB得出第=--，可求得。F的长，进而得出AF的长，可求得4AFQ是等腰直

AUIDL)

角三角形，进而求得FQ和AQ,进而得出直线BF的解析式，进一步得出结果；当点E在多轴上时，进一步

得出结果.

【详解】(1)解:设抛物线的解析式为：y=aQ+1)(2一3),

3=a•1x(—3),

,a=-1,

y――(x+1)(x—3)——x2+2c+3;

(2)解:y=-a?2+2x+3=—(x—I)2+4,

AG(l,4),

CG2=廿+(4—3)2=2,BG2=(1—3)2+4?=20,

•.•BC2=32+32=18,

：.BC2+CG2=BG2,

：./BCG=90°,

・•.S,G*CG・BC=-1-XV2X3V2=3;

⑶解：当四边形CGW是菱形时，此时MG=CG,

由对称性可得，

M(2,3),

・・・N(1,2),

如图1,

当四边形CMGN是爰形，MC=MG,

作MH_LCG,

:.CH=GH,

vC(O,3),G(l,4),

.•.CG的中点坐标为：(1,]),

由(1)知：BC_LCG,

•：(7(0,3),5(3,0),

.•.B。的解析式为：g=—c+3,

^HM=-1,

...HW的解析式为:沙=一1+4,

由一x+4——x2+2x+3得，

3+V53一区应士、

―2-'02=-2—(舍去),

-3+V55-V5

-y~2+4-2

.“/3+函5—>/5\

22

22

-1-V59+V5

综上所述：N点的坐标为(1,2)或

22

(4)解:如图2,

当点E在力轴上方时，

作。H_LAB于作FQ_LAB于Q,

・・•ZBDF=4ADB,

：.4BDF〜/XADB,

.BD=DF

,•布一诙’

VB(3,O),P(2,3),A(-1,O),

.-.BO=V(3-2)2+32=VTO,AD=V(2+l)2+32=3V2,DH=AH=

3,

,/DAH=/LADH=45°,

3A/2VW

：.DF=,NAFQ=90°—/FAQ=45°,

o

AF^AD-DF^3V2-^-=^-,

tjo

**.FQ—AQ—AF•cos/.FAQ—x—日,

OQ=AQ—OA-—1—

oo

・•♦义卷），

r.直线BF的解析式为：y=—*+

1Q1

当c=2时，y=-yx2+-1-=y,

：.ED=3-^=^,

：.平移后的抛物线的解析式为：夕=七+2a?+3-y=七+2c+。，

当点E在力轴时，点F和点？1重合，

此时△BDF与4ABD全等，

二.抛物线的解析式为：y=—x2+2x,

综上所述：当4BDF与AABD相似时，平移后抛物线的解析式为：y=-x2+2x+'■或夕=—/+2x.

【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的判

定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论.

10.如图,抛物线y=ax1+bx+c经过4（—3,0）,B（l,0）,C（0,-3）三点，点。为顶点，直线DE为对称

轴，点E在刀轴上.

（1）求抛物线的解析式

（2）在直线DE上求一点尸，使点P到直线BD的距离等于到x轴的距离；

⑶在对称轴左侧，抛物线上存在一点河（不与A重合）.使S^ACM=求点河的坐标.

【答案】（1切=%?+2x—3;（2）P点坐标为（—1,1—A/5）或（一1,A/5+1）;点坐标为（—与或

f_1996\

【分析】（1）待定系数法求函数解析式；

（2）分点P位于E点下方和上方两种情况，过点P作PH_LBD,连接,利用三角形面积法及勾股定理列

方程求解；

⑶根据三角形面积公式求得要让=第，然后利用平行线分线段成比例定理求得N点坐标，从而确定

b^BCMBQ

直线CN的解析式，然后求直线与抛物线的交点坐标，从而求解，注意分类讨论

【详解】解：⑴将/（一3,0）,B（1,O）,C（0,-3）代入解析式，得：

ea—3b+c=0（a=l

<a+b+c=O，解得：lb=2

[c=-3[c=-3

・,.抛物线的解析式为y=x^+2x-3

（2）如图1,过点P作连接BP,由题意可知=

g="+26一3=（力+1）?—4

・•・抛物线顶点。的坐标为(-1,-4)，石点坐标为(-1,0)

:・DE=4,BE=2,在RtABDE中，BD=VBE2+DE2

=2V5

SABPD=\PD-BE=^BD.PH

①当点P在E点下方，设PE=PH=a,则PD=4-a

S/\npn="^-(4—G)X2=；x2^/5a.,解得：a,=A/5^—1

.•.p点坐标为(一1,1一，^)

②当点P在E点上方，设PE=PH=b,则PD=4+b

SABPO=:(4+b)X2=yX2斯6,解得：&=V5+1图1

r.P点坐标为(一1,JK+1)

综上，P点坐标为(-1,1—A/5)或(-1,、后+1)

(3)①如图2,延长CM■交c轴于点N,过点A作AH_LC7V,过点B作BQ_LCN

S^ACM=.CM,S^BCM=^CM-BQ

.S^ACM_AH

S^BCMBQ

又**S^ACM~

.AH

••瓦一万

・.•AH±CN,BQ±CN

：.AHIIBQ

:,普T器H用A为BN的中息

：.AN=AB=4,则N点坐标为（一7,0）

设直线CN的解析式为y=kx+b,^C,N两点代入可得

6=-3

解得

直线CW的解析式为y=—於-3

17

尸一尸一3，解得:力1=062

由此可得7

—3"=-3'96

V2=—49•M

.••加点坐标为（一年，一招）

②如图3,同理AHV/BQ,第=*=!，此时BN+AN=4B

BNBQ2

=4

/.⑷V=E，则ON=3—卷=1■，即N点坐标为(-4.0)

OOOO

设直线C/V的解析式为g=nz/+九，将C,N两点代入可得

fn=-3fn=—3

河+九=0,解得［馆=T

直线CN的解析式为夕=-3，一3

5

L卡-3，解得:/为:0电=一万

由此可得

\=-3'\y-^

y=x~+2x—3yi

・5坐标为T趣）

综上田点坐标为（—苧—瑞）或（T患）

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例定理，一次函数、图形的面积计算等,

掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键.

11.如图,抛物线y=义/+近+c与c轴交于A、B两点（点A在点8左边），与0轴交于点。.直线夕=

、•劣一2经过B、C两点.

⑴求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于®轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN

垂足为N.设河（小，0）.当点P在直线8c下方的抛物线上运动时,是否存在一点P,使

△PNC与△40。相似.若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】（l）y=~^-x2—^-x—2;

•M

【分析】(1)先求出3、。的坐标，再代入抛物线解析式中，即可求解；

(2)先求出P、河、。的坐标，再判断出2Aoe与△COB相似，得出AOAC=AOCB,AACO二/OBC,①

当△PNC〜△AOC,得出ZFC7V=/ACO,继而得出CP〃OB,即可得出结论;②当AFNC、△84,得

出2PCN=/CAO,继而得出PC=P。，即可得出结论；

【详解】(1)针对于直线“=。2-2,

令2=0，则g=-2,

(7(0,—2),

令9=0,则0=ya;—2,

二力=4,

・•・6(4,0),

将点。坐标代入抛物线g=E/2+法+。中，得,

218+4b+c=。

|c=-2

.,・抛物线的解析式为y=-^-x2-^-x-2;

⑵存在，

・・・PN_LBC,垂足为N.设河(M，0),

P(^rYb,~'W?—^-?72-2),D(m,/馆-2)

由⑴知，抛物线的解析式为y=yX2-^-x-2,

令g=0,则0=-yx2--|-x—2,

/.x=—1或6=4,

・••点4—i,o),

/.OA=1,

VB(4,O),C(O,-2),

:.OB=4,OC=2,

.OA=OC

"~OC~OB，

・・・AAOC=ACOB=9Q°,

：./\AOC-/\COB,

：.AOAC=AOCB,AACO=ZOBC,

•/APM7与A4O。相似，

・・・①当APNC〜AAOC,

：.APCN=AACO,

・・.APCN=AOBC,

：.CPIIOB