2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：拓展之三角形中面积（定值最值取值范围）问题（学生版+解析）

第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高频考点一遍过............................................2

高频考点一：求三角形面积（定值问题）.............................2

高频考点二：根据三角形面积求其它元素............................4

高频考点三：求三角形面积最值....................................6

高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）.....25

高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）......7

第一部分：基础知识

1、三角形面积的计算公式：

①S=—x底x[Wj；

2

®S=—absinC=—acsinB=-bcsinA；

222

③S=g（a+）+c）厂（其中，a,仇c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

nhr

@S=——（其中，a,仇C是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.

4R

2、三角形面积最值：

核心技巧：利用基本不等式仍〈（营了再代入面积公式.

3、三角形面积取值范围：

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值

范围，求面积的取值范围.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：求三角形面积(定值问题)

典型例题

例题1.(23-24高一下•四川成都•阶段练习)在AABC中，已知NBAC=1201AB=2,AC=l.

(1)求边3C；

(2)若。为3c上一点，且/BAD=90。，求△ADC的面积.

6a_c

例题2.(2024・陕西商洛•三模)在AABC中，角所对的边分别为。也。，且满足；一"二品己

2cos—

2

⑴求角A的大小；

(2)若〃=6,c—。=避二史，求AABC的面积.

2

例题3.(2024・全国•模拟预测)已知AABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,6b-csinA=EzcosC.

(1)求角A的大小；

(2)若°=3,。为8C边上一点，|AD|=2,2DB=DC,求AABC的面积.

练透核心考点

1.(23-24高二下•浙江,阶段练习)在AABC中，。力,c分别是角A,B,C的对边，且满足

6a-A/3CCOSB+bsinC=0.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2g,。为AB的中点且|。必=五，求AABC的面积.

2.(2024•湖南•模拟预测)在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且

3

cosA=-,(a+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA

(1)证明：AABC是锐角三角形;

(2)若a=2,求AABC的面积.

3.(2024・北京海淀■一模)在AABC中，/?sinC+V3ccosB=2c.

⑴求力;

(2)若。=2出/+0=4,求AABC的面积.

高频考点二：根据三角形面积求其它元素

典型例题

例题1.（2024•四川南充•二模）在①2csin5cosA=Z?（sinAcosB+cosAsinB）；②

bsinB+csinC-asinA2.、、人一,一,人、，

@---------:----------=~smA4•这二个条件中任选~1个，未卜

csinB--V3

充在下面对问题中，并解答问题.

在AABC中，内角A,B,。的对边分别为〃，b,C,且满足

⑴求A；

⑵若AABC的面积为16VL。为AC的中点，求8。的最小值.

例题2.（2024•陕西西安・一模）已知AABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、

c,且sin2C=sin2_B+sin（工+B）cos（巴+2）,a<c,b<c.

36

（l）^tan（A+B）的值；

⑵若AABC的面积为12vL求C的最小值.

例题3.（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）"WC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

.A+5.

asin-----=csinA.

2

⑴求c；

（2）若AABC面积为loVLtanA=4y/3,求AB边上中线的长度.

练透核心考点

1.(23-24高一下•广东湛江•阶段练习)已知函数尤)=cos2x+J5sinxcosx.

⑴求"X)的最小正周期及单调递增区间；

(2)在AABC中，。、b、c分别是角A、B、C的对边长，若/(4)=1,6=1,AABC的面积为求。的

2

值.

2.(23-24高一下•重庆渝中•阶段练习)在AABC中，角A,&C的对边分别为a,b,c,已知asinB=6sin(A+方

⑴求角A的大小；

(W的面积为孚，角A的平分线与5c交于点。，且35求边。的值.

3.(23-24高一下•河南濮阳•阶段练习)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

c(cosA+l)=GasinC.

⑴求A；

(2)若IBC的面积为96，周长为18,求a.

高频考点三：求三角形面积最值

典型例题

例题L(23-24高一下•湖南衡阳•阶段练习)在AABC中，RE分别是A8,AC上的点，且

BD=2AD,AE=2CE,CD与BE相交于点F.

(1)用AB,AC表示AF；

(2)若AB=AC=1,求△Bb面积的最大值.

例题2.(23-24高二上•云南•期末)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且满足

近(b-ccosA)=asinC.

⑴求角C；

(2)若c=2,求AASC面积的最大值.

练透核心考点

1.(23-24高三上•云南昆明•阶段练习)在AABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,

6c+6sinA=cosB■

(1)求A；

(2)若点。是BC上的点，AD平分Z54C,S.AD=2,求AABC面积的最小值.

练透核心考点

1.（22-23高三下•四川雅安•阶段练习）在A4BC中，角A,8,C的对边分别为a,6,c,2sinA+tanA=0.

（1）求A；

⑵若加inA=4sin3,>lgZ2+lgc>l-2cos（B+C）,求AABC面积的取值范围.

2.（22-23高一下•广东广州•阶段练习）在AABC中，设a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知向量

m=（sinA,sinC—sin,n=（sinB+sinC,sinA+sinB）,且正//7.

⑴求角C的大小；

⑵若c=3,求AABC面积的取值范围.

高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）

典型例题

例题1.（2023・江西•二模）在AASC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,已知

sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2c=2.

⑴求角C；

⑵若44SC为锐角三角形，且匕=2,求AABC面积的取值范围.

例题2.(2023•河北石家庄•一模)已知“LBC内角A,8,C所对的边长分别为

a,b,c,2y/2a2cosB+b1=2.abcosC+a2+c2.

(1)求8;

(2)若AABC为锐角三角形，且。=4,求AABC面积的取值范围.

例题3.(22-23高一下•安徽合肥•阶段练习)已知URC为锐角三角形，角A,B,C所对的边分别为4c,

且acosC=c(l+cosA).

⑴求二的取值范围；

a

(2)若6=2,求融C面积的取值范围.

练透核心考点

1.(23-24高二上•河北秦皇岛•开学考试)在锐角AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若cosB+疝inB=2,

cosBcosC2sinA

----1----=-/=---.

bcV3sinc

(1)求角B的大小和边长b的值；

(2)求AABC面积的取值范围.

2.(22-23高一下•重庆万州•阶段练习)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知asin—^=bsinA.

⑴若6=6，求AABC的外接圆的周长和面积.

(2)若AABC为锐角三角形，且c=2,求A/RC面积的取值范围.

3.(22-23高三下•安徽池州•阶段练习)"RC的内角A氏C的对边分别为。,仇。，已知吗=2二

tanCc

⑴求角8的值；

(2)若AASC为锐角三角形，且c=2,求AABC面积的取值范围.

第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高频考点一遍过............................................2

高频考点一：求三角形面积（定值问题）............................2

高频考点二：根据三角形面积求其它元素............................4

高频考点三：求三角形面积最值....................................6

高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）.....25

高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）......7

第一部分：基础知识

1、三角形面积的计算公式：

①S=—x底x[Wj；

2

@S=—absinC=—acsinB=—bcsmA；

222

③S=g（a+）+c）厂（其中，七c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

nhr

@S=——（其中，a,仇C是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.

4R

2、三角形面积最值：

核心技巧：利用基本不等式仍〈（与了＜吟^,再代入面积公式.

3、三角形面积取值范围：

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值

范围，求面积的取值范围.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：求三角形面积（定值问题）

典型例题

例题1.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）在AABC中，已知NBAC=1201AB=2,AC=l.

（1）求边3C；

（2）若。为3c上一点，且/BAD=90。，求△ADC的面积.

【答案】⑴近

喑

【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；

S1

（2）求出/C4D=30。，即可求出甘迺的值，即可得S&c»=£SaBc，结合三角形面积公式，即可求得答

案.

【详解】（1）依题意知，在AABC中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,

故BC-=AB?+AC2-2AB-ACcosABAC

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

故BC:近；

（2）由于NR4D=90°,ZBAC=120°,故NC4O=30。，

«—xABxADxsin90°

故皆----------------=4,

'AACD-XACXADXsin30°

2

则Ls=：5皿=：x（；x2xlxsinl2o]=*.

y/3a_c

例题2.（2024・陕西商洛•三模）在AABC中，角A,民。所对的边分别为〃也c,且满足；一下二寂.

ZCOS—

2

⑴求角A的大小；

（2）若〃=J5,c—。=避二史，求&4BC的面积.

2

【答案】（1）A=]

（2）+3^/5

8

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可得解；

（2）先利用余弦定理求出A,再根据三角形的面积公式即可得解.

y/3a_c

【详解】（1）在融。中，因为2cos2«=标，

由正弦定理得道sinA=包£=1,

1+cosAsinC

即V3sinA=1+cosA,即A/3sinA-cosA=1,BPsin^A--^-j=,

又A£（0,7i）,所以A—3日]，所以=S即4=三

666J663

（2）在△ABC中，a=^3,c—b=A=—»

23

由余弦定理得/=/+c?—2Z?ccosA,3=（c—Z?）2+be,be=1+,

2

erI>r„1..,2-\/3+3-\/5

所以SgBe=~bcsmA=----------

例题3.（2024■全国■模拟预测）已知AABC中，角A、B、<7的对边分别是4力,<7,6匕-05[114=5/§«<：0§。.

（1）求角A的大小；

（2）若a=3,D为3c边上一点，|AD|=2,2DB=DC,求AABC的面积.

【答案】（1）A=1

⑵空

2

【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到A的正切值，进而求解即可；

►1,2►

（2）解法一利用已知条件2DB=OC和向量的知识得到AD=-AC+-AB,进而实数化得到b和c的一个关

系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出b和c的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二直接

由第一问的结果结合余弦定理得出b和c的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出6和。

的另一个关系式，联立方程求解即可.

【详解】（1）由正弦定理得5/5sinjB-sinCsinA=6sinAcosC,

因为A+B+C=TT

故6sin（A+C）—sinCsinA=V3sinAcosC,

即V3sinAcosC+石cosAsinC-sinCsinA=石sinAcosC,

即sinC(V^cosA-sin/kj=0.

而sinCw0,故6cosA-sinA=0，

又因为cosAw0所以tanA=V§\

而O<A<71,故A=1.

.—»1—.2—.

(2)解法一：由。知AD=]AC+§A3,

两边同时平方得区力1=1|AC|2+[福]+三通'周cosZBAC,

14?

即4=eb2+]c2+]bc,化简得/+4C2+20C=36.①

22+12-25-r2

在△ABD中，由余弦定理得COS/AOB=T^—£r_=二工，

2x2x14

?2_|_?2_h1Q_A2

在AACD中，由余弦定理得cos/ADC=^---也=52,

2x2x28

l^ZADB+ZADC=n,所以cos/AZ出+cos/ADC=0,

,,22+12-C222+22-/?2

故---------+----------即2c2+"18,②

2x2x12x2x2

由①②得从+4c2+26c=2(2c2+b2),

由于ZJWO,得b=2c,代入②得<?=3.

所以AASC的面积为^bcsin/BAC=c2sinZBAC=—.

22

7T+r2—Q1

解法二：在AABC中，由余弦定理可得cos/A4C=cos—=-------------=—

32bc2

整理得廿+。2-6c=9,①

2212-25-r2

在△ABD中，由余弦定理得cos/AD3=V二+一r匕=土£,

2x2x14

在AACD中，由余弦定理得cos/ar)C=2-+2--”="生,

2x2x28

而ZADB+ZADC=71,所以cosZADB+cosZADC=0,

22+12-C222+22-b2

---------------1----------------=0,即2c2+"i8,②

2x2x12x2x2

由①②得2c?+/=2"+2。2-2比，

由于6片0,得b=2c,代入②得°2=3,

2

所以AABC的面积为S△rAioRC=-2bcsinZB2AC=csinZBAC=—.

练透核心考点

1.(23-24高二下•浙江•阶段练习)在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足

y/3a-出ccosB+bsinC=0.

(1)求角C的大小；

⑵若c=2石，。为AB的中点且|C0=3,求AABC的面积.

兀

【答案】(1)C=T2

(2)在

2

【分析】(1)根据正弦定理及正弦的和角公式化简计算即可；

(2)由余弦定理及三角形面积公式计算即可.

【详解】(1)因为一石ccosB+bsinC=0,

由正弦定理可得石sinA-V§sinGcosB+sinBsinC=0.

又因为在AABC中，有sinA=sin+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以百(sinBcosC+cosBsinC)-V3sinCcosi5+sinBsinC=0,

化简得\/3sinBcosC+sinBsinC=0.

因为0＜5＜兀，所以sin3w0,

所以瓜osC+sinC=0,于是tanC=-班.

因为。＜。＜兀，所以C=~y.

(2)由。为AB的中点，可得==

又ZADC+/BDC=R,所以cosZADC+cosN5r>C=0,

在△ACD和△BCD中，

根据余弦定理从而可得㈣+(&)Y+阴+(匈"

=On+/=10•

273x722A/3XV2

〃2+_「2_Q

又cosC=J^—,所以而=2,

2ablab

可得S'absinC=•

△/IDC22

ADB

2.（2024,湖南•模拟预测）在AABC中，内角A,民C的对边分别为a,瓦c,且

3

cosA=-,(a+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA

⑴证明：AABC是锐角三角形；

⑵若。=2,求AABC的面积.

【答案】①证明见解析；

9+4^

8,

【分析】（］）由正弦定理和余弦定理求解即可；

（2）由两角和的正弦公式求出sinC,再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）证明：因为（々+（?）（511124+5111。）=加111^+3。51114,

所以由正弦定理得（。+。）2=〃+3砒,整理得/+—/=4.

则cosBJ+L*J因为Be(O,兀)，所以8=：,

2aclac23

/■

31717127r

因为cosA=—G\,Ae(O,7t),所以Ae,因为A+C=q,

27“3

715K)

所以所以A是锐角三角形.

3512rABC

34

(2)因为cosA=g,所以sinA=g,

smAcosB.cosAs^^xi4x^，^

所以sinC=sin(A+8)=

525210

2_c

所以"T

在AABC中，由正弦定理得二='二,即4=4+3函,

sinAsinC『------

510

所以AABC的面积为工acsinB=—x2x4记百x=9+'冷.

22428

3.(2024•北京海淀•一模)在AABC中，Z?sinC+百ccosB=2c.

⑴求4；

(2)若a=26力+c=4,求AABC的面积.

【答案】（1）£

0

⑵6

【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sinB+百cos3=2,再利用辅助角公式及特殊角的三角

函数值，即可求出结果；

(2)根据(1)中3=]及条件，由余弦定理得到12+C2-〃=6C，再结合人+C=4,即可求出C=2,再利

6

用三角形面积公式，即可求出结果.

【详解】(1)因为bsinC+=2。，由正弦定理可得sin3sinC+J5sinCcosB=2sinC,

又。£(0,兀)，所以sinCwO,得到sinB+^cosB=2,即2sin(3+?=2,

所以sin(3+1)=l,又因为Be(O,兀)，所以5+1=',得到5吟

(2)由(1)知3=1所以cosB=a+'—丝又〃得到12+，一廿=6c①，

6lac2

又人+c=4,得至ljb=4—c代入①式，得到c=2,

所以△ABC的面积为SABC=—^sinB=—x2^x2xsin—=73.

高频考点二：根据三角形面积求其它元素

典型例题

例题1.(2024•四川南充・二模)在①2csinBcosA=Z?(sinAcosB+cosAsin5)；②

。、z-xbsinB+csinC-asinA2.,、,*

sin2B+sin2C+cos2A-l=sin(A+B)sin(A+C)；③------------;--------------=-^sinA；这三个A条件中任选一个，补

csinB。3-

充在下面对问题中，并解答问题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

(1)求A；

⑵若AABC的面积为166，。为AC的中点，求8。的最小值.

【答案】⑴条件选择见解析，A=1

(2)472

【分析】(1)选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定

理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cosA=]sinA即可求解；

(2)由面积得加=64,结合余弦定理和基本不等式求最值.

【详解】(1)若选择①：2csinBcosA=Z?(sinAcosB+cosAsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcosA=sinBsin(A+3)=sinBsinC,

因Ce(0,7i),8e(0,7t),故sinCwO,sinBwO,

1兀

则有cosA=s，因Ae(0,7i),故A=Q.

若选择(2)：sin2B+sin2C+cos2A-l=sin(A+B)sin(A+C),

则sin?B+sin2C-sin2A=sin(A+B)sin(A+C)=sinCsinB,

由正弦定理可得廿+。2一片=儿,

,/.Z72+c2-a11

故cosA=---------二—

2bc2

因人£(0,兀)，故A4.

bsinB+csinC-asinA_2

若选择③sinA；

csinB一忑

由正弦定理可得,。^二百"

再由余弦定理得，cosA=-^sinA,即tan4=5

TT

AE(0,兀),A=—.

3

(2)=|cZ?sinA=16>/3,又A=；,;.6c=64，

在三角形BCD中，BD2=B^+AD2-2BAADCOSA=C2+(^\-2C---COS-,

⑵23

-c2+-———cb>2.1c2--———cb=—cb=32,

42V422

当且仅当。=^|=4a时取等号，

二8£)的最小值为4人.

例题2.(2024・陕西西安・一模)已知AABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为。、b、

c,Msin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+B),a<c,b<c.

36

(1)求tan(A+B)的值；

(2)若AABC的面积为12石，求c的最小值.

【答案】⑴石

(2)12

【分析】(1)由三角恒等变换化简可得sinC,再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；

(2)由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.

jrJT|।TT17T

【详解】(1)因为sin2c=sin23+sin(—+5)cos(—+5)=sin2B+—sin—+2B+sin—

362(2)6

=sin2B+Hcos25+；)=sin2B+^l-2sin2町+：=：,

因为sinC>0,所以sinC=，

2

由△ABC为钝角三角形且〃<c,人<c知，。为钝角，

所以cosC=-5，即tanC=-«,

所以tan（A+B）=tan（兀一C）=一tanC=6.

（2）因为S^ABC二:“bsinC==12百，

所以必=48,

由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab>3ab=144,

当且仅当〃=b=4g时，等号成立，

此时0?的最小值为144,所以c的最小值为12.

例题3.（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

.A+B.

asin-------=csinA.

2

（1）求c；

⑵若AASC面积为10石，tanA=4百，求AB边上中线的长度.

【答案】（呜

（2）恒

2

【分析】⑴根据题意，由正弦定理和三角恒等变化和的公式，得到cosc==2sinC=coCs=,求得sinC==：1,

22222

即可求解；

（2）根据三角形的面积公式，求得必=40,再由tanA=46,求得sinA=生巨，得到sinB=%8,结合

714

正弦定理得到5a=助，联立方程组求得。=8,6=5,结合余弦定，即可求解.

【详解】（1）解：因为asin-------=csinA,由正弦定理得sinAsin--------=sinCsinA,

22

因为Ae（0,2,可得sinA>0,又因为4芋=5-二，可得仃坂㊁芋）=cos],

匚匕I、I•A+3C__.C?CC..C*C

所以sin-------=cos—=sinC=2sm—cos—,艮RJncos一=2sin-cos一,

2222222

又因为§€（0,《），可得cos£>0,所以sing=:，所以日二丁，可得c=g.

22222263

JT

（2）解：由（1）知，C=y,

因为△ABC面积为10A/J，可得!〃OsinC=-^-ab=10y/3,可得H?=40,

24

又因为tanA=4百，可得sinA=4",cosA=L

77

所以sin5=sin(-—A)=cosA+—sinA=,

32214

a_b

又由正弦定理上7=工，即而=。，解得5。=劝，

sinAsmB----------

714

[ab=40

联立方程组，。,解得。=8*=5,

[5a=8b7

如图所示，设边A6的中点为。，延长8到点£,使得|CD|=|亚，

27r

可知AE2C为平行四边形，在"CE中，|AC|=5,|/闻=忸。|=8且/C4E=T，

由余弦定理得|c目2=|AC|2+|AE|2-2|AC||AE|cosy=52+82-2x5x8x（--）=129,

所以AB上的中线长为（目=叵.

22

练透核心考点

1.（23-24高一下•广东湛江•阶段练习）已知函数y（x）=cos2x+6sinxcos尤.

⑴求/（X）的最小正周期及单调递增区间；

⑵在AABC中，。、b、，分别是角A、B、C的对边长，若/（A）=l,b=l,的面积为正，求。的

2

值.

7T7T

【答案】⑴最小正周期为无，递增区间为

36

⑵G

【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数/（X）,即可求解；

（2）根据题意和角A的范围求出角A,再由三角形面积公式求出c,最后利用余弦定理求解.

【详解】(1)f(x)=cosx2+\^sinxcosx=——°；'+^-sin2x

.兀11

—sin2xH—H—,

I6j2

即/(x)=sin+弓］+；,故最小正周期为子=兀，

*7L-,_717C-,7C.71..一

弋---F2AJI<2x4—K—F2kli=>---FkuKx«—Fkit,keZ,

26236

jrTT

故T=7i,递增区间为［E—,kjiT—1,k£Z.

36

(2)由/(A)=l得5吊］24+胃+:=1=5亩(24+胃=(,

.....(c\t,cA兀，兀13TTI।.兀5兀兀

因为A£(0,TI),故2人+工£—,i^2A+-=--^A=—.

o<oo76o3

又b=l,故与诋=^bcsinA==>c=2.

故a?=/+，一2bccosA=l+4-2=3,故〃=g

2.(23-24高一下,重庆渝中•阶段练习)在AASC中，角A,2,C的对边分别为。，4c,已知asinB=如«4+1

(1)求角A的大小；

(2)若AASC的面积为述，角A的平分线与BC交于点O,且AD=G，求边。的值.

2

【答案】(呜

(2)372

【分析】(1)由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tanA=百，可得结果；

(2)由三角形面积公式并利用5BAC=S.D+S皿c可得6c=A+c=6,再由余弦定理即可求得a=3&.

【详解】(1)由asinB=Zjsin[A+1J,得asinB=b卜inAcos]+cosAsin]],

(1君'

由正弦定理可得sinAsin3=sinB—sinA+——cosA,

(22)

即工sinAsinB=^-cosAsinB；

22

因为sinfiwO,所以可得tanA=J§\又因为0<A<7t,

所以A

⑵易知S"卜呜=羊，所以加=6；

如下图所示：

因为AD为角平分线，所以S.c=8.0+5的。，

BP—bcsin—=—xV3csin—+—xV3Z?sin—,即bc=b+c=6

232626

而/=加+/_2/?ccosm=（b+c）2-3bc=18,

所以Q=30.

3.（23-24高一下•河南濮阳•阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

c（cosA+l）=6〃sinC.

⑴求A；

⑵若△ABC的面积为9月，周长为18,求〃.

【答案】（*7T

（2）6

【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得"sinA-cosA=l，即可根据辅助角公式求解;

（2）根据面积公式可得6c=36,结合余弦定理即可求解.

【详解】（1）由正弦定理得GsinAsinC=sinC（cosA+l）,

XsinC>0,得6sinA-cosA=l，

由辅助角公式可得=

图为AABC中，0<4<兀

LLtvI兀A兀5兀.JC71...71

所以一7<A一：<L，贝|JA-Z=Z，故&=三.

666663

⑵△…*1nA=9区厩=36，

而由余弦定理得/=Z?2+c2-2Z?ccosA,BPa2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc,

贝!JQ2=（18—Q）2—108,

解得a=6.

高频考点三：求三角形面积最值

典型例题

例题L(23-24高一下•湖南衡阳•阶段练习)在AABC中，RE分别是A8,AC上的点，且

BD=2AD,AE=2CE,CD与BE相交于点F.

⑴用AB,AC表不Ab；

(2)若AB=AC=L求△3CF面积的最大值.

—►1―>4—►

[^](1)AF=-AB+-AC

叫

【分析】(1)设方=4而+(1—九)/，通=〃通+(1-〃)近，求出九〃，表达出通；

(2)根据题意求解S,c=：S^c，求出“小的最大值，进而求出的最大值.

__kk夕__k

[详解](1)^AF=2AD+(l-2)AC=yAB+(l-2)AC,

__.__2__.

AF=//AB+(1-//)AE=^AB+-(1-//)AC,

二—=〃AL=—3

37

因此解得，

1一兄〃=亍

―.1—.4--

因止匕4/=—AB+—AC.

77

—.3--4—■3

(2)由⑴得，AF=-AD+-AC,因此S®c=]S，B8，

22

又因为AD=2BD,SABCD=§^AABC»因此S"FC=yLBC,

由AB=AC=1,当AB/AC时，1.c最大为g，

因此的最大值为;.

例题2.(23-24高二上•云南・期末)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且满足

69-ccosA)=asinC.

⑴求角c；

（2）若c=2,求AABC面积的最大值.

【答案】（l）C=g

（2）73

【分析】

（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出tanC的值，结合角C的取值范围可得出角C的值；

（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得"的最大值，再结合三角形的面积公式可求得"RC面积的最大

值.

【详解】（1）解：因为由0-ccosA）=asinC,

由正弦定理可得sinAsinC=6（sin3-sinCcosA）=&[sin（A+C）—cosAsinC]

=G（sinAcosC+cosAsinC—cosAsinC）=百sinAcosC,

因为A、C6（0,7t）,则sinA>0,可得sinC=^cosC>0,

所以，tanC=A/3，故C=§.

（2）解：由余弦定理可得4=<?="+6?-2a6cosc="+〃-MN2成>-,

当且仅当a=6=2时，等号成立，

故S4ABC=5absinC=abWx4=°\/3，

因此，AABC面积的最大值为白.

练透核心考点

1.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

y/3c+6sinA=y/3acosB.

（1）求A；

（2）若点。是BC上的点，AD平分/54C,且AD=2,求AASC面积的最小值.

【答案】（1）A=T2兀

（2）473

【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得百cosA+sinA=0,结合

同角的三角函数关系，即可求得答案；

（2）利用面积相等，即，4.=5"钻。+5".小推出bc=2（c+b）,利用基本不等式结合三角形面积公式，即

可求得答案.

【详解】([)由题意知AABC中，限+加inA=WcosB,

故gsinC+sinBsinA=bsinAcosB，即\/3sin(A+B)+sinBsinA=^