武汉市武昌区2025届高考模拟（二）数学试题（含解析）

武汉市武昌区2025届高考模拟（二）数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=4_4以-Inx,则/Xx）在（L4）上不单调的一个充分不必要条件可以是（）

1C11^11

A.a>—B.0<〃<—C.a>—或—<。<0D.—

21616216

2.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面0,直线1满足1_Lm,I_Ln,/△则

（）

A.a//p且/〃aB.a±pK/IP

C.a与0相交，且交线垂直于/D.a与0相交，且交线平行于/

3.如图，正三棱柱A3C-4与G各条棱的长度均相等，。为A4的中点，分别是线段8月和线段CC的动点

（含端点），且满足BM=GN,当运动时，下列结论中不氐确的是

A.在ADACV内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DAWJ_平面5。£四

C.三棱锥A-DMN的体积为定值

D.ADACV可能为直角三角形

-01

4.设a=log23,b=log46,c=5»则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

5.从集合｛—3,—2,-1,1,2,3,4｝中随机选取一个数记为M,从集合｛—2,-1,2,3,4｝中随机选取一个数记为九，则在方

2222

程上+乙=1表示双曲线的条件下，方程二+匕=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）

mnmn

98179

A.——B.—c.—D.——

17173535

22

6.已知椭圆C:——+A=1,直线4：〃比+>+3%=。与直线4：x-2y-3=。相交于点尸，且尸点在椭圆内恒成立,

a~+9a"

则椭圆C的离心率取值范围为（）

A.H)B.C.D.P1

7.记s”为等差数列｛4｝的前几项和.若生=-5,邑=-16,则。6=（）

A.5B.3C.-12D.-13

8.已知集合川={%|-1«XV5},N={X|WV2},则()

A.{x\-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.x10<x<2}

9.已知△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,BD=2DC,AE=EC9则而.而=()

11

A.1B.-2c.一D.——

22

10.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱

长为（）.

A.yf2B.73C.1D.瓜

11.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”产礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；，，书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，贝！J“六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

12.以』（3L1）,8（—2,2）为直径的圆的方程是

A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y~+x+y—8=0D.x2+y~+x+y—9=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；

随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的L4倍作为其奖金.若随机变量41和&分别

表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则。（无）=,E（6）-E（6）=.

Ji37r12

14.在平面直角坐标系龙。丁中，点「（%,为）在单位圆。上，设4。。=。，且。e（一若cos（（z+—）=——,

44413

则无。的值为.

15.某公园划船收费标准如表：

船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小时）90100130

某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为_____元,

租船的总费用共有种可能.

16.平面向量口与石的夹角为:同=1,同=1,,贝中4—2同=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一Y，

17.（12分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为夕=<+

I2

（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；

（2）设曲线C与曲线0sind=g交于A,B两点,求

18.（12分）如图，在三棱锥A-5CZ）中，ABVAD,BC±BD,平面平面3CZ>,点E,尸（E与A,。不重合）

分别在棱A。，BD±.,KEF±AD.

A

E

If

求证：(1)E尸〃平面ABC；

(2)AD±AC.

19.(12分)已知定点4(—3,0),3(3,0),直线AM、相交于点〃，且它们的斜率之积为-g,记动点M的轨

迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)过点T(l,0)的直线与曲线C交于P、。两点，是否存在定点S(1,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，

若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。

20.(12分)已知集合A=｛x|log2(x+3)«3｝,B=[x]2m-l<x<m+3].

(1)若m=3,则AU8；

(2)若4口5=8,求实数〃，的取值范围.

31

21.(12分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=-,tan(A-B)=-,角C为钝角，b=5.

(1)求sin6的值；

(2)求边c的长.

22.(10分)已知数列｛4｝是等差数列，前〃项和为S“，且$5=3%,%+。6=8.

(1)求4.

(2)设"=2"•a”,求数列也，｝的前n项和Tn.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即尸(%)=。在(1,4)上有解，即可得出结论.

【详解】

2ax2-4ax-1

fr(x)=lax-4a--=

Xx

若/(x)在(1,4)上不单调，令g(x)=2ax2-4ax-l,

贝U函数g(x)=2。%2一4以一1对称轴方程为x=l

在区间(L4)上有零点(可以用二分法求得).

当。=0时，显然不成立；

a>Q

当awO时，只需(g(l)=—2a—1<0

g(4)=16a—l〉0

a<0

或<g(l)=-2。-1〉0,解得或a<—」.

g(4)=16a-1<0I，"

故选:D.

本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.

2.D

【解析】

试题分析：由相，平面戊，直线/满足/，加，且/aa,所以///a,又〃，平面夕，所以〃/用，由

直线加，〃为异面直线，且加，平面％〃，平面夕，则a与夕相交，否则，若a//月则推出相〃心与九〃异面矛盾,

所以外尸相交，且交线平行于/,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.

3.D

【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行;

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A-DA/N的体积与三棱锥N-4。/体积相等，三棱锥N-ADM的底面积是定值，高也是定值，则体

积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;

B项，如图：

当M、N分别在BBi、CCi上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCCiBi的中心0,由DO垂直于平面BCCB

可得平面。平面BCG耳，故正确；

C项，当M、N分别在BBi、CCi上运动时,△AiDM的面积不变,N到平面AiDM的距离不变，所以棱锥N-AiDM的体积

不变，即三棱锥Ai-DMN的体积为定值，故正确；

D项，若△DMN为直角三角形，则必是以/MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BCi,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以△DMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

4.A

【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较。力,再由中间值1可得三者的大小关系.

【详解】

-01

a=log23e(1,2),b=log46=log2A/6e(1,log23),c=5£(0,1),因此a>6>c,故选：A.

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

5.A

【解析】

2222

设事件A为“方程土+匕=1表示双曲线”，事件B为“方程二+匕=1表示焦点在y轴上的双曲线”，分别计算出

mnmn

P(AB}

P(A),P(AB),再利用公式「(5/4)=［一计算即可.

【详解】

2222

设事件A为“方程工+匕=1表示双曲线”，事件B为“方程土+匕=1表示焦点在y轴上

mnmn

3x3+4x217g

的双曲线”，由题意，P(A)=-------------=一，P(AB)=-,则所求的概率为

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17,

故选：A.

本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

6.A

【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线/1,4过椭圆的焦点.然后判断出4,,2,判断出P点的轨迹方程，根据P恒在椭圆内

列不等式，化简后求得离心率e的取值范围.

【详解】

设4(—c,0),耳(c,0)是椭圆的焦点，所以，=。2+9一/=9,c=3.直线4过点E(—3,0),直线勾过点月(3,0),由

于77ZX1+1X(一切)=0,所以，6，所以P点的轨迹是以耳,且为直径的圆V+/=9.由于尸点在椭圆内恒成立,

,90,11,所以

所以椭圆的短轴大于3,即〃T=9,所以储+9>18,所以双曲线的离心率，2=亦€

ee0,—

\7

故选：A

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

7.B

【解析】

4x3一

由题得4+d=-5,4qH---d——16,解得q=-7,d=2,计算可得4・

【详解】

Oj=-5,S4=-16,q+d=-5,4al■)■――<7=-16,解得％=-7,d=2,

0=%+5d—3.

故选：B

本题主要考查了等差数列的通项公式，前九项和公式，考查了学生运算求解能力.

8.A

【解析】

考虑既属于"又属于N的集合，即得.

【详解】

N={x|-2<%<2},AfcN={%|-1Wx<2}.

故选：A

本题考查集合的交运算，属于基础题.

9.C

【解析】

以丽，宓为基底，将而，通用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

__2____9_______________►_►

BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,

33

AE=EC,:.BE=-BC+-BA,

22

_____»____,2__________»1_____»1____»

ADBE=(-BC-BA)(-BC+-BA)

1---►21---►---►1--->2

=-BC——BCBA——BA

362

=1,——1x2cx3cx—1=—1.

622

故选:C.

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

10.B

【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长.

【详解】

解：根据三视图还原几何体如图所示，

所以，该四棱锥体的最长的棱长为/njF+F+a=,.

故选：B.

本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

11.C

【解析】

根据“数”排在第三节，贝『‘射"和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有延=2种，剩余的3门全排列,

即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,

有3种，再考虑两者的顺序，有£=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有看=6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C.

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

12.A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出。力,「，从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b¥=r2,

由题意得圆心。(区3为A，3的中点，

根据中点坐标公式可得。=3一-2=16=—-1詈+7=1

2222

又不二地二重3+2)2+(-1—2)：二叵，所以圆的标准方程为：

222

ii17

(X——)2+(y——)2=—,化简整理得x2+y2_x_y_8=0,

222­

所以本题答案为A.

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.20.2

【解析】

分别求出随机变量6和a的分布列，根据期望和方差公式计算得解.

【详解】

设a,6G{1,2,1,4,5},则p("a)=g,其占分布列为：

612145

11111

rD

55555

E(<fi)=-x(1+2+1+4+5)=1.

5

D(fl)=1x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

刍=1.4|a-目的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

尸(《2=1.4)=£=二，尸(。=2.3)=^-=—,P©2=4.2)=^-=—,尸(刍=5.6)=《=而，可得分布歹山

61.42.34.25.6

2321

p

5To10io

，、2321

E(刍)—1.4x—P2.3x--1~4.2x----1-5.6x—=2.3.

5101010

：.E(6)-E⑸=0.2.

故答案为：2,0.2.

此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.

14.在

26

【解析】

JF1971

根据三角函数定义表示出和=cosa,由同角三角函数关系式结合cos(tz+z)=-E求得sin(a+z)，而

f71]71

xo=COS6Z=COSI<z+—I--,展开后即可由余弦差角公式求得瓦的值.

【详解】

点P(%,%)在单位圆。上，设=

由三角函数定义可知costz=x0,sine=y0,

因为。e(2,也)，则a+fe加，

444

所以由同角三角函数关系式可得sin1-cos2a+

71

所以为=cosa=cos

~4

(万、n.(7l、\.7C

=cosaH——cos—+sinaH——sin—

I4；4I4；4

12V255/2-7A/2

=--------X----------1-------X--------=--------------

13213226

故答案为：zZ^l.

26

本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.

15.36010

【解析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.

【详解】

当租两人船时，租金为："x90=720元,

2

当租四人船时，租金为：一xl00=400元,

4

当租1条四人船6条两人船时,租金为：100+6x90=640元，

当租2条四人船4条两人船时,租金为：2x100+4x90=560元,

当租3条四人船2条两人船时,租金为：3x100+2x90=480元,

当租1条六人船5条2人船时,租金为：130+5x90=580元，

当租2条六人船2条2人船时，租金为：2x130+2x90=440元，

当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：130+100+3x90=500元，

当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：130+2x100+90=420元，

当租2条六人船1条四人船时，租金为：2x130+100=360元，

综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.

故答案为：360,10.

本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.

16.V13

【解析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.

【详解】

7T

因为平面向量口与5的夹角为万，所以a♦石=0,

所以恸一2同=,9同?+4同一12〃❷B=713；

故答案为而

本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)-71+--,(2)百

42

【解析】

(1)利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线。与极轴所在直线围成的图形是一个半径为

1的,圆周及一个两直角边分别为1与6的直角三角形，即可求出面积；

4

(2)联立方程组，分别求出A和3的坐标，即可求出

【详解】

一

解：(1)由于C的极坐标方程为夕=<2sin［，+%J,

JT

I2

根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为:

当0<xV时，x+yfiy--\/3=0»

当一LWxWO时，x2+y2=1,

则曲线。与极轴所在直线围成的图形，

是一个半径为1的;圆周及一个两直角边分别为1与6的直角三角形,

.♦.围成图形的面积5=4兀+走.

c/兀、化直角坐标方程为X+=石,

2sinI3+-6；-

.•.|明=曰+孚=技

本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.

18.（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF〃AB,再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性

质定理得3C_L平面如，则再由ABLA。及线面垂直判定定理得平面ABC,即可得

ADLAC.

试题解析：证明：（1）在平面AB£>内，因为EF±AD,所以砂||AB.

A

又因为EFa平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

（2）因为平面A3。_L平面BCD,

平面ABDc平面BCD=BD,

BCu平面BCD,BC±BD,

所以BC,平面AB£）.

因为ADu平面AB£＞，所以BC,AD.

y.AB±AD,BCcAB=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以A。_L平面ABC,

又因为ACu平面ABC,

所以AOL4C

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）

证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

2

19.（1）y+y2=l（x^±3）；⑵存在定点S（±3,0）,见解析

【解析】

（1）设动点”（x,y）,则勉=上,％=上（"土3），利1用L求出曲线。的方程.

x+3x-39

x=my+1

（2）由已知直线/过点T（LO）,设/的方程为》=%+1,则联立方程组121八，

%2+9y2=9

消去x得（加2+9）/+2相y-8=0,设P（%,%）,e（x2,%）利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程,

推出结果.

【详解】

解：（1）设动点M（X,y）,贝”"a=」^（xw—3）,

X十J

^MB--。3），

x—

kMA-kMB=---即

x+3x—39

2

化简得：—+/=1«

9'

尤2

由已知xw±3,故曲线。的方程为土+y2=丰+3）o

9

(2)由已知直线/过点T(l,0),设/的方程为》=冲+1,

x=my+1,

则联立方程组《%21,消去x得(》?+9)y2+2冲一8=0,

—+V2=1

19

2m

y+%=­

m+9

设P(%，X),。(々,%)，贝卜

8

%%=一-

m+9

又直线SP与SQ斜率分别为股+17。

.一%%

SQ~~[

x2-xQmy2+l-x0

_______________________=_________-8

则ksp-kQ

S22

（切1+1-/乂噂2+1-%）（%o-9）/W+9（1-X0）

-8_2

当/=3时，Vme7?,^SP'^SQ2=

9（1-X0）"9

1

当/=-3时，Vme7?.^SP1^SQ

18

所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值。

本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

20.(1){x|-3<%<6}；(2)[-1,2]U[4,+oo)

【解析】

(1)将加=3代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.

(2)由4口6=3可知B为A的子集，即当8=0符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得机

的取值范围.

【详解】

（1）若〃z=3,则3={115<x<6},