相交线与平行线重难点题型-2021-2022学年北师大版七年级数学下册专项突破（原卷版）

专题02相交线与平行线重难点题型

题型1、余角、补角、对顶角、垂直的相关计算

解题技巧：余角、补角、对顶角这些结论在几何计算中的应用非常广泛。邻余角、补角、对顶角在解题中

常常起着桥梁的作用，它们可以将未知角和已知角直接联系起来，是复杂的问题简单化。我们要善于挖掘

题干中的隐含信息，充分利用邻补角和对顶角的关系，使其与已知条件相联系，从而使所求问题得到解决。

1.（2021•浙江温州市•七年级期末）如图，直线/瓦CD相交于点。AO平分NCOE,且/£。。=50°,

则ZDOB的度数是.

2.（2021•北京通州区•首师大附中通州校区七年级期末）如图，已知射线。4,射线05,射线。4表示北

偏西20。的方向，则射线05表示的方向为（）

A.北偏东60。B.北偏东55。C.北偏东70。D.东偏北75。

3.（2021•四川绵阳市•七年级月考）如图，直线AB、CD相交于点O,射线OM平分/AOC,/MON=90。.若

ZAOM=35°,则/CON的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

4.（2021•湖北随州市•七年级期末）已知//。2=70。，NCOB与NAOB互余,则N/OC的度数为.

5.（2021•山西朔州市•七年级期末）如果/I与/2互补，/2为锐角，则下列表示N2余角的式子是（）

A.90°Z1B.Z190°C.Z1+90°D.180°Zl

6.（2021•黑龙江•七年级期中）已知：直线48与直线CO交于点。，过点。作。£_L/8.（1）如图，

ZCOE=-ZAOD,求//OC的度数.（2）如图，在（1）的条件下，过点。作。hLCD,经过点。画直

4

线MN,满足射线0M平分在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2NEO尸度数相等的角.

DD

题型2、方程思想

性质：（1）邻补角互补；（2）对顶角相等；（3）垂线夹角为90°（4）角平分线平分角

解题技巧：若图形中角比较多，且关系难以理清晰，建议用设未知数的方法，利用上述几条性质，将图形

中所有角度都用未知数表示出来，进而将角的关系转化为方程的形式求解。特别是题干中存在比例关系时,

我们多用方程的方法解题。

1.（2021•浙江台州市•七年级期末）一个角的补角是它的余角的三倍，则这个角的度数为.

2.（2021•江苏扬州市•七年级期末）已知Na与互为补角，且N|3比Na大20。，则Na的度数是.

2

3.（2021•山东临沂市•七年级期末）一个角的余角是它的补角的这个角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.（2020•四川营山.初一期末）在同一平面内，若NA与NB的两边分别垂直，且NA比/B的3倍少40°,

则NA的度数为（）

A.20°B.55°C.20°或125°D.20°或55°

5.（2020•钦州市第四中学初二月考）如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分NBOC,FOLCD于点O,

若NBOD:ZEOB=2：3,求/AOF的度数.

6.（2020•全国初一课时练习）已知，如图所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分/BOD,OF平分/COB,

ZAOD：ZDOE=10:1,（1）试判断。/与。£的位置关系，并说明理由.（2）求N/O厂的度数.

A

B

题型3、折叠问题中角的计算

解题技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。

1.（2020•江苏秦淮•南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C，,

且B。与AD交于E点，若NABE=40。，贝!|/ADB=

2.（2020•江苏高邮•初一期末）如图，把一个长方形纸片沿防折叠后，点。分别落在。M。'的位置,

若ZEFB=68°，则NAED，等于

3.（2020•广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在。'，C'的位置.若

ZAED'=30°,则/BFC'的度数为.

4.（2020•内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则Nl=

度.

5.（2020•江苏镇江市•八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果Nl=55。，那么N2=

6.（2020•江苏扬州市•七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿斯折叠后，点。，。分别落在。C,C'的

位置，若/EFB=68。,则N/EZT等于°.

题型4、识别同位角、内错角和同旁内角

解题技巧：常见的识别方法有2种，具体如下

方法一、定义法：如下图:

①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角

例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有/I、/2、N3、N4、N5、N6、N7、N8这8个

角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找

②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：以与第三条直线的位置关系；A与

被截两条直线的位置关系

例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则/8与/4符合同位角关系。

内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则N8与/2符合内错角关系。

同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则N8与/3符合同旁内角关系。

方法二、像形识别法：①同位角：F②内错角：Z③同旁内角：C

1.（2021•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（）

A./3和N5是同位角B.N4和/5是同旁内角C.N2和/4是对顶角D.N2和/5是内错角

2.（2021•浙江长兴•七年级期末）如图，乙1与/1是（）

A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角

3.（2021•广东东莞•七年级期末）如图所示，下列四个选项中不亚做的是（）

A./I与N2是同旁内角B.N1与N4是内错角C./3与/5是对顶角D.N2与23是邻补角

4.（2021•山西忻州•七年级期末）如图，与/DBE是同旁内角，它们是由（）

A.直线CO,NB被直线3。所截形成的B.直线4D,5c被直线/E所截形成的

C.直线。C,48被直线4D所截形成的D.直线DC,4B被直线BC所截形成的

5.（2021•山东炎B城•七年级期末）如图，直线/D,8E被直线3尸和NC所截，则N1的同位角和N5的内错

角分别是（）

A.Z2和N4B.N6和/4C.Z2和/6D./6和/3

6.（2021•辽宁朝阳•七年级期中）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始,

经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上例如:

从起始位置N1跳到终点位置/3有两种不同路径，路径1：同旁内角＞/9内错角＞/3;路径2：

/]内错角）/]2内错角）/6同位角）210同旁内角）/3

试一试：（1）写出从起始位置N1跳到终点位置N8的一种路径；

（2）从起始位置N1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置N8?

题型5尺规作图

1.（2020•惠州市第七中学初二月考）如图，线段EF//AB交BC于D.

C

BD

（1）尺规作图：以点尸为顶点，射线FE为一边，在FE的右侧作DERG,使ZEFG=ZB.（要求:不写

作法，但保留作图痕迹并写出结论）（2）判断尸G与的位置关系并说明理由；

2.（2020•广东阳山•初一期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

如图，王师傅开车在一条公路上经过点3和点。处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向相

同.已知第一次的拐角为//3C,请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角N8CD

3.（2020•广东省深圳市龙岗区南芳学校期中）如图，已知直线AB和点P,用尺规作直线CD,使CD//AB,

且CD过点P；

.P

B

4.（2020•陕西渭滨•）请按以下要求作图：如图，打台球时，小球从A点出发撞击到台球桌边CD的点。处,

请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.

5.（2020•广东南山•初一期中）如图，已知点。为AA5C的边48上一点，请在边/C上确定一点E,使

得%8=%0七（要求：尺规做图、保留作图痕迹、不写作法）

6.（2020•上海市静安区实验中学单元测试）已知Na、Zp,用尺规画出/AOB=Na+2/|3.（不写作法，标

明字母）

题型6平行线间距离与面积问题

解题技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类题型时，

先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。

1.（2020•甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点.如图所示

的网格图中，每个小正方形的边长都为1.现有格点48,那么,在网格图中找出格点使以48和格点。为

顶点的三角形的面积为2.这样的。点可找到的个数为（）

C.9D.10

2.（2020•南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的

两个定点，且直线m〃n.则下列说法正确的是（）

A.AC=BPB.AABC的周长等于ABCP的周长

C.AABC的面积等于AABP的面积D.AABC的面积等于APBC的面积

3.（2020•江苏泰州市•昭阳湖初中八年级期中）如图，A/BC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高,

则下列说法中错误的是（）

A.BE=CEB.NC+/CAF=90°C.ZBAE=ZCAED.SAABC=28^

4.（2020•湖南茶陵•初一期末）如图，四边形ABCD中，AD//BC,/C与AD相交于点O,若//即=10c加2,

S&ACD为（）

A.10B.9C.8D.7

「N：

5.（2020•河北滦州•初一期中）如图，直线ABHCD,点尸是直线N5上一个动点，当点尸的位置发生变化

时，三角形PCD的面积（）

A.向左移动变小B.向右移动变小C.始终不变D.无法确定

6.（2020•上海市培佳双语学校初一月考）已知，AB//CD,且CD=245,和的面积分

别为2和8,则△/CE的面积是（）

A.3B.4C.5D.6

题型7、证平行线的技巧

解题技巧：

1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知

条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。

2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找

中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。

1.（2020•河北宣化•初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定/E//CD的

依据是（）

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行

C.内错角互补，两直线平行D.同旁内角互补，两直线平行

王老前：两个直角三角板梆成加图

所示的彩状，在不添加辅助我的情

跳下，判断A£与CD的位里关系.

2.（2020•太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①N1=N2；②N3=N4；③N5=/D；

@Z1=Z6；⑤/54D+/。=180°；@ZBCD+ZD=180°,能得的有（只填序号）.

3.（2020•山西期末）综合与探究

问题情境：如图，已知。。平分//08,于点。，£为。。延长线上一点，EFLOB于点、F,

（2）如图2,当N/O8为锐角时，N1与/2有什么数量关系，请说明理由；

拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90。，试探究。。和GE的位置关系,

并证明结论;（4）如图3,当乙4。6为锐角时，若点E为线段。。上一点，EFLOB于点、F,EH平分NDEF

交0A于点H,ZDEF+ZAOB=180°.请写出一个你发现的正确结论.

4.（2020•陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知NABC=180o/A,BD_LCD于D,EF_LCD于E.

⑴求证：AD//BC；（2）若/ADB=36。，求NEFC的度数.

5.（2020•南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在A/BC中，。是5C边上的一点，48=45。,

ZBAD=30°,将△48。沿4D折叠得到△ZED,4E与BC交于点,F.

（1）求乙4尸C和NEQ歹的度数；（2）若/E：ZC^3：2,问：DE"C吗,请说明理由.

6.（2021•辽宁朝阳市•八年级期末）如图，AABC中，NABC=/ACB,BD平分/ABC,CE平分NACJB,

BD,CE交于点O,F,G分别是AC,BC延长线上一点，且NEOD+/OBF=180。，ZDBC=ZG,指出

图中所有平行线，并说明理由.

A

E/\p

a

BcG

题型8平行线的性质

解题技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。

1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平

行时，3类角无大小关系。

2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角

相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。

1.（2020•河南西华•初一期中）如图所示，直线/瓦BC,/C两两相交，交点分别为N,B,C,点。在直

线上，过点。作交直线/C于点E,过点E作即〃交直线于点尸，若//3C=50。，则

/DEF的度数.

2.（2021•福建三明市•八年级期末）如图，在中，N/=30。，ZACB=80°,A48C的外角NCS。

的平分线BE交AC的延长线于点E.

（1）求NCSE的度数；（2）过点、D悍DFHBE,交ZC的延长线于点/，求NF的度数.

ABD

3.（2020•山东安丘•东埠初中初二月考）如图，NA8C的平分线BE与N/CG的平分线CE相交于点E,

过点E作。E〃BC交/C于尸，若BD=8,DF=3,求C下的长

BG

4.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）如图1,已知48〃C。，ZS=30°,NO=120。；

（1）请探索NE与/斤之间满足的数量关系，并说明理由;

（2）如图2,若EP平分NBEF,FG平分NEFD,反向延长EG交EP于点P,求NP的度数.

5.（2020•浙江杭州市•七年级其他模拟）已知：如图1,AB//CD,前E,/分别为Z5,上一点.

EE

-B■B

MF,探究NZEAf,ZEMF,

/AffV之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明.

（2）如图2,在3之两点M,N,连接ME,MN,人不，请选择一个图形写出NZEN,ZEMN,

ZMNF,NNEC存在的数量关系（不需证明）.

6.（2020•上海静安•初一期中）（1）如图。所示，ABIICD,且点E在射线48与3之间，请说明

N/£C=NN+NC的理由.

（2）现在如图6所示，仍有AB//CD,但点E在25与3的上方,

E

①请尝试探索Nl,Z2,NE三者的数量关系.②请说明理由.

题型9、构造辅助线之添加平行线

解题技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见题型仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的

几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远

角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上

1.（2020•湖北随县•初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，

若/ADE=125。，则NDBC的度数为（）

E

■213141弋^：叩|川|叩|叫叩|

C认-----

F

A.125°B.75°C.65°D.55°

2.（2020•山东日照•二模）如图，直线4〃，2，Zl=30°,则N2+N3=（）

C.210°D.240°

3.（2020•深圳市高级中学初二月考）如图，ABUEF,ZC=90°,则Na,邛，之间的关系是（）

A./夕=/</+//B.Za+Z/?+Z/=180°c,Za+Z/?-Z/=90°D.//+Ny-Na=90。

4.（2020•石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB〃CD,则NA+ZE+ZC=180°；②如图2,AB〃CD,

则NE=ZA+NC;③如图3,AB〃CD,则NA+ZE-Z1=18O°④如图4,AB〃CD,则NA=/C+ZP.以上结

论正确的个数是（）

5.（2020•石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB〃CD〃EF,则/X、/丁、Nz三者之间的关

系是（）

A.x+y+z=180°B.x+y-z=180°C.x+y+z=360°D.x+z=y

6.（2020•山东青岛•初一期中）如图，已知/4BC=76°,NCDE=150。，则N2CD的度数为'

7.（2020•太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点。，E分别在氏4,5C上，NADF=a0,

NABC=,ZABC=y°,DF//EG,则。，a，7之间满足的关系式是.

题型10、平行线的压轴题

1.（2021•河南驻马店市•七年级期末）已知：AABC和平面内一点D.

（1）如图1,点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E,作DF//CA交AB于点F,判断NEDF与

/A的数量关系，并说明理由.（2）如图2,点D在BC的延长线上，DF//CA,/EDF=NA,请你判断

DE与BA的位置关系.并说明理由.（3）如图3,点D在AABC的外部，若作DE//BA,DF//CA,请直

接写出ZEDF与/A数量关系.

CD

图2

2.（2020•山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图bAB//CD,ZPAB=130°，

ZPCD=120°.求N4PC度数.

小明的思路是：如图2,过点尸作PE7/48,通过平行线性质，可得N/PC=50°+60°=110°.

（2）问题迁移

（1）如图3,点尸在射线。出上运动，当点P在/、8两点之间运动时，ZADP=Za,

NBCP=N/3.猜想NCP。、Na、之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在/、3两点外侧运动时（点P与点/、2、。三点不重合），请写出NCP。、

/0、N6之间的数量关系.选择其中一种情况画图并证明.

N

D0

备用图

3.（2020•北京海淀实验中学初二开学考试）已知点N分别在直线N8、CD上，£是平面内

一点，和/CNE的平分线所在的直线相交于点尸.

C1）如图1,当E、尸都在直线48、CO之间且/AffiN=80。时，NMFN的度数为；

（2）如图2,当E在直线上方，尸在直线CD下方时，探究NMEN和之间的数量关系，并证明

你的结论；

（3）如图3,当£在直线上方，尸在直线48和CD之间时，直接写出/AffiN和/VFN之间的数量关

系•

4.（2020•河南舞钢•初一期中）如图，直线