浙教版七年级数学上册同步讲义：圆心角（学生版+解析）

第13课圆心角

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学习目标

L了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.

2.理解圆心角的概念，并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也

相等.

3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所

对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.

4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.

芯笈知识精讲

知识点01圆心角的概念

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

知识点02圆心角定理

1.圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等.

2.圆心角定理推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其

余各对量都相等.

能力拓展

考点01圆心角的概念

【典例1】1.下列图形中的角，是圆心角的为（）

.O.0c..c

2.如A图，在RtaABC中，BNC=90°,NA=28°,以D点C为圆心,3C为半径的圆分别交A3、AC于点。、

点、E,则弧8。的度数为（）

B

A.28°B.64°C.56°D.124°

【即学即练1】1.下面图形中的角是圆心角的是（）

04cGDQ

2.如图，CD是。。的直径，NEOD=84°,AE交。。于点5,SLAB=OC,求熊的度数.

考点02圆心角定理

【典例2】如图，在。。中，点C是优弧的中点，D、E分别是OA、上的点，且弦CM、

CN分别过点。、E.

(1)求证：CD=CE.

（2）求证：AM=BN.

【即学即练2】如图所示，。。中，弦AB与C。相交于点E,AB=CD,连接A。，BC,求证:

（1）AD=BC；

(2)AE=CE.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，在。。中，AB=CD，Nl=45°,则N2=（）

C.45°D.40°

2.如图，A5为半圆O的直径，点。、。为标的三等分点，若NCOO=50°,则N50E的度数是（）

A.25°B.30°C.50°D.60°

3.下列说法正确的个数有（)

①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那

么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.如图，在两个同心圆中，源为60°,则蕾的度数为60°.

5.如图，在。。中，AB=CD，则下列结论中：①AB=C£）；②AC=BD；③/AOC=N8OD；④AC=BD，

正确的是（填序号）.

6.如图，AB,C£）是的两条弦，要使A8=CZ）,需要补充的条件是_AD三BC_（补充一个即可）.

7.如图，A8是。。的直径，AC,CD,DE,EF,FB都是的弦，AC=CD=DE=EF=FB,求/AOC

与NCO尸的度数.

8.如图，A、B、C、。是O。上的点，Z1=Z2,求证：AC=BD.

c

2

2

O

9.如图，已知C,。是以AB为直径的。。上的两点，连接5C,OC,0D,若OD〃BC,求证：。为众的

中点.

题组B能力提升练

10.圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.如图，A,8是。。上的点，4402=120°,C是总的中点，若O。的半径为5,则四边形ACB。的面

积为（）

12.如图，在。。中，如果第=2孩，则下列关于弦与弦AC之间关系正确的是（）

B.AB=2ACC.AB>2ACD.AB<2AC

13.如图，。。截△ABC的三条边所得的弦长相等，若NA=80°,则乙BOC的度数为()

A.125°B.120°C.130°D.115°

14.如图，AB,。是O。的直径，弦CE〃AB,弧CE的度数为40°,/AOC的度数.

15.如图，已知点C是。。的直径A8上的一点，过点C作弦。E,使CZ)=C。若俞的度数为35°,则前

的度数是.

16.已知如图所示，尸为直径AB上一点，EF,CD为过点尸的两条弦，且NDPB=/EPB；

(1)求证：；

17.已知：如图，AB是。。的直径，点C、D为圆上两点，且弧。2=弧CD,CF±AB于点F,CE±AD

的延长线于点E.求证：DE=BF.

18.如图，A2为O。的弦，半径。C,OD分别交AB于点E,F.且葭=笳.

(1)求证：AE=BF；

(2)作半径0N_LA8于点若AB=12,MN=3,求OM的长.

题组C培优拔尖练

19.如图，半径为5的。。中，有两条互相垂直的弦48、CD,垂足为点E,且AB=CD=8,则OE的长为

()

A.3B.A/3C.273D.3&

20.如图，A8为。。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。ELAB于点E,延长。E交。。于点尸,

若AE=3,。。的直径为15,则AC长为()

A.10B.13C.12D.11

21.如图，A8是圆。的直径，A8=8,点〃在圆。上，ZMOB=6Q°,N是谣的中点，P为A8上一动点,

则PM+PN的最小值是.

22.如图，在。。中，弦A。、BC相交于点E,连接OE,已知ADLCB.

(1)求证：AB=CD；

(2)如果OO的半径为5,DE=1,求AE的长.

23.如图，在。。中，C,。是直径A8上的两点，且AC=8。，EG±AB,FHLAB,交AB于C、D,

点E,G,F,//在OO上.

(1)若EG=8,AC=2,求。O半径；

(2)求证：AE=BF；

(3)若C,。分别为。4,OB的中点，则金=方=而成立吗？请说明理由.

第13课圆心角

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学习目标

1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.

2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦也

相等.

3.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,

那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.

4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.

趣知识精讲

知识点01圆心角的概念

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

知识点02圆心角定理

1.圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相

等.

2.圆心角定理推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则

它们所对应的其余各对量都相等.

4AOB=NCODAB=CD

OE=OFAB=CD

能力拓展

考点01圆心角的概念

【典例1】1.下列图形中的角，是圆心角的为（）

A.B.\----/C.D.

【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可.

【解析】解：A.顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

B.顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

C.是圆心角，故本选项符合题意；

D.顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了圆心角，弧、弦之间的关系和圆心角的定义，能熟记圆心角的定义

（顶点在圆上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键.

2.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,NA=28°,以点C为圆心，BC为半径的圆分别交

AB.AC于点£>、点E,则弧的度数为（）

【思路点拨】先利用互余计算出NB=62°,再利用半径相等和等腰三角形的性质得到N

CDB=NB=62。，则根据三角形内角和定理可计算出NBC。，然后根据圆心角的度数等

于它所对弧的度数求解.

【解析】解：：/C=90°,NA=28°,

ZB=62°,

,:CB=CD,

：.ZCDB=ZB=62a,

AZBC£>=180°-62°-62°=56°,

.,.俞的度数为56°.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条

弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

【即学即练1】1.下面图形中的角是圆心角的是（）

【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可.

【解析】解：A.顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

B.顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

C.顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

D.是圆心角，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫

圆心角.

2.如图，CD是的直径，/EOD=84°,AE交。。于点2,且AB=OC,求荷的度数.

【思路点拨】连接。8,如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到

2ZA,则N£=2NA,再利用NEO£>=84°得到2NA+NA=84°,解得NA=28°,接

着计算出的度数，从而得到熊的度数.

【解析】解：连接。2,如图，

"：OB=OC,OC=AB,

：.OB=AB,

：.ZA=ZBOA,

：.NEBO=ZA+ZBOA=2ZA,

"：OB=OE,

：.ZE=ZEBO=2ZA,

"：ZEOD=ZE+ZA,

A2ZA+ZA=84°,解得/A=28°,

；.NE=NEBO=56°,

；./3OE=180°-ZE-Z£BO=180°-56°-56°=68°,

熊的度数为68°.

故答案为：68°.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条

弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

考点02圆心角定理

【典例2］如图，在。。中，点C是优弧AC8的中点，D、石分别是。4、05上的点，且

AD=BE,弦CM、CN分别过点。、E.

(1)求证：CD=CE.

(2)求证：AM=BN.

【思路点拨】(1)连接OC,只要证明△CO。丝△(%>£(SAS)即可解决问题;

(2)欲证明赢=余，只要证明N"OD=NNOE即可；

【解析】(1)证明：连接。C

VAC=BC-

：.ZCOD=ZCOE,

，：OA=OB,AD=BE,

：.OD=OE,VOC=OC,

:•△CODQXCOE(SAS),

：.CD=CE,

(2)分别连接OM,ON,

VACOD^ACOE,

：.ZCDO=ZCEO,/OCD=/OCE,

OC=OM=ON9

；・NOCM=NOMC,ZOCN=ZONC,

：.ZOMD=ZONE,

ZODC=ZDMO+ZMOD,ZCEO=ZCNO+ZEON,

：.NMOD=ZNOE,

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

【即学即练2］如图所示，中，弦A8与CD相交于点E,AB=CD,连接A。，BC,求

证：

(1)AD=BC；

(2)AE=CE.

【思路点拨】(1)由AB=C。，推出第=而，推出俞=而.

(2)证明△AQE名可得结论.

【解析】证明：(1)'：AB=CD,

••AB=CD'

AC+BC=AD+AC，

AD=BC-

(2)VAD=BC，

：.AD=BC,

'：ZADE=ZCBE,ZAED=ZCEB,

：.AADE^ACBE(AAS),

：.AE=EC.

【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，在。。中，AB=CD-Zl=45°,则/2=（）

【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论.

【解析】解：；第=而，

.\Z2=Z1=45°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键.

2.如图，A2为半圆。的直径，点C、。为金的三等分点，若NCOZ）=50°,则/BOE的

度数是（）

D

【思路点拨】求出NAOE,可得结论.

【解析】解：：点C、。为标的三等分点,

••AC=CD=DE>

ZAOC=ZCOD^NOOE=50°,

AZAOE=150°，

：.ZEOB=1SOa-/AOE=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

3.下列说法正确的个数有（）

①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果

圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等

A.2个B.3个C.4个D.5个

【思路点拨】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可.

【解析】解：①半圆是弧，正确；

②面积相等的两个圆是等圆，正确，

③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧

④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中.

⑤等弧所对的圆心角相等，正确.

故选：B.

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.如图，在两个同心圆中，窟为60°,则存的度数为60°.

【思路点拨】求出/AOB=60°,可得结论.

【解析】解：.••篇的度数为60°,

ZAOB=60°,

而的度数为60。，

故答案为：60°.

【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对

的弧的度数相等.

5.如图，在。。中，第=而，则下列结论中：®AB=CD；®AC=BD；®ZAOC=ZBOD；

@AC=BD，正确的是①②③④（填序号）.

【思路点拨】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可.

【解析】解：在O。中，窟=而，

：.AB=CD,故①正确；

为公共弧，

二会=俞故④正确；

：.AC=BD,故②正确；

ZAOC=Z.BOD,故③正确.

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也

相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

6.如图，AB,CD是的两条弦，要使A8=Cr>,需要补充的条件是—命三前_（补充

一个即可）.

【思路点拨】根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可.

【解析】解：当疝=前时，AB=CD,

理由如下：：面=前，

•••AD+BD=BC+BD.即窟=而，

：.AB=CD,

故答案为：AD=BC-

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、

两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关

键.

7.如图，48是。。的直径，AC,CD,DE,EF,用都是的弦，且

=FB,求NAOC与NCO尸的度数.

【思路点拨】由AC=CD=DE=EF=FB,根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它

们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到ZAOC=ZCOD

=ZDOE=ZEOF=ZFOB,而AB是。。的直径，所以/AOC=』X180°,ZCOF=^-

X180°.

【解析】解：'：AC=CD=DE=EF=FB,

ZAOC=ZCOD=ZDOE=ZEOF=AFOB,

而AB是O。的直径，

/.ZAOB=180°,

：.ZAOC=Ax180°=36°,

5

.,.ZCOF=2.X180°=108°.

5

【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦

中有一组量相等，则另外两组量也对应相等.

8.如图，A、B、C、。是。。上的点，Z1=Z2,求证：AC=BD.

【思路点拨】求出/AOC=N8。。，推出弧AC=弧B。，即可得出AC=BD.

【解析】证明：=

Z1+ZBOC=Z2+ZBOC,

：.ZAOC=ZBOD,

...弧AC=MBO,

：.AC=BD.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，注意：在同圆或等圆中，两个

圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等.

9.如图，已知C,。是以A8为直径的。。上的两点，连接BC,OC,OD,若OD〃BC,

求证：。为々的中点.

【思路点拨】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出/B=NC,ZAOD=ZB,Z

COD=ZC,求出/AOO=/COD,再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可.

【解析】证明：：OB=OC,

:./B=NC,

'：OD//BC,

：.ZAOD=ZB,ZCOD=ZC,

ZAOD=ZCOD,

••AD=CD>

即。为々的中点.

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等

知识点，能求出是解此题的关键.

题组B能力提升练

io.圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【思路点拨】根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性

质得出即可.

【解析】解：连接。4、OB,

...△042是等边三角形，

.•.乙4。2=60°,

即圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度数为60°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和等边三角形的性质和判定，能熟记等边三

角形的性质和判定定理是解此题的关键.

11.如图，A,8是。。上的点，ZAOB=120°,C是源的中点，若。。的半径为5,则四

边形AC8。的面积为（）

A.25B.25«C.等D.等

【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到NAOC=NBOC=

60°,易得△04C和△02C都是等边二角形，即可解决问题.

【解析】解：连OC,如图，

是AB的中点，ZAOB=120°,

.•./AOC=N2OC=60°,

又,.Q=0C=0B,

△O4C和△OBC都是等边三角形，

••S四边形AOBC=2X=25.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角

相等.也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定.

12.如图，在。。中，如果窟=2成，则下列关于弦A8与弦AC之间关系正确的是（）

A.AB=ACB.AB=2ACC.AB>2ACD.AB<2AC

【思路点拨】取弧AB的中点D连接AD,2£）,则窟=2面=2俞，由己知条件窟=2同,

得出俞=俞=京，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD=BD=AC,又在△ABD

中，根据三角形三边关系定理得出即可得至l]4B<2AC.

【解析】解：如图，取弧的中点。，连接AD,BD,则第=2俞=2而，

,••益=2同，

AD=BD=AC-

：.AD=BD=AC.

在△ABO中，AD+BD>AB,

：.AC+AC>AB,BPAB<2AC.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助

线，得出A£）=2D=AC是解题的关键.

13.如图，。。截△ABC的三条边所得的弦长相等，若/A=80°，则NBOC的度数为（）

【思路点拨】过点O作OE±AB于E,OD±BC于D,OFLAC于凡根据心角、弧、

弦的关系定理得到OD=OE=OF,根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算,

得到答案.

【解析】解：过点。作OELAB于E,OD±BC于D,OFJ_AC于F,

VZA^80°,

AZABC+ZACB=180°-80°=100°,

由题意得，HG=PQ=MN,

：.OD=OE=OF,

VOELAB,OD1BC,OF±AC,

.♦.08平分/ABC,OC平分/ACB,

：.ZOBC=1.ZABC,ZOCB=1.ZACB,

22

：.ZOBC+ZOCB=lx(NABC+/ACB)=50°,

2

：.ZBOC=180°-50°=130°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、角平分线的判定，掌握圆心角、弧、弦

的关系定理是解题的关键.

14.如图，AB,C。是。。的直径，弦CE〃AB,弧CE的度数为40。，/AOC的度数70

【思路点拨】连接。£,由弧CE的度数为40°,得到NCOE=40°,根据等腰三角形的

性质和三角形的内角和定理可求出/OCE=(180°-40°)+2=70°,而弦CE〃AB,

即可得到NAOC=NOCE=70°.

【解析】解：连接。£,如图，

:弧CE的度数为40°,

；./COE=40°,

'：OC=OE,

；.NOCE=NOEC,

：.ZOCE=(180°-40°)4-2=70°,

:弦CE//AB,

：.ZAOC=ZOCE=10°.

【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦

中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角

形的内角和定理.

15.如图，已知点C是。。的直径AB上的一点，过点C作弦DE,使CD=CO.若俞的度

数为35°,则前的度数是105°.

【思路点拨】连接OD、OE,根据圆心角、弧、弦的关系定理求出/AOD=35°,根据

等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可.

【解析】解：连接。OE,

:俞的度数为35°,

AZA(?D=35°,

'：CD=CO,

；./OOC=NA。。=35°,

'：OD=OE,

：.40DC=4E=35

：.ZDOE=UQ0,

/.ZAOE=75°,

：.ZBOE=105°,

二标的度数是105°

故答案为105°.

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所

对的弧相等，所对的弦也相等.

16.已知如图所示，尸为直径上一点，EF,C。为过点尸的两条弦，且/DPB=/EPB；

(1)求证：；

【思路点拨】(1)根据弧长之间的关系，可证0=命;

(2)由弧。石=弧推出CE=Z)?

【解析】证明：(1)作OALL所，OMLCD,

'：ZDPB=NEPB；

：.ON=OM,

:.CD=EF,

-****--

・•・CD=EF，CD-FC=EF-FC，

即.

(2)证明：•・,

:.CE=DF.

【点睛】本题主要考查圆心角，弧和弦之间的关系.

17.已知：如图，是。。的直径，点C、。为圆上两点，且弧。8=弧。9,CT_LAB于

点、F,CE_LA。的延长线于点E.求证：DE=BF.

【思路点拨】由弧（78=弧。0,根据圆周角定理得到CB=CD,ZCAE=ZCAB,而CF

LAB,CELAD,根据角平分线定理得到CE=CF于是有RtZ\CE〃gRtZ\CF8,即可得

到结论.

【解析】证明：：弧尊=弧8,

:.CB=CD,ZCAE^ZCAB,

X".,CFXAB,CELAD,

:.CE=CF,

.•.RtACED^RtACFB,

:.DE=BF.

【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦

中有一组量相等，则另外两组量也对应相等.也考查了圆周角定理、角平分线定理以及

三角形全等的判定与性质.

18.如图，为。。的弦，半径。C,OO分别交于点E,F.且它=笳.

（1）求证：AE=BF；

（2）作半径0N_L4B于点M,若AB=12,MN=3,求的长.

【思路点拨】（1）连接。4、0B,证明△AOE丝ZYB。尸（ASA）,即可得出结论;

(2)连接OA,由垂径定理得出AM=1AB=6,设OM=x,则0A=ON=x+3,在RtA

2

中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解析】(1)证明：连接。4、0B,如图1所示：

•：OA=OB,

：.NA-

VAC=BD-

ZAOE^ZBOF,

在△AOE和△OB/中，

AAAOE^ABOF(ASA),

：.AE=BF.

(2)解：连接。4,如图2所示：

'：OM±AB,

.'.AM=-AB=6,

2

设0M=x,则0A=0N=x+3,

在中，由勾股定理得：6W=(x+3)2,

解得：x=4.5,

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

题组C培优拔尖练

19.如图，半径为5的。。中，有两条互相垂直的弦AB、CD,垂足为点E,且A8=C£>=8,

则0E的长为()

【思路点拨】作。A3于M,ONLCD于N,连接。4,0C,根据垂径定理得出

=AM=4,DN=CN=4,根据勾股定理求出0M和ON,证明四边形OMEN是正方形，

即可解决问题.

【解析】解：如图，作于M,ONLCD于N,连接。4,OC.

：.AM^BM^4,CN=DN=4,

\'OA=OC=5,

•••°M=VOA2-AM2==3,°N=Voc2-CN2==3'

：.OM=ON,

"JABYCD,

：.ZOME=ZONE=/MEN=90°,

四边形OMEN是矩形，

•：OM=ON,

.,•四边形OMEN是正方形，

：.OE=®OM=3®

故选：D.

【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.

20.如图，AB为。。的直径，点。是弧AC的中点，过点。作。于点E,延长DE

交。。于点E若AE=3,的直径为15,则AC长为（）

A.10B.13C.12D.11

【思路点拨】根据垂径定理求出DE=EF,AD=AF-求出血=而，求出AC=DF,

求出所的长，再求出O尸长，即可求出答案.

【解析】解：连接。尸,

•：DE±AB,AB过圆心0,

：.DE=EF,AD=AF>

：£）为弧AC的中点，

•••AD=DC-

ADC=DAF，

J.AC^DF,

;。。的直径为15,

；.。/=。4=耳

2

：AE=3,

：.OE=OA-AE=^-,

2

在Rt^OEF中，由勾股定理得：EF=加2-0£2=，甥）2呜）2=6,

:・DE=EF=6,

/.AC=DF=DE+EF=6+6=12,

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此

题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目.

21.如图，AB是圆。的直径，AB=8,点/在圆。上，ZMOB=6Q°,N是鼐的中点，P

为AB上一动点，则PM+PN的最小值是」

【思路点拨】作点M关于AB的对称点连接NM,交A8于点P,此时尸M+PN有最

小值，连接ON,OM,利用垂径定理，求出/MO8=NMOB=60°,进一步求出NNOAT

=90°,在等腰直角三角形NOAT中求出的长度即可.

【解析】解：如图，作点〃关于的对称点连接MW,交AB于点P,此时PM+PN

有最小值，

连接ON,OM,

则OB垂直平分MM,MB1盛，

AZM,OB=ZMOB=60°,

是拆的中点，

AMN=BN.

:./MON=/BON=L/MOB=30°,

2

Z