2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：拓展一异面直线所成角

第07讲拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）

一、知识点归纳

1、（传统法）核心技巧：平移使相交

具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角

2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角

已知b为两异面直线，A，。与8，。分别是4，b上的任意两点，a,b所成的角为。，贝U

①cos〈恁，砺>=竺已

\AC\\BD\

②cos0=|cos<AC,BD>\="叫.

阿•|叫

二、题型精讲

题型01求异面直线所成角（定值）（传统法）

【典例1］（2023春•河北保定•高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体中,

底面ABC。是菱形，/B4D=60。，AA1与底面A3CD垂直，M,N分别在3。和耳鼻上，且BD=3BM,

Bn=3D1N,AB=3,惧=4,则异面直MN与所成角的余弦值为（）

47^/19口7717「3M「3M

A•-----------D•-----------v•-----------u•----------

34341717

【答案】B

【详解】取QM中点K,连接。山、AK,

因为=D\N〃KM,所以四边形RMWK为平行四边形,

所以D\K//MN,所以异面直线MN与A。所成角为/ARK或其补角.

因为底面ABCD是菱形，ZS4D=60°,AB=3,

所以在A4DK中，利用余弦定理得AK=7AD2+DK2-2AD-DK-cos600=百，

又AR=4•+DD；=5,D1K=QKD?+DD；=上,

4nxl+,工npHAn十…ADt~+DXK~—AK~25+17-77A/T7

在AA2K中，利用余弦定理得cos/ARK=-”——=2x5x布=^4~'

所以异面直与AR所成角的余弦值为△叵.

34

故选：B.

【典例2]（2023春•河北张家口•高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体ABC。-A耳G2

中，E为棱3瓦的中点，则异面直线AE与BG夹角的余弦值为（）

A.0B.—C.BD.叵

2310

【答案】D

【详解】取CG中点G,连接，G,EG,延长。2至点H,使得RH=C£,连接C户,

则EG〃用6//42，或7=86=42,所以四边形EG2A是平行四边形，所以AE//RG,

因为RH//C,G,DN=qG,,所以四边形2GGH是平行四边形，所以"CJ/RG,

所以HQ//AE,

所以NHC出是异面直线AtE与BG夹角或其补角，

设正方体棱长为1,则DB=BG=^,

在RtADBH中，BH=<BD。+DH2=Jz+g)=孚，

在RtACQH中，C]〃=JC]ZV+Q|”2=/+=4,

17

2+5一

BC；+GH2-BH2

在△8G5中，由余弦定理得cosN5GH=44

2BGGH

2xV2x—To-

2

所以异面直线AE与g夹角的余弦值为誓

故选:D

【典例3】（2023春•河南开封•高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体A3。-ABGA中，M是A2

的中点，则。片与CM所成角的余弦值为.

【答案】叵金小

1515

【详解】在正方体ABCO-A4GA右侧作出一个全等的正方体BCM-BC禺不连接CJM%如图,

D、

GEi

MB,

易知B\FJ/CD,B\F、=CD,所以四边形耳印第是平行四边形，贝Q耳//C%

所以NMCK是DBX与CM所成角的平面角或补角,

不妨设正方体ABCD-4qGA的棱长为2a,

则在正方体BC£F-耳。］耳片中，CF、=6x2a=2也a,

在RtJWBC中，MC=业+（24）2=氐,

在RtAMFf；中，MK=J（2a『+（3a）?=屈a,

所以。片与CM所成角的余弦值为姮.

故答案为：叵.

15

【变式4（2023春•吉林四平•高一校考阶段练习）在三棱柱ABC-4与和中，平面ABC,AB1BC,

AAl=BC=2AB,则异面直线\B与B{C所成角的余弦值为（）

「后D.叵

V»•--------------

5

【答案】D

【详解】在三棱柱ABC-ABC中，44,，平面A3C,AB1BC,

将三棱柱ABC-A与G补成长方体ABCD-\BXCXDX,设AB=1,则e=BC=2,

因为BC//A。且BC=42,故四边形A3C2为平行四边形，所以，CR//4B且CQ=A2,

故AtB与BtC所成角为4802或其补角，

在AB]C2中，B0=JBB；+BC。=V22+22=20，

22

BR=，4耳+”；=Vl+2=75,CD}=JCD?+DD；=jF+2?=也，

CB；+CD；-BR8+5-5M

由余弦定理可得cosNBCR

2cBi•CD、一2x20x6-5

因此，直线A也与片C所成角的余弦值为典.

5

故选：D.

【变式2]（2023春•河南郑州•高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图，A5是半圆柱底面的

直径，A4是半圆柱的高，C是A3上一点，且B4=AC=BC,。为夫8的中点，则异面直线A。与5C所

成角的余弦值为.

C

【答案】

33

【详解】设R4=AC=3C=1,

如图，取尸C的中点E,连接。E,AE,可得DE//BC,

所以异面直线AD与2C所成的角为—ADE（或其补角）.

又因为总，平面ABC,BCu平面ABC,则上

且AC13C,PAC\AC=A,PA,ACu平面PAC,

所以平面PAC.

且AEu平面PAC,则3C_LAE,所以Z2E_LAE.

因为。后=四=工4。=殁=四三互=且，

22222

所以在Rt^AED中，cosZADE=—=^.

AD3

故答案为：立.

3

C

题型02求异面直线所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2023春•湖北武汉•高二校联考期中）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，上4,底面ABCD,底

面A3CD为正方形，PA=BC,E为。的中点，尸为尸C的中点，则异面直线M与PE所成角的余弦值为

y/3RV3R5A/3n573

9999

【答案】B

如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,尸（0,0,2）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,

则矶1,2,0）,尸（1,1,1）,

所以而=（一1』,1）,而=。,2,-2）,

LlLUlULU广

“I/黑吃'归0-1+2-2V3

所以cos（8F,尸£）二|Utm||UUT|二—尸----二--—,

加以、/网网73x39，

所以，异面直线所与PE所成角的余弦值为走.

9

故选：B.

【典例2］（2023金国•高三专题练习）如图，在三棱锥M-EEG中，ME=VG=EG=2G，£F=FG=2,

平面MEG，平面瓦G,则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（）

M

石

VuTRV3RA/13n

L.----------D•------U•--------U•------

121244

【答案】D

【详解】解法一

如图，设O,C,D分别为线段EG,MG,E尸的中点，连接MO,OC,OO,8则。C〃ME,OC=；ME=6,

OD//FG,OD=-FG=\,

2

NCOD是异面直线ME与尸G所成的角或其补角.

ME=MG=EG=2^3，。为EG的中点，,MOIEG,MO=3,

・平面MEG_L平面EFG,平面MEGc平面EFG=EG,MO_L平面£FG.

设N为OG的中点，连接CN,DN,则NCL平面分G,

NC//MO,NC=-MO=~,EN=正,

222

NC±ND,连接。/，易得OFLEO,^FEO=—=—,

cosEF2

2X1X3^X^-13

在ADEN中DN2=ED2+EN2-2EDxENcosNDEN=12+

224

13911

・,.CD02=DN02+NC29=-+-=—

442

•­•MODS-CD，

2OCxOD2x1X5^4

二异面直线处与FG所成角的余弦值为李

故选:

解法二

如图,FO,

,:ME=MG=EG=2B：.MOLEG,MO=3,

・平面MEG_L平面£FG,平面MEGc平面EFG=EG,二MO_L平面£FG,

VEF=FG=2,FO±EG,FO=1,故以。为坐标原点,

OF,OG,aw所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z,

二£(0,-括,0),M(0,0,3),F(1,0,0),G(0,6,0),.•.前=(0,右,3),彷=(-1,0,0),

EMFG0x(-1)+岛g+3x0

costEM,FG)==3

|瓯,国府+(后+32*,/(-1)2+(^3)2+024

异面直线ME与FG所成角的余弦值为且

4

故选:D.

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）如图，在多面体ABCDEEG中，四边形ABC。为菱形，AB=2,

,一DF

"AB=60。，AE//CG//DF,且。〜平面,小四边形班FG是正方形'则市=;异面直

线AG与DE所成角的余弦值为

【答案】拒

【详解】由四边形ABCD为菱形，ZZMB=60°,可得△ABD为正三角形,

设H为A3的中点，连接DH,所以又OC〃AB,因此DZ/LDC.

又「引上平面A3CD,故以。为原点，以上为x轴，DC为V轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标系,

则£＞（0,0,0）,A（A^-1,0）,2（后1,0）,C（0,2,0）,

由题意AE〃CG〃止，则AE_L平面ABCD,CG_L平面ABCD,

设网6-1,无），G（0,2,y）,从而旃=卜百而=（O,-2,x）,

因为四边形眄G是正方形，所以产卜产］所以NIP+仔+V="2+（-"+尤2,

BGYBE［（-g）x0+lx（-2）+yxx=0

即，'=解得x=y=四，所以耳后T@,G（0,2,⑹，设尸（0,0,z）,

则存=（0,-2,z-何，因为|画=|画，所以J（一后+仔+02=府+（­0）2,所以z=2万,

即尸（0,0,20）,所以而=（0,0,2应），所以箓=D方F=乎3

设异面直线AG与DE所成角为a,又同=卜区3四屁=出-1四,

,一一।\AG-DE\（-V3）X5/3+3X（-1）+72X722面

所以cosa=cosAG,。目=।_=「―/1-'=—7^

|罔义|闻J,（一石」）2+32+（应）2义J（相）2+（—1）2+（&）221

所以异面直线AG与OE所成角的余弦值为2亘.

21

故答案为：V2;巫

21

【变式1］（2023春止海宝山高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示,已知正方体ABC£>-A4GR,

E,产分别是正方形A耳GQ和ADRA的中心，则斯和8所成的角是（）

DiG

A.60°B.45°C.30°D.135°

【答案】B

【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2,则E（l』,2）,F（1,0,1）,0（0,0,0）,C（0,2,0）,

所以访=（0,-1,一1）,5C=（0,2,0）,

\EF-D62%

设E7;1和CD所成的角为a,则cosa=1_।_三=三伍=不

EF-DC2422

【变式2］（2023春•福建莆田•高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD,点V,

N分别在上、下底面圆上，NB=2AN>CM=2MD，AB=2,BC=3,则异面直线AW与CN所成角的

A3屈V3「gn3而

A・-------RD•U•u•----

104520

【答案】D

【详解】方法一如图（1）,在AB上取点E,使AE=2EB，连接M?,AN,NB,BE,EA.

易知四边形AVBE为矩形，则A®〃AE,且A®=AE.

连接〃N,CM.因为VN〃BC,且MV=BC,

所以四边形MN3C为平行四边形，所以。0〃A®,且CA/=NB.

连接CE,则AE〃CM,且AE=CM,

所以四边形AEQ0为平行四边形，则AM〃CE,

所以NNCE或其补角是异面直线40与CN所成的角.

BN=y/3,所以CN=,3?+（退了=2百.

在RtZkBNC中，CB=3

在Rt^BCE中，CB=3,BE=1,所以CE=7?7F=回.又NE=AB=2,

10+12—4

所以cosNNCE=

2xV10x2V320

故选：D.

图⑴图⑵

方法二如图（2）,在AB上取点E，使AE=2EB，连接AN,NB,BE,EA.

易知四边形AVBE为矩形，AN=1,NB=C.连接MN.

由已知条件，得MN为圆柱的一条母线.

以N为坐标原点，分别以直线N3,NA,M0为无轴、丁轴、z轴建立如图（2）的空间直角坐标系Npz,

则N（0,0,0）,A（0,l,0）,M（0,0,3）,C（省,0,3）,

所以丽=（0,—1,3）,而=（若,0,3）,则cos（国觉”而认=考^,

所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为酒.

20

故选：D.

【变式3］（2023春•浙江•高一期中）已知直三棱柱ABC-A由G的侧棱与底面边长都相等，D,尸分

别是和4G的中点，那么异面直线3。和AF所成角的余弦值等于

【答案】木7/0.7

【详解】因为直三棱柱ABC-A用G的侧棱与底面边长都相等，

所以AABC为等边三角形，取A8的中点0,所以COLAS,

因为。为A也的中点，所以OD/MA，

又因为胡，平面A3C,所以ODL平面ABC,

如图，以。为坐标原点，分别以08,0C,所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

因为直三棱柱ABC-A#G的侧棱与底面边长都相等，设AB=2,

则8(1,0,0),A(-1,0,0),0(0,0,2),F(--,—,2),BD=(-1,0,2),AF=(-,—,2),

2222

设异面直线3。和AF所成角为。，

所以c°sd=k°s(加，而)|=||普-=g,

7

即异面直线50和AF所成角的余弦值为伍.

7

故答案为：—.

题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围

【典例1](2023春•江苏•高二校联考阶段练习)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABIGA中，

E是棱CG的中点，而=1而，若异面直线2E和4户所成角的余弦值为哈，则异面直线4户与跖

所成角。的余弦值为（)

eB7A/2D.一逑

A.及

1010i(r10

【答案】B

【详解】如图，以。为原点，分别以DC,所在直线为无，y,z轴，建立空间直角坐标系,

因为正方体的棱长为2,则4（2,0,2）,Di（0,0,2）E(0,2,1),A(2,0,0).

所以屏=(0,2,—1),

又率=石+通=率+AAD=(0,0,-2)+2(-2,0,0)=(-22,0,-2)

所以cos(即，/W,空=2=坐,整理得到9分=1,解得人;(舍去W),

\/园尸10囿2y/A2+lxy/51033

_.___.2

所以BE=(-2,0,l),^F=(--,0,-2),

_.__--2板厂

所以85(2£\4尸)=31COS0=—,

信炉1010

故选：B.

【典例2】（2023春•福建漳州•高二漳州三中校考阶段练习）正方体A3。-4片G0中，E,尸分别

为DC，B用的中点，则异面直线AE与尸C所成角的余弦值为（）

.A/5R4岔R2A/5N2A/5

15151515

【答案】D

【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2,

因为E,尸分别为，C，的中点，易知，4(2,0,0),E(0,1,2),

C(0,2,0),F(2,2,1),所以通=(-2,1,2),CF=(2,0,1),

AECF

所以3＜荏衣＞=275

\AE\-\CF\IF

因为异面直线AE与FC所成角为锐角.

所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为坡.故A,B,C错误.

15

故选：D.

【变式1](2023春•四川成都•高二四川省成都市新都一中校联考期中)如图，将ZA=60。的菱形ABC。

沿对角线3。折起，使得平面人犯，平面C&),则异面直线与C。所成角的余弦值为()

【答案】B

【详解】

如图，取2。中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,

令AB=2,A(A/3,0,0),8(0,1,0),C(0,0,用)，£>(0,-1,0),

则瓶=(-石,1,0),CD=(0,-1,-V3),

cos<AB-C£»=-4-=-y

2x24

..AB,。所成角的余弦值为!.

4

故选：B.

【变式2】（2023秋•浙江宁波•高二统考期末）在四面体A3CD中，AABC为正三角形，DB_L平面ABC,

且AB=8D,若3/=初，2CF=CD,则异面直线DE和郎所成角的余弦值等于（）

4A/26RA/26R2A/39n2回

13133939

【答案】A

【详解】因为平面ABC,AA6C为正三角形，

故以8为原点，以团，丽为％z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设A3=6,则。（0,0,6）,C（0,6,0）,A（3若,3,0）,8（0,0,0）,

由=Z再，2CF=CD,

所以诙=（2石,2,-6）,丽=（0,3,3）,

/T^RF\DEBF-12V26

所以c°s（诚S=同研=可—一百，

所以异面直线DE和BF所成角的余弦值等于叵.

13

故选：A.

题型04求异面直线所成角（最值或范围）

【典例1】（2023•辽宁大连•校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿

基米德体.如图，这是一个棱数为24,棱长为近的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，

可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段8c上的动点，则直线DE与直线AF所

成角的余弦值的取值范围为（）

【答案】C

【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

z.

因为半正多面体的棱长为0,故正方体的棱长为2.

所以4(2,1,0)/(2,2,1),B(l,0,2),C(0,l,2),L>(l,2,2),AF=(0,Xl),BC=(-l,l,0).

设而=4觉=则E(l—/l,42),读=(一4力一2,0).

AFDE("2)2_1

所以cos(衣,下)=2()

|AF||DE|&〃2+(__2j2(2-2)+22-2+2~~21+^-+—

2-2("2)2

令—e-1,-^,贝［］COS^AGDE)=.=,

A-2L2j'/242产+2/+1

因为2/+2/+le—,1,所以cos(AF,e-,

故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为、，等］

故选：C

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)如图，在长方体A3CO-ABG2中，£是4月的中点，点厂是

AD上一点,AB=AA}=2,BC=3,AF=1,动点P在上底面A耳GQ上，且满足三棱锥P-3成的体积等

于1,则直线CP与。，所成角的正切值的最小值为.

D____________G

/{\/\

AB

【答案】专

【详解】解：以。为坐标原点，分别以DC,DR所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

P(m,n,2)(0<m<3,0<n<2),则P(2,0,0),矶3,0,1),3(320),C(0,2,0),'(0,0,2),

FB=(1,2,G),FE=(1,0,1),CP=(m,n-2,2),DDX=(0,0,2),

设平面BFE的法向量为a=(x,y,z)

.[a-FB=x+2y=0.,

则n《一，令x=2,n则z=-2,y=-l,

[a-FE^x+z=0

所以平面ME的一个法向量值=(2,-1,-2)

因为丽=(m-3,〃,l),

所以点P到平面BFE的距离d=尸H=*8一4,

间3

因为EF=JF+F=RBF=BE7fs=5

所以在等腰△BEE中，8到FE的高为有j-[

所以SBFE=­XV2X3拆=—

aSF£222

113

因为%-8也=3*5"稗'“=§乂5*4=1,

所以2加一〃二2或2根一〃=14（舍去），

JT

设直线CP与。2所成的角为。，则0,-

CPDD,4

所以COS夕=_=---,==

CP||D^|2xJ加2+(〃-2)2+4

_________2_________2_2<下

yjm2+(2m-4)2+4V5m2-16m+20J5m81।363,

所以cos。的最大值为逝，此时夕最小，此时tan。最小，

3

TT2

因为sin?e+cos?。=1,且。£0,—,所以sin6=§,

—2/-

所以tan，=京=一，即直线cP与。R所成角的正切值的最小值为竽，

故答案为：竿

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）已知正四面体内接于半径为双的球。中，在平面BCD

2

内有一动点尸，且满足AP=4后，则忸H的最小值是;直线AP与直线8C所成角的取值范围为

【答案】2若-2点

【详解】在正四面体A-3CZ）中，设A在面3CD内的投影为E,故E为三角形BCD的中心,

设正四面体A-3CD的棱长为x,球。的半径为R,

则BE=MXX®=叵,AE7ABz一BE。=

323

依题意正四面体A-3CD内接于半径为双的球。中，故球心。在AE上,

2

设球的半径为民则R2=BE2+（AE-R>,

即)2+,解得x=6，x=0（舍去），

贝=AE=2A/6,

又4尸=4A/2,.-.PE=』AP。-AE。=小⑷6丫-（2府=2A/2，

故尸的轨迹为平面BCD内以E为圆心，2夜为半径的圆，

而BE=26,当民尸,E三点共线时，且P在8,E之间时，忸P|最小，最小值是26-2收；

以E为圆心，BE所在直线为x轴，在底面A3C内过点E作BE的垂线为y轴，E4为z轴，建立如图所示直

角坐标系，

则A（0,0,2店）,BQ拒,0,0）,C（-拒,3,0）,D（-百，一3,0）,

设尸（2行COS0,25/2sin9,0）,6»G[0,27t）,

故衣=（2A/2COS9,2A/2sin仇-2扃,BC=（-3后3,0）,

设直线AP与直线BC所成角为a,ai[0,"],

APBC-6^6cos0+6^sin61./ZI兀、

,/cos(APBC)=>—>=------T=---------=-sin(，--),

\AP\\BC\4V02xx6623

因为何0,2%），故嗯引4苧，故gsin（"$c

717171

又故cosaw0,—故ae

ae0,-3,2

故答案为：2>/.

【变式1]（2023春•江苏南京•高二校考开学考试）如图，四边形ABCD中，

兀57r

AB=BD=DA=2,BC=CD=y/2.现将△ABD沿折起，当二面角A—BD—C处于过程中，直

OO

线AD与3C所成角的余弦值取值范围是（）

一近572

B-丁'二C.邛

【答案】D

【详解】设向量亚与初所成角为4,二面角A-双）-C的平面角大小为％,

7T

因为8c2+C£)2=BO2,所以3CLCD,又BC=CD,所以NBDC=NDBC=—,

4

AD-DB=2x2xcos-=-2,BD-BC=2xy/2xcos^=-2,

贝而+砺+就，

所以|衣/4布+丽+//=亚2+加+/+2ADDB+2ADBC+2DBBC=2+4^2cos0l,

取BD中点E,连接A£,CE,则AELBACELB。，ZAEC=02,

AE=5CE=I,

22

在△AEC中，AC=AE+CE--1AECE-cos02,即AC。=4_2gcosq,

所以2+40cosq=4-26cosq,即cos4=/一手cos%，

又因为名已~7,~7~,所以cos，e，

_OOJoo

71

因为直线夹角范围为0,-,所以直线AD与5c所成角的余弦值范围是

故选：D.

【变式2］（2023•湖南衡阳•校考模拟预测）如图所示，正方体A3C。-AgGR中，点。为底面ABCD

的中心，点尸在侧面BCG4的边界及其内部移动，若ROLOP,则异面直线口尸与AB所成角的余弦值

的最大值为（）

A.|B.立C.叵D.逅

3233

【答案】C

【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

A(2,0,0),5(2,2,0),Dj(0,0,2),0(1,1,0),取=(1,1,-2),AB=(0,2,0)

设P(a,2,b),4be[0,2],因为*.痂=0,OP=(a-l,l,b)

所以。―1+1-26=0,。=26,则尸(2瓦2,6)

在侧面AR。区内取一点Q,使得QP//AB,则Q(26,0/)

易知三角形2。尸为直角三角形，则卜°s(印，码|=辰(/，西)|=岗

\QP\=2,D^P=(2仇2,6-2),叩=""+4+>?+4-4匕=45〃-41+8

-4424236

设〉=582-4/7+8,对称轴为匕=-----=一=一，贝1yin=5x------4x-+8=-

2x5105mran2555

町(cos(取，荏力=4=正王

即I\1//a§663

行

故选:C

【变式3】（2023•全国•高三专题练习）三棱锥P-ABC中，尸A,尸氏尸C两两垂直，PA=PB=PC=&,

点M为平面ABC内的动点，且满足尸知=6,记直线PM与直线45的所成角的余弦值的取值范围为

【答案】

【详解】因为尸APB,PC两两垂直，且R4=PB=PC,所以由勾股定理可知AB=AC=3C,

所以三棱锥为正三棱锥，记P在底面ABC内的投影为0,

所以AB=AC=3C=力^+於=26，

AR_________

因为AOCOS3（T=7-,所以A0=2,所以po=1"2_Ad1=叵，

因为PM=6，所以OM=JPM?-OP2=1，所以"的轨迹是以。为圆心半径为1的圆,

取A3中点O,连接8,可知8经过点O,建立如下图所示的空间直角坐标系：

设Af（cosa,sine,。），ae[0,2n],4（1,一6,0）,3（1,百,0）,尸（0,0,应卜

所以而=（cosa,sina,-0）,AB=（0,2百,0）,

所以cos（加，国”黑詈Musina,

设直线PM与直线AB的所成角为仇

故答案为：。，当

题型05已知线线角求参数

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱柱ABCD-4耳GA中，明，底面ABCD,且底

面A3CD为菱形，M=3,Afi=2,ZABC=n0°,尸为3C的中点，M在上，。在平面A3CD内运

动（不与尸重合），且P。4平面相C。，异面直线PQ与片M所成角的余弦值为手，贝（JtanZAQ”的最

大

值为.

【答案】手46

【详解】连接30交AC于点。，••・A4,，平面ABCD,平面ABCD,贝

因为四边形ABCD为菱形，则3D，AC,

•.•A41nAe=A,AA、4。匚平面的弓（?,.1即，平面惧6（?,

以点0为坐标原点，OA，OB.画的方向分别为x、八z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则A(Mo,o)、4(石,0,3)、4一点0,0)、8(0,1,0)、0(0,—1,0)、P-孝],0、4(0,1,3),

\7

易知平面A41GC的一个法向量为正=（0,1,0）,

因为尸。1平面A41c/，所以，PQHm,

设点M（若,0j）,其中0W/W3,贝|瓯=（石,一11-3卜

l^jM-ml]

由已知可得卜os〈瓦忆沅〉卜

|W|'|^|^3+1+(?-3)25

因为0WK3,解得r=2,即点M（6,o,2卜

―(/?[)

设点。(x,y,o),贝1」①=x+^-,y--,Q,

\22)

因为尸。〃机，则尤+^^=0,可得x=—J3.y~~0,可得、片彳，

2222

所以，点°［一旁,%。］,

I?

因为工平面ABCD,AQ、AMLAQ,

\2

且国=+八正,

一*石2

7

AM2,24A/3

匚0..tan--«—尸—

所以，AQAQ3>/39-

2

故答案为：乎

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面ABCD,且四边

形ABCZ）为直角梯形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=2,AB=BC=1.

2

(1)求平面R4B与平面PCD所成锐二面角的余弦值；

(2)点。是线段8尸上的动点，当直线CQ与。尸所成的角最小时，求线段的长.

【答案】(1)—(2)递

35

【详解】试题分析：以｛:而，历,工司为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A4z,则各点的坐标为

5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)因为平面所以而是平面P4B的一个法向量，ID=|O=25O|.

因为定=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).

设平面PCD的法向量为加=(x,y,z),则m-PC=0,m-PD=0,

x+y-2z=0t

即｛Gc八，令y=i,解得z=s=L

2y-2z=0

所以机=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量，从而cos(AD,Tri)==与

所以平面与平面PC。所成二面角的余弦值为3.

3

(2)因为丽=(-1,0,2),l^BQ=ABP=(-A,0,2A)(0<2<1),

又丽=(0,-1,0),贝U西=而+苑=(-4-1,22),

又加=(0,-