初中数学“手拉手”模型-共顶点的等腰三角形压轴题三种题型及答案

模型构建专题:“手拉手”模型

确

'ni：【考点导航】

目录

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

【类型二共顶点的等腰直角三角形】

【类型三共顶点的一般等腰三角形】

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

方法点拨如图，A4BC和为等边三角形，则

根据SASRj^AACD^ABCE,ZAOB=60°,AMCN

为等边三角形.

网］1(2023•全国•八年级假期作业)如图所示,A4BC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线

上，连接BD交AC于连接CE交40于N,连接上W.

⑴求证：BD=CE；

(2)求证：AABM^/\ACN；

(3)求证：△⑷WN是等边三角形.

【变式训练】

题目工(2023春・山西运城•八年级统考期中)如图，点。为线段AB上一点,4DAC、AECB都是等边三角

形，AE、。。交于点交于点N,DB、AE交于点P,连接7WN,下列说法正确的个数有

个.

①MN//AB；②4DPM=60°；③NDAP=APEC；④△ACMWNDCN；⑤若4DBE=30°,则ZAEB=

90°.•M

题目囱（2023秋•四川凉山•八年级统考期末）如图，。为线段AE上一动点（不与点4E重合），在同侧

分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点。，AD与8。交于点P,BE与CD交于点Q,连结

PQ.

求证：（1）AD=BE；

（2）4CFQ为等边三角形;

题目叵〕（2021春.广东佛山.八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b（a>6）的两个等边三角形纸

片ABC和三角形CDE叠放在一起（。与。'重合）的图形.

（1）将4CDE绕点。按顺时针方向旋转30°，连接AD,BE.如图2：在图2中，线段BE与4D之间具有怎

样的大小关系？证明你的结论；

⑵若将上图中的△CDE,绕点。按顺时针方向任意旋转一个角度a,连接AD、BE,如图3：在图3中，线

段BE与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：

（3）根据上面的操作过程，请你猜想当a为多少度时，线段AD的长度最大,最大是多少？当a为多少度时,

线段入。的长度最小,最小是多少？请直接写出答案.

题目@（2023春・广东梅州•七年级校考期末）【初步感知】

（1）如图1,已知A4BC为等边三角形,点D为边BO上一动点（点。不与点点。重合）.以AD为边向

右侧作等边AADE,连接CE.求证：AABD空AACE；

【类比探究】

（2）如图2,若点。在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同,猜想并证明：

①AB与CE的位置关系为:；

②线段EC、AC、CD之间的数量关系为:；

【拓展应用】

（3）如图3,在等边AABC中，4B=3,点P是边AC上一定点且4P=L若点。为射线BC上动点，以OP

为边向右侧作等边ADPE,连接CE、BE.请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值;若

没有,请说明理由.

【类型二共顶点的等腰直角三角形】

方法点拨‘如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三

角形，则根据SAS可得△BCETZ\ACD.

的1（2023春・湖北黄冈•八年级统考期中）如图，ZVIBC和△£＞无都是等腰直角三角形，4ACB=NDCE=

90°.

（1）【猜想】:如图1,点E在BCk,点。在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是

（2）【探究】:把绕点。旋转到如图2的位置，连接AO,BE,（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）【拓展】:把△OCE绕点。在平面内自由旋转，若5,CE=22，当三点在同一直线上

时，则AE的长是.

【变式训练】

题目［］（2023•全国•九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC和。EC中，/BCA=/DCE=90°,点

E在边4B上，ED与力。交于点F,连接AD.

•M

A

（1）求证：ABCE^AACD；

（2）求证：AB±AD.

题目句（2023春•八年级课时练习）⑴问题发现:如图与△CDE均为等腰直角三角形，乙4CB=

（2）深入探究:在⑴的条件下，若点A,E,。在同一直线上，CM为/\DCE中DE边上的高,请判断NADB

的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系，并说明理由.

版目回（2023•山东枣庄・统考二模）感知:如图①，△48。和△4DE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE

=90°,点B在线段AD上，点。在线段AE上，我们很容易得到=不需证明.

⑴探究:如图②，将△ADE绕点力逆时针旋转a（0<a<90°）,连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成

立？若成立，写出证明过程;若不成立，说明理由.

（2）应用：如图③，当△4DE绕点A逆时针旋转,使得点。落在BC的延长线上，连接CE.求：

①/力CE的度数；

②若AB=AC=32,CD=3,则线段DE的长是多少？

【类型三共顶点的一般等腰三角形】

如图，△ABC和ADEC是等腰三角形，且

ZACB=ZDCE，根据SAS可得△ACD/z\BCE.

曲［（2023春,山东泰安•七年级校考开学考试）如图，△48。与△CDE都是等腰三角形，AC=BC,CD=

CE,2ACB=NDCE=42°,A。、BE相交于点”.

（1）试说明：AD=BE；

（2）求乙4MB的度数.

【变式训练】

［题目Tj（2023秋・辽宁抚顺・八年级统考期末）如图，已知AABC中,AB^AC^BC.分别以AB.AC为腰

在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD.等腰三角形ACE,连接CD、BE.

⑴如图1,当ABAD=ACAE=60°时，

①△ABD、&ACE的形状是；

②求证：BE=DC.

（2）若/BAD=2CAE手60°,

①如图2,当AB=AD,时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；

②如图3,当AB=DB,AC=E。时，跳;是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由.

题目0（2023秋•全国•八年级专题练习）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”,

我们称这两个顶角为“同源角”.如图，△ABC和△CDE为“同源三角形"，CD=CE,AACB

与/OCE为“同源角”.

A

(1)如图1,△ABC和4CDE为“同源三角形”,试判断AD与BE的数量关系，并说明理由.

⑵如图2,若“同源三角形"△ABC和△CDE上的点B,。在同一条直线上，且90°,则AEMD

⑶如图3,AABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时,分别取AD,BE的中点Q,P,

连接CP,CQ,PQ,试说明△FCQ是等腰直角三角形.

题目§(2023春・辽宁丹东•七年级统考期末)

图1图2图3

(1)如图1,两个等腰三角形AABC和4ADE中，48=AC,AD=AE,ABAC=/DAE,连接BD,CE.

则丝，此时线段BD和线段CE的数量关系式；

⑵如图2,两个等腰直角三角形△48。和AADE中，AB=AC,A。=AE,ABAC=/DAE=90°,连接

BD,CE,两线交于点P,请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；

⑶如图3,分别以△48。的两边4B,AC为边向△ABC外作等边4ABD和等边4ACE,连接BE,CD,

两线交于点P请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及2PBe+NPCB的度数.

模型构建专题:“手拉手”模型

'hl【考点导航】

目录

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

【类型二共顶点的等腰直角三角形】

【类型三共顶点的一般等腰三角形】

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

方法点拨如图，A4BC和为等边三角形，则

根据SASRj^AACD^ABCE,ZAOB=60°,AMCN

为等边三角形.

网］1(2023•全国•八年级假期作业)如图所示,A4BC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线

上，连接BD交AC于连接CE交40于N,连接上W.

⑴求证：BD=CE；

(2)求证：/XABM名/\ACN；

(3)求证：△A7WN是等边三角形.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC,AD^AE,进一步求证/B4D=

ACAE,从而△ABD笃^ACE(SAS)，所以BD=CE.

⑵由⑴知AABD笃4ACE,得NABM=4CAN，由点B、4、右共线，得ZCAN=60°=ABAC,进一步

•••

求[正&ABM^^ACN（ASA）.

（3）由△ARWWA4CW,得4M=4V,而/CAN=60°,所以△AW是等边三角形.

【详解】（1）△ABC和AADE都是等边三角形，

：.AB^AC,AD^AE,/BAG=/DAB=60°,

AABAD=/CAE.

（AB=AC

在△ABD和△ACE中,《ABAD=ZCAE

[AD^AE

：.&ABD笃△ACE（SAS）,

：.BD=CE.

（2）由⑴知△ABDW△ACE,

NABM=AACN.

•.•点5、A、E在同一直线上，且乙氏4C=/DAE=60°,

A4CAN=60Q^ABAC.

（ZBAM=/1CAN

在AARM_和4ACN中，（AB=AC

[AABM=2ACN

：.^ACN（ASA）.

（3）由（2）知△ABM笃AACN,

：.AM^AN,

,:乙CAN=60°,

AA4AW是等边三角形.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相

等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键.

【变式训练】

题目工（2023春・山西运城•八年级统考期中）如图，点C为线段AB上一点,ADAC.ASCS都是等边三角

形，AE.DC交于点、M,DB、EC交于点N,DB、AE交于点P,连接AW,下列说法正确的个数有

个.

①MN//AB；②ZDPM=60°；③/DAP=APEC；④△ACM空4DCN；⑤若ADBE=30°,则AAEB=

90°.

【答案】①②③④⑤

【分析】根据等边三角形的性质得到47=CD,BC=CE,/ACD=/BCE=60°,得到NACE=NBCE,

ADCE=60°,根据平行线的判定定理得到A。〃CE,根据平行线的性质得到/DAP=/PEC,故③正确；

根据全等三角形的性质得到ZCAE=Z.CDB,根据三角形的内角和得至UZDPM=ZACM=60°,故②正

确，推出△ACM空4DCN，故④正确；根据全等三角形的性质得到CM=C7V,得到/\CMN是等边三角形,

求得ACMN=60°,根据平行线的判定定理得到MN//AB,故①正确；根据三角形的内角和得到AAEB=

90°.故⑤正确.

【详解】解：•••△。47、△6。8都是等边三角形，

AC=CD,BC=CE,乙4co=/BGE=60°,

ZADC=ZDCE=60°,

NACE=ZBCD,ZDCE=60°,

.­.AD//CE,

ZDAP=APEC,故③正确；

（AC=CD

在AACE与ABCD中,{2ACE=NBCD,

[CE=CB

：.△ACE笃△BCD（SAS）,

ANCAE=2CDB,

•：ZPMD=ZAMC,

：.乙DPM=NACM=60°,故②正确，

CAM=ZCDN

在△ACM与4前中，（AC=CD,

[AACM=4DCN=60°

/\ACM^ADCTV,故④正确；

：.CM=CN,

：.△CMV是等边三角形，

NCMN=60°,

ZCMN=AACD,

.••2W〃人B,故①正确；

ADBE=30°,Z.BPE=AAPD=60°,

AZAEB=90°.故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的

判定和性质是解题的关键.

题目区（2023秋•四川凉山•八年级统考期末）如图，。为线段AE上一动点（不与点4E重合），在AE同侧

分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结

PQ.

求证：⑴AD=BE；

（2）Z\CPQ为等边三角形；

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）由等边三角形的性质可知4C=BC,CD=CE,乙4cB=/DCE=60°,从而可求出NACD=

Z.BCE,即可利用“SAS^证明△40。W△BEC,即得出AD=BE;•M

(2)由等边三角形的性质可知乙4c8=/DC£=60°,即可求证乙4cp=/BCQ=60°.再根据

/XADC卫ABEC可得出ACAP=ZCBQ,利用“AS4'证明△APC空△BQC,据此即可证明结论成立.

【详解】⑴证明：•••△4BC和石都是等边三角形，

AAC=BCfCD=CEf乙4cB=/。无=60°,

・・•ZACD=ZACB+/BCD,ZBCE=ZDCE+/BCD,

・•・/ACD=/BCE,

(AC=BC

：AAACD=ABCE,

[CD=CE

：./XADC^NBEC(SAS),

:.AD—BE;

(2)证明：・・・4ABC和ACDE是等边三角形，

・・.Z.ACB=Z.DCE=60°,AC=BC,

：.ZBCQ=180°-AACP-/-ECD=60°,

・・・乙4cp=NBOQ=60°.

・・・/XADC^/^BEC

：.ZCAP=ACBQ.

(ZCAP=ZCBQ

：AAC=BC

[AACP=ABCQ

・・・XAPC咨NBQC{ASA).

:・CP=CQ,

又・・•ZFCQ=60°,

・・.△CPQ为等边三角形.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握全等三角形的判定条件是解题

关键.

题目区(2021春•广东佛山•八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸

片ABC和三角形C'DE叠放在一起(。与C'重合)的图形.

(1)将/\C'DE绕点。按顺时针方向旋转30°,连接AD,BE.如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎

样的大小关系？证明你的结论；

⑵若将上图中的△。。瓦绕点。按顺时针方向任意旋转一个角度连接40、BE,如图3：在图3中，线

段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：

(3)根据上面的操作过程,请你猜想当a为多少度时，线段的长度最大,最大是多少？当a为多少度时,

线段AO的长度最小,最小是多少？请直接写出答案.

【答案】(1)BE=AD,证明见解析•M

（2）BE=AD,证明见解析

（3）当a为180度时，线段的长度最大，最大值为a+b;当a为。度或360度时，线段AD的长度最小，最

小值为a—b.

【分析】（1）先由等边三角形判断出AC=BC,CB=CD,再由旋转判断出进而判断出

△BCEW,即可得出结论；

（2）同（1）的方法，即可得出结论；

⑶当点。在AC的延长线上时，最大，最大值为a+b,当点。在线段AC上时，AD最小，最小值为a

—b,即可得出结论.

【详解】⑴解：BE=AD

证明：♦.•点。与G重合，△ABC和△GDE,

：.△ABC和△CDE都是等边三角形，

AC=BC,CE=CD,

由旋转知，ZBCE=ZACD=30°,

（BC^AC

在ABCE和/\ACD中，（ZBCE=AACD,

（CE=CD

：.△BCE空AACD（SAS）,

BE=AD,

（2）解：BE=AD,

证明：AABC和△CDE都是等边三角形，

AC=BC,CE=CD,

由旋转知，NBCE=NACD,

（BC=AC

在4BCE和AACD中，（ABCE=NACD,

（CE=CD

：.ABCE笃AACD（SAS）,

BE=AD;

⑶解：当点。在AC的延长线上时，AD最大，最大值为AC+CD=a+b,如图，

当a为180度时，线段40的长度最大，最大值为a+b,

当点。在线段AC上时，AD最小，最小值为AC-CD=a—6,如图，

•M

A

：.当a为0度或360度时，线段AD的长度最小，最小值为a—6.

【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出ABCE空

△ACD是解本题的关键.

题目④（2023春・广东梅州•七年级校考期末）【初步感知】

（1）如图1,已知△ABC为等边三角形,点D为边BC上一动点（点。不与点B,点。重合）.以AD为边向

右侧作等边AADE,连接CE.求证：

【类比探究】

（2）如图2,若点。在边BC的延长线上,随着动点D的运动位置不同,猜想并证明：

①与CE的位置关系为:；

②线段EC、AC、CD之间的数量关系为:；

【拓展应用】

（3）如图3,在等边ZV1BC中，AB=3,点P是边47上一定点且AP=L若点。为射线上动点，以。P

为边向右侧作等边ADPE,连接CE、BE.请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值;若

没有,请说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）平行EC=AC+CD

⑶有最小值，5

【分析】（1）由AABC和AADE是等边三角形，推出AB^AC,AD=AE,4氏4。=/ZX4E=60°,又因为

ABAC=/DAE,则ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,即ABAD=/CAE，从而利用“SAS”证明

AABD咨RACE;

⑵①由（1）得AABD笃△ACE（SAS）,得出/B=/ACE=60°,CE=BD,/BAG=/ACE,则AB//CE-,

②因为CE=BD,AC=BC,所以GE=BO=BC+C»=AC+CD;

⑶在BC上取一点M,使得DM=PC,连接EM,可证AEPC空AEDM（SAS）,EC=EM,求得NCEM=

60°,得出ACEA!是等边三角形，则/ECD=60°,即点E在乙4co角平分线上运动，在射线CD上截取W

=CP,当点E与点。重合时，BE+PE=BE+PE>B户=5,进而解答此题.

【详解】（1）证明：；AABC和^ADE是等边三角形，

：.AB^AC,AD^AE,

ZBAC=ZDAB=60°,

ABAC=ADAE,

ABAC-NDAC=ZDAE-ADAC

即NBAD=NCAE

(AB=AC

在'ABD和kACE中,(/.BAD=/CAE,

[AD^AE

：.^ABD空^ACE(SAS);

⑵平行，EC=AC+CD,理由如下：

由(1)得^ABD空^ACE{SAS),

ZB=ZACE=60°,CE=BD,

：.ZBAC=AACE,

：.AB//CE,

•：CE=BD,AC=BC,

:.CE=BD=BC+CD=AC+CD;

⑶有最小值，理由如下：

如图，在射线BC上取一点河，使得DM=PC,连接EM,

AAB。和^DPE是等边三角形，

PE=ED,ADEP=AACB=60°,

AAACD=180°-AACB=180°-60°=120°,

2ACD+ADEP=120°+60°=180°,

由三角形内角和为180°,可知：NPCE+NCEP+NEPC=180°,NECD+ZCDE+NCED=180°,

：.NPCE+NCEP+NEPC+4ECD+ACDE+ACED=360°,

又2PCE+AECD+ZCEP+NCED=AACD+ZDEP=180°,

ZEPC+NCDE=360°-180°=180°,

•/ZEDM+2CDE=180°,

NEPC=AEDM,

[PE=ED

在kEPC和&EDM中，AEPC=ZEDM,

[PC=DM

NEPC咨kEDM(SAS),

EC=EM,/PEC=ADEM,

•/APEC+ACED=ZDEP=60°,

2CEM=/LDEM+NCED=60°,

：.△CEM是等边三角形，

ZECD=60°,ZACE=180°一/ECD—AACB=180°-60°-60°=60°,

即点E在AACD的角平分线上运动，

在射线CD上截取CP=CP,连接EP,

(PC=P'C

在ACEP和XCEP中，(4PCE=4PCE=60°,

(CE=CE

bCEP空△CEP(SAS),

:.PE=PE,

7

则BE+PE=BE+PE,

由三角形三边关系可知，BE+PE>BP'，

即当点E与点。重合，BE+户E=B户时，PE+BE有最小值BP',

•.•BP=BE+GT=BC+CP=3+2=5,

:.BE+PE=BE+PE>BP=5,

.•.BE+PE最小值为5.

【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握

相关图形的性质定理是解题的关键.

【类型二共顶点的等腰直角三角形】

方法点拨'如图，ZSASC和△DCE均为等腰直角三

角形，则根据SAS可得△BCET4ACD.

的］(2023春・湖北黄冈•八年级统考期中)如图，ZVIB。和△OCE都是等腰直角三角形，4ACB=2DCE=

90°.

(1)【猜想】:如图1,点石在BC上，点。在AC上，线段BE与的数量关系是，位置关系是

⑵【探究】:把△ZX®绕点。旋转到如图2的位置，连接AD,BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)【拓展】:把△DCE绕点。在平面内自由旋转，若AC=5,侬=22,当44。三点在同一直线上

时，则AE的长是.

【答案】(1)BE=AD,BEYAD

(2)成立，理由见解析

(3)1+2或低一2

【分析】⑴利用等腰直角三角形的性质得出再作差，得出=再用=

90°,即可得出结论；

(2)先由旋转的旋转得出/BCE=zS4CD,进而判断出△BCEWA4CD(SAS),得出BE=AD,ZCAD=

ACBE,AC与BE交于M,AO与BE交于N,利用全等的性质和对顶角相等进而得出AMAN+AAMN

=90°,即可得出结论；

（3）分两种情况,①当点E在线段AD上时，如图3,过点。作C7W_L49于河，求出CW=EM=^DE=

2,再用勾股定理求出AM,利用线段的加减即可得出结论；

②当点。在线段上时，如图4,过点。作C7V_L于N,求出CM=EM=/DE=2,再由勾股定理

求出根据勾股定理得，AN,利用线段的加减即可得出结论.

【详解】（1）•••△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

AC=BC,EC=DC,

AAC—DC=BC—EC,

:.BE—AD,

点石在反7上，点。在上，且乙4cB=90°,

：.BEA.AD,

故：BE=AD,BE上AD;

（2）成立；

如图2,AC与BE交于M,AD与BE交于N,

由题意可知：

2ACB=/DCE=90°,

：.AACB+NACE=ADCE+ACE,

：.ZBCE=ZACD,

（BC=AC

在NBCE与4ACD中：（NBCE=乙4co

\CE=CD

图2

：.△BCE空△AGO（SAS）,

BE=AD,ACAD=ACBE,

又•/ZACB=90°,ZBMC=AAMN,

在△㈤W中，

AMAN+AAMN=ACBE+ABMC=90°,

ZANM=90°,

：.BE±AD,

所以结论成立；

（3）①当点E在线段4D上时，如图3,过点。作CM,4D于河,

•.•△。叱是等腰直南三角形，且尊=22，

:.DE=dCE2+CD2=4,

•：CM±AD,

:.CM=EM=gDE=2,

在AtAACTW'中，AC=5,

AM=y/AC2-CM2=V52-22=V21,

图3

：.AE=AM-EM=V21—2;

②当点。在线段AE上时，如图4,过点。作CNA.AE于N,

■：ADCE是等腰直角三角形，且无=22，

/.DE=y/CE2+CD2=4,

•：CN±AD,

:.CN=NE=《DE=2,

在AtAACTV中，AC=5,

AN=y/AC2-CN2=V52-22=V21,

:.AE=AN+NE=V^i+2,

综上,AE的长为V21—2或V21+2,

故答案为：V21—2或V21+2.

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，图4

全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键.

【变式训练】

题目①（2023•全国•九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形48。和。EC中，/BCA=ZDCE=90°,点

E在边AB上，ED与力。交于点F,连接AD.

（1）求证：ABCE空△ACD；

（2）求证：ABYAD.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据NBCA=/DCE=90°,可得ABCE=乙4CD,再由等腰直角三角形的性质可得BC=AC,

=C。，可证明△BCE空ZVICD,即可求证；

（2）根据ABCE经AACD，可得,从而得到ZCAD+ZCAE=90°,即可求证.

【详解】（1）证明：；NBCA=NDCE=90°,

：.NBCE+AECA=NECA+Z.ACD=90°,

NBCE=NACD,

•：△48。和△DEC是等腰直角三角形，

：.BC=AC,CE=CD,

（BC^AC

在4BCE和AACD中,《ZBCE=AACD,

[CE=CD

：.ABCE名/\ACD（SAS）;

（2）证明：；ABCE空A4CD,

NB=NCAD,

ZACB=90°,

：.ZB+/CAE=90°,

/CAD+/CAE=90°,

即/。4E=90°,

：.AB±AD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和

性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键.

题目巨（2023春•八年级课时练习）⑴问题发现:如图1,与△CDE均为等腰直角三角形，乙4cB=

（2）深入探究:在⑴的条件下，若点A,E,。在同一直线上，CM为ADCE中DE边上的高,请判断NADB

的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）AE=BD,AE±BD;（2）/ADB=90°,AD=2CM+BD;理由见解析

【分析】（1）延长AE交BD于点H,AH■交8。于点。只要证明XACEW^BCD（SAS），即可解决问题:

（2）由AACE空ABCD,结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题.

【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H,■交BC于点。，

/\ACB和ADCE均为等腰直角三角形，AACB=ZDCE=90°,

AC=BC,CD=CE,

：.ZACE+ZECB=2BCD+4ECB=90°,

/ACE=/BCD,

/\ACE空ABCD（SAS）,

：.AE=BD,NCAE=4CBD,

ZCAE+ZAOC=90°,ZAOC=ZBOH,

：.NBOH+NCBD=90°,

：./AHB=90°,

二AELBD.

故答案为:AE=BD,AELBD.

（2）ZADB=90°,AD^2CM+BD-,

理由如下：如图2中，

•//\ACB和^JDCE均为等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,

:"CDE=NCED=45°,

：.NAEC=180°一/CED=135°,

由（1）可知：/\ACE乌4BCD,

AE=BD,2BDC=NAEC=135°,

NADB=Z.BDC-2CDE=135°-45°=90°;

在等腰直角三角形。CE中，CM为斜边DE上的高，

：.CM=DM=ME,

DM=2cM,

：.AD=DE+AE=21CM+BD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等

三角形解决问题.

题目可（2023.山东枣庄.统考二模）感知:如图①，△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，/A4C=/D4£；

11

=90°,点B在线段AD上，点。在线段AE上，我们很容易得到=CE,不需证明.

⑴探究:如图②，将4ADE绕点、A逆时针旋转«（0<«<90°）,连接5。和CE,此时RD=CE是否依然成

立？若成立，写出证明过程;若不成立，说明理由.

（2）应用：如图③，当△4DE绕点A逆时针旋转,使得点D落在BC的延长线上，连接CE.求：

①/ACE的度数；

②若48=47=3，^,CD=3,则线段DE的长是多少？

【答案】（1）BD=CE成立，证明见解析

（2）①45°②3/W

【分析】（1）只需要利用SAS证明/\ABDWAACE即可证明BD=CE;

（2）①由等腰直角三角形的性质得到AABC=AACB=45°,再证明AABD笃/\ACE即可得到NABD=

NACE=45°;②先由勾股定理得到BC=6,由全等三角形的性质得到NACE=AABD=45°,BD=CE,

则ZBCE=90°,CE=9;则DE=VCE2+C£>2=3V10.

【详解】（1）解：BD=CE成立，证明如下：

AABC和都是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD=AE,

由旋转的性质可得/BAD=ZCAE,

AABD空AACE（SAS）,

:.BD=CE;

⑵解:①ZVIBC和△4DE都是等腰直角三角形，

NABC=AACB=45°,ABAC=ADAE=90°,

NBAD=NCAE,

AB=AC,ABAD=CAE,AD=AE,

：.AABD笃LACE（SAS）,

/ABD=/ACE=45°;

②—4。=3仅

BC=y/AB2+AC2=6,

•/^ACE^/XABD,

NACE=NABD=45°,BD=CE,

：.ABCE=AACB+AACE=90°,CE=BD=BC+CD=6+3=9;

DE=VCE2+CD2=A/92+32=3V10.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的

性质与判定条件是解题的关键.

【类型三共顶点的一加腰三角形】

如图，△ABC和ADEC是等腰三角形，且

曲［（2023春,山东泰安•七年级校考开学考试）如图，△48。与△CDE都是等腰三角形，=CD=

CE,2ACB=NDCE=42°,A。、BE相交于点”.

（1）试说明：AD=BE；

（2）求乙4MB的度数.

【答案】（1）见解析

（2）42°

【分析】⑴由“SAS”可证4ACD星ABCE，可得BE=AD;

（2）根据全等三角形的性质可得ACAD=/CBE,再利用三角形内角和定理计算NAMB.

【详解】（1）解:证明：；NACB=NDCE,

：.ZACD=2BCE,

（CA^CB

在△4CD和,您中，（乙4CD=/BCE,

［CD^CE

：./\ACD星ABCE（SAS）,

：.AD=BE;

（2）V4ACD咨NBCE,

：.NCAD=NCBE,

•/ABAC+/ABC=180°-42°=138°,

ABAM+4ABM=ABAC-ACAD+AABC+ACBE=ABAC+NABC=138°,

AAMB=180°-138°=42°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键.

【变式训练】

题目1］（2023秋・辽宁抚顺・八年级统考期末）如图，已知△ABC中，ABWACWBC.分别以AB、AC为腰

在AB左侧、力。右侧作等腰三角形ABD.等腰三角形ACE，连接CD、BE.

D

（1）如图1,当ABAD=/CAE=60°时，

①△ABD、AACE的形状是；

②求证：BE=DC.

（2）若ABAD=2CAE丰60°,

①如图2,当AB=AD,AC=4E时，BE=OC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；

②如图3,当AB=DB,AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由.

【答案】（1）①等边三角形；②证明见解析

（2）①成立，理由见解析:②不成立，理由见解析

【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解;②根据等边三角形的性质可

得AB=AD,AE=AC,/DAB=/CAE=60°,证明ABAE岂△ZZ4C,根据全等三角形的性质即可证明；

⑵①证明ABAEn△TL4C,根据全等三能形的性质即可得出结论;②根据已知可得ABAE与ADAC不全

等，即可得出结论.

【详解】（1）①,//\ABD是等腰三角形，4ACE是等腰三角形，ABAD=NCAE=60°

△ABD、△ACE是等边三角形，

故答案为：等边三角形.

②证明：：△ABD、AACE是等边三角形，

：.AB^AD,AE^AC,ADAS=/CAB=60°,

•/ADAC=NDAB+ABAC,/BAE=4CAE+ZBAC,

：.NDAC=NBAE,

在△BAE与△DA。中，

（AB^AD

■：\^BAE=^DAC,

[AE=AC

：.△BAE第△D4C（SAS）.

:.BE=DC.

（2）①当AB^AD,AE=AC时，成立.

理由：如图，

•：ABAD,ABAE=ADAC,AE^AC,

：./\BAE咨/XDAC（SAS）,

:.BE=DC;

②当AB=_DB,AC=E。时，不成立.

理由：如图，

•/ZBAD=ZCAE^60°,

：.AB=DB^AD,AC=EC^AE,

：.ABAE与△ZX4C不全等，

:.BE不DC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全

等三角形的判定与性质是解题的关键.

题目区］（2023秋・全国•八年级专题练习）定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”,

我们称这两个顶角为“同源角”.如图，ZVIB。和△CDE为“同源三角形"，CD=CE,4ACB

与ZDCE为“同源角

C

图2

（1）如图1,△48。和4CDE为“同源三角形”,试判断AD与BE的数量关系，并说明理由.

⑵如图2,若“同源三角形”△48。和△CDE上的点B,在同一条直线上，且/水汨=90°,则2EMD

⑶如图3,44BC和△CDE为“同源三角形”,且“同源角”的度数为90°时,分别取AD,BE的中点Q,P,

连接CP,CQ,PQ,试说明APCQ是等腰直角三角形.

【答案】⑴AD=BE,详见解析

⑵45

⑶详见解析

【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证NACD=NBCE,然后根据SAS证明/XACD空ABCE即可；

⑵由“同源三角形”的定义和乙4CE=90°可求出/DCE=ACB=45°,由（1）可知△ACD空△BCE,得

AADC=/BEC,然后根据“8”子三角形即可求出NEMD的度数；

⑶由⑴可知△ACD笃△BOE,可得/C4Q=/CBP,BE=AD根据S4S证明△ACQ笃△BCP,可得

CQ=CP,乙4。。=/8。。,进而可证结论成立.

【详解】⑴=

理由：因为△ABC和△CDE是“同源三角形”,

所以NACB=4DCE,所以ZACD=NBCE.

（AC=BC,

在△ACD和ABCE中，（ZACD=NBCE,

（CD^CE,

所以LACDZABCE（SAS）.

所以AD=BE.

⑵△ABC和△CDE是“同源三角形”，

NACB=ZDCE.