2025年安徽省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年安徽省高考数学模拟试卷

一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合知=国丫=值（2尤-3）},N={y|y>l},则MCN=（）

333

A.（―L2）B.（1/2）C.（1,+8）D.（2/4~°°）

2.（5分）已知Q,b是相互垂直的单位向量.若向量。4=。一dOB=2a+b,则向量04在向量上的

投影向量为（）

IT2T2T2TL2-»L

A.—a+一bB.-zra—pbC.—a+一bD.-a—pb

55555555

3.（5分）记正项等差数列{劭}的前〃项和为品，520=100,则的最大值为（）

A.9B.16C.25D.50

4.（5分）已知双曲线C：1的一条渐近线方程为y=2x,则"尸（）

A.1B.2C.8D.16

5.（5分）己知某圆锥的侧面积为企明轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.（5分）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五

个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，山东也成为备选地之一.若每个

部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同

的方法种数共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.（5分）已知尸为抛物线/=4y上的一点，过尸作圆/+（y-3）2=1的两条切线，切点分别为A,B,

则cos/APB的最小值是（）

1237

A.—B.—C.—D.一

2349

8.（5分）已知函数/（x）的定义域为R,且/（x+1）为偶函数，f（x+2）-1为奇函数，若/（I）=0,

则2"上）=（）

A.23B.24C.25D.26

二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知复数zi,Z2,下列说法正确的是（）

A.若|zi|=|z2|,则z£=z/

B.\Z1Z2\=\Z1\\Z2\

C.|zi-Z2|W|zi|+|z2|

D.|zi+z2|W|zi|+|z2|

（多选）10.（6分）已知函数/（x）=ln（cosx）+sin2x,则（）

A.f（x）=f（-x）

B.f（x）在（一*，一/单调递增

C./（x）有最小值

1—ITL'Z

D.f（无）的最大值为一y-

（多选）11.（6分）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、

对称美、和谐美的结合产物.关于曲线Cx2+/=W+|v|，则下列结论正确的是（）

A.曲线C关于原点成中心对称图形

B.曲线C关于x轴，y轴成轴对称图形

C.曲线C上任意两点之间的距离都不超过2

D.曲线C所围成的“花瓣”形状区域的面积大于n

四、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）若（1+久）5（a+苴）展开式中/的系数为30,则a=.

13.（5分）在平面直角坐标系中，0（0,0）,A（sina,cosa）,B（cos（a+^）,sin（a+分），当NA02="

o63

时，写出a的一个值为.

x2y2

14.（5分）已知双曲线9=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸1,Fi,若过点尸2的直线与双曲

线的左、右两支分别交于A,B两点，且=IBF1I=2V5.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2e的

圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为.

五、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数/（久）=a«（+a）

（1）当a=l时，求函数/（x）的单调区间；

（2）求证：当4>0时，f（X）We2a-2.

16.（15分）已知椭圆E：各苓=l（a>b>0）的左，右焦点分别为四，无，椭圆E的离心率为之，椭圆

E上的点到右焦点的最小距离为1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若过右焦点尸2的直线/与椭圆E交于B,C两点，E的右顶点记为A,AB〃CH,求直线/的方程.

17.（15分）如图，已知四棱锥S-ABC。中，AB=BC=\,ZABC=120°,AB±AD,CD_L平面SAD,

（1）证明：BG〃平面SAD；

4

（2）已知锐二面角S-AC-Q的正弦值为g,求二面角C-SA-。的余弦值.

18.（17分）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如表:

参加考试人数平均成绩标准差

在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为XI,X2,尤3,…，XN其平均数

记为元，方差记为sf；把第二层样本记为yi,>2,”，…，ym,其平均数记为歹，方差记为受；把总样本

数据的平均数记为,，方差记为S2.

1

（1）证明：S?=和元也归：+（元-2）2]+m[s：+（歹一2）2";

（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；

（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N（山。2）,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准

差分别作为U和。的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划

分为A,B,C,。四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）.

附：P（H-OWXWn+。）=0.68,V302»17,V322«18,V352«19.

19.（17分）数列｛即｝的前“项m,ai,•••,an（neN*）组成集合4=｛ai,ai,•••,an],从集合4中任

取左（％=1,2,3,…，w）个数，其所有可能的上个数的乘积的和为九（若只取一个数，规定乘积为

此数本身)，例如：对于数列{2"-1},当”=1时，Ai={l},Ti=l；"=2时，&2={1,3},乃=1+3,

72=P3；

(1)若集合A〃={1,3,5,In-1},求当〃=3时，乃，T1,乃的值；

(2)若集合4={1,3,7,2n-1},证明：〃=%时集合4的%与〃=叶1时集合4+1的方”(为

+1

了以示区别，用力，表示)有关系式力，=(2*-1)Tm-\+Tm,其中也，在N*,2WmWk；

(3)对于(2)中集合4.定义8=八+乃+…+〃，求S”(用〃表示).

2025年安徽省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.(5分)已知集合M={x|y=/g(2x-3)},N={y\y>l},则MAN=()

333

A.(―L1)B.(LC.(1,+8)D.(|,+8)

【解答】解：・・・”=｛%|2%—3>0｝=（尹+oo),N={y\y>l}=(1/+oo),

故MnN=G,+00).

故选：D.

TTT—>TT—»—>

2.（5分）已知a.b是相互垂直的单位向量.若向量。4=a—b,OB—2a+bf则向量04在向量4B上的

投影向量为（)

IT2T]t2T2TL—>—>

A.一a+一匕B.一1a一可bC.—a+~bD.--pa—rb

5555

TT

【解答】解：因为a,6是相互垂直的单位向量,

一一TT->—

所以a-/?=0/a2=b2=1.

—>—>—>_»—>

AB=OB-OA=a+2b,

所以|—阴>=

jG+2^)2。2+4。•b+4b2=V5,

TTT-TT-S—T-

又。/•AB=(a—b)(a+2b)=a2+a-b-2b2=-1,

—>—>OAABABOAABTITT1T2-

所以向量。4在向量上的投影向量为—•=---AB=--(a+2b)=--a—-b.

\AB\\AB\|4B|2555

故选：B.

3.（5分）记正项等差数列｛斯｝的前〃项和为品，520=100,则〃io・mi的最大值为（）

A.9B.16C.25D.50

【解答】解：正项等差数列｛劭｝的前〃项和为S,520=100,

-20

(。10+。11)=100

a10>0，解得Qio+〃u=lO,

。11〉0

(-----------)=25,

2

则aio*an的最大值为25.

故选：C.

4.（5分）已知双曲线C：1的一条渐近线方程为y=2x,则，片（）

A.1B.2C.8D.16

【解答】解：•••曲线。《一《=1是双曲线，

qTIT

Am>0,双曲线的焦点在y轴上，

止匕时。=2,b=4m,渐近线方程为y=±焉％,

又双曲线。号-第=1的一条渐近线方程为y=2x,

2

：・-P^=1,即m=1.

7m

故选：A.

5.（5分）已知某圆锥的侧面积为迎TT,轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解答】解：设圆锥的母线为/>0,底面半径为厂>0,高为/1>0,

nrl=V2TT

|x2rxh=1-解得Q二,/

{Z2=r2+h2

设该圆锥的母线与底面所成的角为e,则0。<0<90°,

可得t（me=[=l,所以该圆锥的母线与底面所成的角为9=45°.

故选：C.

6.（5分）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五

个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，山东也成为备选地之一.若每个

部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同

的方法种数共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

【解答】解：①恰有2个部门所选的旅游地相同，

第一步，先将选课相同的2个部门选出，有底=6种可能；

第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有短=120,

根据分步计数原理可得，方法有6X120=720种；

②4个部门所选的旅游地全不相同的方法有黑=360种，

根据分类加法计数原理可得，

则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有360+720=1080种.

故选：B.

7.（5分）已知P为抛物线/=4y上的一点，过尸作圆/+（y-3）2=1的两条切线，切点分别为A,B,

则cos/APB的最小值是（）

亡2亡2y.4u.21

设P(t,—则|PC|2=p+(―-3)三第一号+9=/(？-4)2+8,

当P=4时，|PC|取得最小值2VL此时，/APB最大,cos/APB最小,

且(cosZAPS)，”加=1-2sii?/APC=l-2X(―)2=

2V24

故选：C.

8.（5分）已知函数了（无）的定义域为R,且/（尤+1）为偶函数，f（x+2）-1为奇函数，若/（I）=0,

则2t"（k）=（）

A.23B.24C.25D.26

【解答】解：根据题意，因为/(x+l)为偶函数，所以/(X)的图象关于直线X=1对称，即有/(1+X)

=f(1-x),变形可得f(x)=f(-x+2)①.

又由/(%+2)-1为奇函数，所以/(x+2)-1=-/(-x+2)+1,变形可得/(x+2)4/(-x+2)=2

②.

由①，②得f(x)+f(x+2)=2,f(x+2)+fCx+4)=2,

故有/(%)=/(x+4),

由/(x)+f(x+2)=2,得/(0)+f(2)=2,又/(x)=f(-x+2),可得/(0)=f(2)=1,

/(1)4/(3)=2,f(2)V(4)=2,由/(I)=0,得/(3)=2,

故/(I)4/(2)+-+/(26)=6|/(1)+f(2)+f(3)4/(4)]+/(1)+f(2)=6X4+0+1=25.

故选：C.

二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知复数zi,Z2,下列说法正确的是()

A.若|Z1|=|Z2|,则呼=z：

B.|Z1Z2|=|Z1||Z2|

C.Izi-Z2|W|zi|+|z2|

D.|zi+Z2|W|zi|+|z2|

【解答】解：对于A,设Z1=1+21,z2=2+i,显然|Z1|=|Z2|,

但=-3+4iWz：=3+4i,故A错；

对于5,设Zl=〃+4，Z2=c+成，

贝I]ziz2=ac-bd+(ad+bc)i,

2222222222

\zrz2\=J(etc—bd)+(ad+be)=Vac+ad+bc+ddf

|zi|,21=Va2+b2-Vc2+d2=Va2c2+a2d2+b2c2+d2d2,

所以|Z1Z2|=|Z1||Z2|,故5对;

->

对于CD根据复数的几何意义可知，复数zi在复平面内对应向量OZi，

复数Z2对应向量0云，复数加减法对应向量加减法，

—>—>

故⑶-Z2|和|Z1+Z2|分别为OZi和。Z2为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，

所以|zi-Z2|W|zi|+|z2|,|zi+Z2|W|zi|+|z2|,故以对,。对.

故选：BCD.

(多选)10.(6分)已知函数/(%)=ln(cosx)+sin2x,贝()

A.f(%)=f(-x)

B.7(x)在(一9-令单调递增

C./(x)有最小值

1—

D.f(x)的最大值为一y-

【解答】解：令cosx>0,得(2kn-冬2hr+^)(ZcZ),

故/(x)=ln(cosx)+sin2%的定义域为(2内i—2E+1)(%EZ)关于原点对称，

且/(-x)=/"[cos(-x)]+sin2(-x)=ln(cosx)+sin2x=/(x),故A正确；

令尸cosx(0V/W1),

则原式可转化为/z(t)=lnt-?+l(0«),

•・•〃⑺=>2/=曜=(1+国)£一&(。<0),

.,.当0<fV考时，h'(t)>0,①

叵

又当xe(——/)时，f=cosx单调递增，且re(0,—),h'(r)>0,

V2

：.h(t)在(0,—)上单调递增，

2

由复合函数的单调性可得，/(%)在(一*，单调递增，B正确；

又/(x)=ln(cosx)+1-cos2x,

当COSXf。+时，f(x)f-8,f(x)无最小值，C错误；

V2_

又当工-V/V1时，h'(/)<0,②

由①②知，当t=噂时，h(t)取得极大值，即h(x)极大值=。(­)=ln—+-=一加2-Zn2+i=

D正确.

故选：ABD.

(多选)11.(6分)数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、

对称美、和谐美的结合产物.关于曲线cx2+/=W+ly|)则下列结论正确的是()

A.曲线C关于原点成中心对称图形

B.曲线C关于x轴，y轴成轴对称图形

C.曲线C上任意两点之间的距离都不超过2

D.曲线C所围成的“花瓣”形状区域的面积大于n

【解答】解：根据题意，将曲线C:/+/=园+|>|转化为方程组：

\x-1)2+(y-1)2=1,(x>0,y>0)

111

(无一2)2+(y+z)2=2，(x>0.y<0)

111

(%+2)2+(y-2)2=2(久<°，y>°)

<(%+21)2+(y+1])2=21,(%VO,yVO)

x=0且y—0

%=0_Sy=±1

、y=0且x=±1

如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，

对于A,将(-x,-y)代入(-x)2+(-y)2=|-x|+|-j|,整理得f+y2=|x|+|y|,所以关于原点对称,

故A正确；

对于8,将(7,y)代入(-x)2+y2=|-x|+|y|-整理得/+/=|x|+|y|,所以关于y轴对称，

将(x,-j)代入/+(-y)2=kl+|-y\,整理得/+y2=|x|+|y|,所以关于x轴对称，故8正确；

对于C,如图，曲线上任意两点距离范围为(0,4R),即两点距离范围为(0,2夜)，故C错误；

对于D曲线C所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，

设它的面积为S,S=4X5TR2+(27?)2=豆+2>江，故。正确.

故选：ABD.

四、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)若(1+久)5(a+苴)展开式中/的系数为30,则a=2

【解答】解：若（a+以）（1+%），=（〃+以）（1+5x+1+1）的展开式中/的系数为10Q+5Q

=30,

则a=2.

故答案为：2.

13.(5分)在平面直角坐标系中，O(0,0),A(sina,cosa),B(cos(a+看),sin(a+芸)，当乙4。8=等

71

时，写出a的一个值为一万（答案不唯一）

【解答】解：(0(0),A(Sina,cosa),B(cos(a+第,sin(a+g

t—717T

0A=(sina,cosa),OB=(cos(a+7)，sin(a+下))，

6o

O~A~-OB~=sinacos(a+6)+cosasin(a+.)=sin(2a+：),

—»

又,.,|。2|=y/sin2a+cos2a=1,\OB\=cos2(a+,)+sin2(a+看)=1,

T

cosZAOB=Y"=sin(2a+5),

\OA\\OB\b

当NA03=等时，cos—=sin(2a+1)=—

.•加+髀羊+2时或2a+*半+2吐回

即a=2+Zn或a--g—Fkn,ZcZ,

71

的一个值为5（答案不唯一）.

71

故答案为：-（答案不唯一）.

%2y2

14.（5分）已知双曲线＞一公=l（a〉0,b〉0）的左、右焦点分别为R,Fi,若过点尸2的直线与双曲

z

ab乙

线的左、右两支分别交于A,8两点，且|4&|=田&|=2V5.又以双曲线的顶点为圆心，半径为2段的

圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为2.

【解答】解：如图，=\BF1\=2V5,\AF2\-|AFi|=|BFi|-\BF2\=2a9

：.\AF2\=2V5+2a,\BF2\=2V5-2a,得|AB|=|AF2|TBF2|=4q.

1/以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点,

：.a2+b2=(2V2)2=c2,即C2=8,则IF/2I=4V2.

(2图2+(2回2a)2(4A⑵2_88倔t+4a2

在尸2中，COS乙FIBFz=

2x2V5x(275-2a)-4西(2西—2a)'

2aV5

在△AF18中,cosZ-ABF=

1泰=甘心

***ZFiBF2=n-ZABFi,/.COSZFIBF2=-cosZABFi,

.8-8\/5a+4a2V5

解得/=2,

,*475(275-20)-5

故答案为：2.

五、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已矢口函数/（X）=成仇：+砌

（1）当。=1时，求函数了（无）的单调区间；

（2）求证：当〃>0时，f（X）We?。一2.

【解答】解：（1）当。=1时，/（乃=笔见，函数定义域为（0,+8）,

可得/（%）=-鬟，

当0<%<1时，f（x）>0,f（x）单调递增；

当x>l时，f（x）<0,f（x）单调递减，

则当a=l时，函数/（%）的增区间为（0,1）,减区间为（1,+8）；

（2）证明：当。>0时，

可得（（久）=就1一了吗,

当0<x<e「。时，f（尤）>0,f（x）单调递增；

当。时，f（x）<0,f（x）单调递减，

所以函数/（%）在（0,/"）上单调递增，在（e="，+8）上单调递减,

a

此时了(%)勺

e1-a

要证/(%)

需证为We2”2

即证6-1三0,

不妨设g(a)=e"ra,函数定义域为(0,+8),

可得g'(a)=eaX-1,

当0<〃<1时，g'(a)<0,当Q>1时，g'(a)>0,

所以函数g(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

此时g(a)2g(1)=0,

即g(a)20恒成立,

故ea'l^a.

16.(15分)已知椭圆E；:l(a>b>0)的左，右焦点分别为人，尸2,椭圆E的离心率为右椭圆

E上的点到右焦点的最小距离为1.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若过右焦点尸2的直线/与椭圆£交于3,C两点，E的右顶点记为A,A8〃CH,求直线/的方程.

1

【解答】解：(1)因为椭圆E的离心率为5,椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1,

所以

a—c=1

Va2=b2+c2

解得〃=2,b=V3,

22

则椭圆E的方程为x了+白y=1；

(2)因为AB〃CPi,

BF_AF2__I

所以2

CF2F1F2_2,

不妨设直线/方程为x=zny+l,B(xi,yi),C(X2,”),

x=my+1

联立2,消去X并整理得(3优2+4)y2+6〃zy-9=0,

(T+yT=1

此时△>0,

6m-9

由韦达定理得yi+%=-赤石？"=赤彳，

所以y2=~2yi,

此时为=_^,%=二^,

713m2+4723m2+4

又为为二忌，

-72m2-9

、（3m2+4）237n2+4，

整理得病=（，

解得租=±4^.

故直线/方程为X土竽-1=0.

17.（15分）如图，已知四棱锥S-ABC。中，AB=BC=i,ZABC=120°,AB±AD,CD_L平面SAD,

T2T

且SG=^SC.

(1)证明：3G〃平面SAD-,

4

(2)已知锐二面角S-AC-。的正弦值为g,求二面角C-SA-。的余弦值.

【解答】解：(1)证法一：如图1,延长8c和D4相交于点E,连接SE,

/.ZAB£=60°,

,：AB1AD,

：.ZBAE=9Q°,则8E=2AB,

又*：AB=BC,

；・BE=2BC,

'：STG=|2SCT,

；.SG=2GC,

则BG//SE,

平面SA。，SEu平面SAD,

；.8G〃平面SAD.

证法二：如图2,过G作G尸平行SA交AC于点R

S

9

：AB^BC=lfZABC=120°,

.1.TIC=V3,贝1|2尸=孥，

9T1T2T

：BF=^BA+^BCf

142

fj44+--V3

：.BF=gBA?+^BC2+^BA-BC-COS120。=--93

\99999

VBA=1,

22

：.B^+BF=AFf

：.BALBF,

9：BALAD,

：.BF//AD,

9

：SA//GFfBF//AD.

：.GF,5厂均平行于平面SAD,且3尸，G厂是平面3G尸内的两条相交直线,

，平面8G/〃平面SA。，

又平面GBF,

；.BG〃平面SAD.

证法三：如图2,过8作平行交AC于点「连接GF,

：A8=BC=1,ZABC=120°,

：.ZBAC=ZBCA=30°,且AC=旧，

"：AB±AD,8/平行A。，

则.=瑞=孚=/，

...GP平行于SA,

'：SA//GF,BF//AD,

,:GF,均平行于平面SA。，且BRGF是平面BGF内的两条相交直线,

平面BGE〃平面SAD,

又：8Gu平面GBF,

；.BG〃平面SAD.

(2)解法一：；Cr)_L平面SAD,CZ)u平面A2CD

平面ABC£)_L平面SAD,

如图3,过点S作SM_LAO交于M,

平面SADn平面ABCD^AD,

S

图3

平面ABC。，

：ACu平面ABCD,

：.AC±SM.

过点M作跖V_LAC交AC于M又MNCSM=M,且MN,SMu平面SMN,

；.AC_L平面SMN,

：.ZSNM为二面角S-AC-D的平面角，贝b讥NSNM=瑞=季

设SAf=a,则SN=1a,

：CO_L平面SA。，ADu平面SAD

：.CD.LAD,

又TAB_LAD,

：.AB//CDf

VZABC=120°,AB=BC,

：.ZBCA=30°,

F5

•••白△AO。中，AACD=30%AC=也,则ZD=今，

过点。作。尸，SA交SA于点P,连接。尸，

则NCPD为二面角C-SA-。的平面角，

rDnDP券袈SM-AD4坐2

cosMPD=国=me=SAMC=5X7T=5'

综上所述，二面角C-SA-D的余弦值为g

解法二：如图4,在平面SAO内过点。作4。的垂线于AS的延长线交于点。

图4

过。作。尸_LAC交AC于P,连接。尸，

：CO_L平面SAD,CDu平面ABCD,

平面SAD_L平面ABCD,

:平面SADC平面ABCD=A。，QD±AD,QOu平面SA。，

.•.Q£)_L平面ABC。，

:ACu平面ABCD,

：.QD±AC,

5L'：ACLDP,

平面QDP,即ZQPD为二面角S-AC-D的平面角,

：CO_L平面SA。，AOu平面SA。，

C.CDLAD,

5L'：AB±AD,

：.AB//CD,

VZABC=120°,AB=BC=1,

：.ZBCA=30°,

•••及△ADC中，^ACD=30%AC=聒,则AD=学，CD=

133

-。D--r

24

4

/少叩

-?5_

-

4

Q也--

z.-3

QD=DP・tanZQPD=1,

为△QZM中，边QA上的高九=缥怨

设二面角C-SA-D的平面角为6,

・・・CDJ_平面SAD.

2

综上所述，二面角C-SA-D的余弦值为g.

解法三：如图5,平面SAO,

・・・在平面内过点。引AO的垂线记为z轴，以AD,CD所在直线为x轴，y轴如图建立空间直角

坐标系:

•・・。。，平面&4。，AOu平面&4。,

CDLAD,

XVABXAZ),

：.AB//CD,

VZABC=120°,AB=BC=1,

：.ZBCA=3Q°,

.•.RtAMJC中,Z.ACD=30°,AC=V3,则2D=孚,CD=|,

则。(0,0,0),A<fi,0,0),C(0,I，0),S(m,0,n),

设平面SAC的法向量为1=(x,y,z),

mx万

d-■今今[V3+nz=30^取了=8，则丫=1，z=----萨,

Uc-n-o一下久+2y=°n

新=（®1,_粤）,

又平面AC。的法向量为I=（0,0,1）,

4

:二面角S-AC-。的正弦值为g,

.|n-nj|

1nlMi|

设二面角C-SA-D的平面角为0,平面SAD的法向量为玄=（0

->1=.回=1叫I，-等)e10)1

|cos6|=|cos<hi，r

2扇I忘IJ(V3)2+l2+(-^)2-l

代入②中，得cos。=弓，

2

综上所述，二面角C-的余弦值为9

18.（17分）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如表:

性别参加考试人数平均成绩标准差

男3010016

女209019

在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为XI,X2,尤3,…，物其平均数

记为a方差记为S七把第二层样本记为yi,”，”，…，yrn,其平均数记为％方差记为赍；把总样本

数据的平均数记为2,方差记为$2.

1

(1)证明：s2=+(x-z)2]+m[sj+Qz-z)2]｝；

(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1)；

(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N(u，。2),以该班参加考试学生成绩的平均数和标准

差分别作为N和。的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划

分为A,B,C,。四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1).

附：P(H-OWXWn+。)=0.68,V302«17,V322-18,V352~19.

【解答】解：(1)证明：$2=焉[£21(看一斤+比1(%—2沟

1

=而由E^i(%；-%+%-z)2+£曙1(.yi-y+y-z)2]

=焉{2、J®_君2+(元一刃2+2(/一君(元,2)]+2£][(%_y)2+(y-z)2+2(%—y)(y-

为"

因为ENi[2(%-x)(x-z)]=2(元—乃£仁13-%)=2(%-2)(*1+x2+x3+-+xn-nx)=0,

同理2上1[2(%-9)(歹一幻]=0,

1

所以S2=而玩口白!+(元一2)2]+m[s3+(y-z)2]}.

(2)将该班参加考试学