材料力学习题课 第二章 轴向拉伸与压缩

材料力学习题课材料力学习题课第二章轴向拉伸与压缩

2一、轴向拉压杆的内力及轴力图1、轴力的表示?2、轴力的求法?3、轴力的正负规定?为什么画轴力图?

应注意什么?4、轴力图：FN(x)的图象表示?FAFNBC简图AFFFNxF+3例1图示杆的A、B、C、D点分别作用着5F、8F、4F、F的力，方向如图，试画出杆的轴力图并指出轴力的最大值。ABCDO5F4FF8FFNx–3F5FF2F4应力的正负规定?1、横截面上的应力:

二、拉压杆的应力危险截面及最大工作应力?

2、拉压杆斜截面上的应力Saint-Venant原理?

应力集中?sFN(x)F

tasaxs05三、强度设计准则（StrengthDesignCriterion）：1、强度设计准则?

校核强度：

设计截面尺寸：

设计载荷：61、等内力拉压杆的弹性定律

2、变内力拉压杆的弹性定律3、单向应力状态下的弹性定律四、拉压杆的变形及应变F(x)dxxFF74、泊松比（或横向变形系数）5、小变形放大图与位移的求法C'ABCL1L2FC"四、拉压杆的变形及应变8装配应力——预应力装配温度

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——弹性定律(胡克定理)；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。6、超静定问题的方法步骤：四、拉压杆的变形及应变9五、材料在拉伸和压缩时的力学性能3、卸载定律；冷作硬化1、弹性定律4、延伸率5、截面收缩率101、剪切的实用计算六、拉(压)杆连接部分的剪切与挤压强度计算nn（合力）（合力）FFFnnFs剪切面2、挤压的实用计算11挤压面积六、拉(压)杆连接部分的剪切与挤压强度计算1212

题2

讨论题图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料密度

=25kN/m3，许用应力=1Mpa。试比较下列三种情况下所需石料体积。①等截面石柱；②三段等长度的阶梯石柱；③等强度石柱。F15m轴向拉伸与压缩15mFF5m5m5m1313

题2

讨论题①等截面石柱轴向拉伸与压缩15mF解：内力分析画内力图–FF+Al应力分析、强度条件所需石料体积FN1414

题2

讨论题②三段等长度的阶梯石柱轴向拉伸与压缩F5m5m5m内力分析画内力图应力分析、强度条件–FF+A1l1F+A2l2+A1l1F+A3l+A2l2+A1l1FN1515

题2

讨论题轴向拉伸与压缩应力分析、强度条件F5m5m5m–FF+A1l1F+A2l2+A1l1F+A3l+A2l2+A1l1FN1616

题2

讨论题轴向拉伸与压缩所需石料体积F5m5m5m1717

题2

讨论题③等强度石柱。F15m轴向拉伸与压缩取微端进行受力分析如图示，列平衡方程1818

题2

讨论题③等强度石柱。F15m轴向拉伸与压缩考虑石柱最下端的强度条件G为石柱自重19

题2

讨论题轴向拉伸与压缩①等截面石柱；②三段等长度的阶梯石柱；③等强度石柱。三种情况下所需石料的体积比值为24：19.7：18，即1.33：1.09：1计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。20

题3

讨论题轴向拉伸与压缩两块钢板用直径d=20mm铆钉搭接。采用两种搭接方式，分别如图a、图b所示。已知F=160kN，两板尺寸相同，厚度

=10mm，宽度b=120mm，铆钉和钢板材料相同，许用切应力=140Mpa，许用挤压应力

bs=320Mpa，许用拉应力

t=160Mpa。试计算所需的铆钉数，并从强度角度比较两种搭接方式形式的优劣，校核板的拉伸强度。图a图b21

题3

讨论题轴向拉伸与压缩假设无论何种排列方式，各个铆钉承受相同的载荷。设所需铆钉数为n，则每个铆钉所受剪力和挤压力分别为铆钉剪切强度铆钉挤压强度取铆钉数n=4解：22

题3

讨论题轴向拉伸与压缩钢板拉伸强度按图a排列时不满足钢板拉伸强度条件图aFNxFF/223

题3

讨论题轴向拉伸与压缩钢板拉伸强度按图b排列时满足钢板拉伸强度条件图bFNF3F/4F/4x24

题3

讨论题轴向拉伸与压缩比较两种搭接方式形式，图b的排列方式较合理，因为这种排列方式在轴力较大的截面配置较少的铆钉，在轴力较小的截面配置较多的铆钉，从而降低最大拉伸应力。图a图b可见铆钉排列方式对铆钉本身强度无影响，但对钢板的拉伸强度影响较大。所以，在工程中，从被连接件的拉伸强度考虑，铆钉一般按菱形排列。25

题4

讨论题12600,2980有一结构受力如图所示，水平梁ABCD可视为刚性杆，杆CE和杆BF均采用碳钢，其比例极限

p=200Mpa，屈服极限

s=240Mpa，强度极限

b=400Mpa，弹性模量E=200Gpa。杆CE的直径为d1=10mm，长为L2=1000mm；杆BF的直径为d2=20mm，长为L2=1000mm。结构要求各杆的安全系数均大于2。试求结构容许承受的最大载荷。A轴向拉伸与压缩ABCDEaFaaP26

题4

讨论题以水平梁ABCD为研究对象轴向拉伸与压缩解：ABCDEaFaaPABCDPFAyFAxFNCFNBABCDPC

BBB

l2

l1CC

变形协调条件由物理关系得补充方程解联立方程得（1）外力分析（求内力）

27

题4

讨论题轴向拉伸与压缩ABCDEaFaaP（2）根据强度条件确定许可载荷

28轴向拉伸与压缩

mnlPdP

题5

讨论题如图，直径为d的细长圆杆（d

l），由两部分胶合而成，胶合面mn的法线与轴线的夹角为，设胶合面上的许用拉应力为

w，许用切应力为

w=3

w/4，杆件材料的许用拉应力

0

=

w，求杆件所能承受的最大拉力Pmax

，并确定相应的角范围。29轴向拉伸与压缩

题5

讨论题考虑杆件材料的拉伸强度考虑杆件胶合面的拉伸、剪切强度解：杆件所能承受的最大拉力Pmax

，必须满足以上三个条件30轴向拉伸与压缩

题5

讨论题画出以上三曲线，由图可以看到31轴向拉伸与压缩

题5

讨论题画出以上三曲线，由图可以看到32例2

结构如图，AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成，已知材料的[

]=170MPa，E=210GPa。AC、EG可视为刚杆，试选择各杆的截面型号和A、D、C点的位移。P=300kN0.8m3.2m1.8m1.2m2m3.4m1.2mABCDFHq0=100kN/mEG33Dq0=100kN/mEGFGFEFDAC=FDFCFAP=300kNP=300kN0.8m3.2m1.8m1.2m2m3.4m1.2mABCDFHq0=100kN/mEG解：

外力分析（求内力）以AC为研究对象，受力分析如图以EG为研究对象，受力分析如图34

由强度条件求面积[

]=170MPa35

试依面积值查表确定钢号36

求变形37

求位移,变形图如图ABDFHEGCC1A1E1D1G138

题2

讨论题轴向拉伸与压缩如图所示结构两杆的拉压刚度EA相同，试证明：对于任意的，当节点A的总位移A总与外力P共线时，a=/4。P

llABC39

题2

讨论题轴向拉伸与压缩首先画出点A位移图解：P

llABC节点A的总位移A与外力P共线，有②①

l1

AA1A2l2vu40

题2

讨论题轴向拉伸与压缩以节点A为研究对象P

llABC

A由节点A的平衡条件可得PFN1FN2由胡克定律，有①②41求解以上等式可得求证之答案

题2

讨论题轴向拉伸与压缩42例3

结构如图，AC、BD的直径分别为:d1=25mm,d2=18mm,已知材料的[

]=170MPa

，E=210GPa,AE可视为刚杆，试校核各杆的强度;求A、B点的位移△A和△B。(2)求当P作用于A点时,F点的位移△F′，△F′=△A是普遍规律：称为位移互等定理。BNBP=100kNNAAABCDP=100kN1.5m3m2.5mF解：

求内力，受力分析如图43

校核强度

求变形及位移44

求当P作用于A点时,F点的位移△F′P=100kN1.5m3m2.5mAFBCD45例4结构如图，已知材料的[

]=2MPa

，E=20GPa,混凝土容重

=22kN/m³，试设计上下两段的面积并求A点的位移△A。解：由强度条件求面积P=100kN12m12mA46冷拉时效一般指普通的钢材在常温下施加机械拉应力，这样零件内部会产生轴向的内应力，对于零件在使用过程中轴向的强度大大加强，但是在冷拉的时候不要超过材料本身的屈服强度，超过了等于就是把它拉坏了，把零件冷拉之后理论上讲它会有慢慢恢复到它原来形状的内应力，在恢复到原状之前它的强度大于冷拉之前，所以叫冷拉时效。47扭转

题6

讨论题一根套接的轴（紧配合或粘结联接）传递一扭矩T如图示。请分别画出两轴的扭矩图，并指出扭矩T是以何种方式从Ⅰ轴传至Ⅱ轴的。48扭转

题6

讨论题解：只考虑材料在线弹性范围内工作。假设Ⅰ，Ⅱ两轴之间无滑动，即在AB段内，以任意两个截面同时截得Ⅰ，Ⅱ两轴同样长的微段

l，在Ⅰ，Ⅱ两轴上，微段两端的相对扭转角必相等，可得求解得：49扭转

题6

讨论题分别画出两轴的扭矩图如图示可见，两轴间扭矩的传递均在A，B两截面实现，即扭矩是通过套接面两端的两个集中力偶的形式跳跃地传递的，交接面中段并不传力。可见交接面两端的切应力是很大的。因此这种方式联接的传动轴，容易出现两端松动（或脱胶），也可能出现塑性变形。在铆接、焊接接头中也有类似的情形。50扭转

题7

讨论题图示空心圆管A套在实心圆杆B的一端上。二者在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔中心线的夹角为

。现在B端部加一扭转力偶，使两孔的中心线对准重合，然后装上销钉C。试求卸去扭转力偶后两杆内的扭矩。已知D=2d，lA=lB=l，且A、B材料相同。51扭转

题7

讨论题解：52

题8

讨论题图示两端固定的圆截面杆，其AB段为实心杆，BC段为空心杆，即圆杆。两段材料相同。在杆的截面B处作用力偶矩M，在线弹性条件下，当许用力偶矩

M达到最大值时，两段长度比l1/l2=？MABCl1l2

DD扭转53

题8

讨论题解：此问题为扭转一次静不定。扭转MABCl1l2

DDMABCMCMA由平衡方程得由变形协调条件和胡克定律得解联立方程得54

题8

讨论题扭转MABCl1l2

DDMABCMCMA由扭转强度条件：得当M达到最大值时5555

题9

讨论题弯曲内力图a和图b中左右两端的集中力偶（包括反力偶）为零而只在梁的中点作用有集中力偶。试根据它们的剪力图画出载荷作用图和弯矩图。Q100100x1000NQx1001001001000N1000N1500N500N56

题9

讨论题弯曲内力Q100100x1000NQx1001001001000N1000N1500N500N75Nm25Nm100Nm200Nm1kN5kN/m1kN1.5kN0.5kN10kN/m50Nm112.5Nm50Nm87.5Nm57

题10

讨论题弯曲内力力学小问题136宽为4m的水沟上横跨一长6m的窄跳板如图示。两体重为P=800N的同伴欲过此沟。已知跳板是等截面的，允许的最大弯矩为

M=600Nm。试说明两人采取何种办法可以安全过沟.58

题10

讨论题弯曲内力解：若一人单独通过，则行至离沟边1m处，跳板弯矩已达600Nm，不能在往前走。若两人同时上桥，一个在右侧外伸段距右端支座为x1处，另一个在桥上，行至离左端支座x2处，这时支座A的约束力为弯矩图为：59

题10

讨论题弯曲内力要安全通过，必须满足M1

M与M2

M。有弯矩的极大值为：欲使则有即

题10

讨论题弯曲内力安全通过的条件为当一人立于右侧外伸段离右支座的距离为（0.536～0.75）m之间时，另一人可安全通过跳板。通过跳板的人，立于左侧外伸段离左支座的距离为（0.536～0.75）m之间时，另一人也可安全通过跳板。606161

题11

讨论题弯曲内力试根据受力情况画出剪力图和弯矩图。aABCm=qa2aaDqa6262

题11

讨论题弯曲内力aABCm=qa2aaDqa3qa/43qa/43qa/4qa/4qaqa25qa2/4qa2/49qa2/323a/4解：剪力图弯矩图63

讨论题2aABCqa2aqaqqaqaqaqa2aqa2/2qa26464

题11

讨论题弯曲内力m方向反了6565

题12

讨论题弯曲内力作图示梁的剪力图和弯矩图。m为集中力偶矩、q0为BC段载荷均匀分布的集度。2aaABCm=qa2/26666

题12

讨论题弯曲内力解：求约束力q02aaABCm=q0a2/22aaABCm=q0a2/2q0q0a/35q0a/36767

题12

讨论题弯曲内力画剪力图和弯矩图2aaABCm=q0a2/2q0q0a/35q0a/3ABC1.154a2q0a/3q0a/3q0a0.257q0a20.5q0a268梁横截面

题13

讨论题弯曲应力一狭长矩形截面梁如图所示，梁的上表面承受均匀分布的切向载荷q作用。假设梁变形后横截面仍保持平面，应力-应变关系遵循胡克定律。试求距梁自由端为x处横截面上正应力的分部和切应力的分布，并计算出该截面上最大拉应力、最大压应力和最大剪应力及其所在位置。bqxh69

题13

讨论题弯曲应力（1）求距梁自由端为x处横截面上的内力qxFNM（2）距梁自由端为x处横截面上的正应力yz70

题13

讨论题弯曲应力qxFNM（2）距梁自由端为x处横截面上的正应力yz最大拉应力发生在下边缘处，其值为最大压应力发生在上边缘处，其值为71

题13

讨论题弯曲应力qxFNM（3）求距梁自由端为x处横截面上的切应力yzh/2h/2y

+d

dxdQ取x处微段dx、并从截面最下端至y处为研究对象假设y处切应力均匀分布，故代入（

）式得72

题13

讨论题弯曲应力qxFNM（3）求距梁自由端为x处横截面上的切应力yzh/2h/2y

+d

dxdQ73

题13

讨论题弯曲应力qxFNM（3）求距梁自由端为x处横截面上的切应力yzh/2h/2y

+d

dxdQ求最大切应力74

题14

讨论题弯曲变形已知梁的受力如图示，D、F为中间铰。（1）试作内力图（2）试定性地画出挠度曲线的形状。aaaaaaaaaABCDEFP2PPaGHq=P/a75

题14

讨论题弯曲变形解：首先求出各处约束力，受力如图示aaaaaaaaaABCDEFP2PPaGHq=P/aABCDEFP2PPaGHq=P/a2P3PPPPP76

题14

讨论题弯曲变形画内力图aaaaaaaaaABCDEFP2PPaGHq=P/a2P3PABCDEFP2PGHPPPaABCDEFPa3Pa/2GHP画剪力图画弯矩图77

题14

讨论题弯曲变形aaaaaaaaaABCDEFP2PPaGHq=P/a2P3P画挠度曲线PaABCDEFPa3Pa/2GHP78

题15

讨论题弯曲变形力学小问题148梁AB的A端固结在具有抛物线形y=ax2的刚性支面的顶点上，如图所示，B端受一集中力P作用。在小变形范围内，随着P的不断增大，讨论B端的位移。yPxAB79

题15

讨论题弯曲变形解：梁的挠度方程为：yPxAB抛物线形刚性支面的曲率为：(1)当Pl2aEI时，(2)当Pl2aEI时，

题15

讨论题弯曲变形yPxAB(2)当Pl>2aEI时，梁上x

c的AC段与抛物线刚性支面密接。梁上c点的位移：从而B点的位移为：yPxABlcC8081

题16

讨论题弯曲变形力学小问题146图示梁受均布载荷q作用，已知梁的弯曲刚度EI为常值，抗弯截面模量为W，梁材料的许用正应力为

。试求：（1）当支座A上移的距离

为何值时对梁的强度最有利（不计剪切变形的影响）？（2）有上述

时梁的许用载荷

q与支座A未上移时梁的许用载荷

q0

相比，提高了百分之多少？（图146）82

题16

讨论题解：（1）求最有利的

弯曲变形设A端的约束力为RA，一次静不定问题。去掉A约束，则根据等强度观点，M(x0)与M(l)的绝对值相等时对梁的强度最有利83

题16

讨论题（2）求有时的有利的

q，并与q0

比较弯曲变形未上移时有时二者相比，

q比q0

提高了45.7%84

题17

讨论题弯曲变形力学小问题176下列结构均为直杆，各相应载荷为任意分布。证明图中（a）杆的轴力图、（b）圆轴的扭矩图、（c）梁的剪力图、（d）梁的弯矩图，其图形面积代数和均为零（（c）梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外）。85

题17

讨论题力学小问题176证明：设轴力为N（x），扭矩为T（x），剪力为Q（x），弯矩为M（x）。A为横截面面积（a）图由胡克定律轴力图面积代数和为弯曲变形86

题17

讨论题力学小问题176（b）图扭矩图面积代数和为弯曲变形87

题17

讨论题力学小问题176（c）图剪力图面积代数和为梁无分布和集中力偶矩，由剪力与弯矩的微分关系弯曲变形88

题17

讨论题力学小问题176（c）图未考虑分布力偶矩的作用，修正剪力图面积代数和为有分布和集中力偶矩时，因微分关系其中m（x）与Mi为分布力偶矩和集中力偶矩，逆时针为正弯曲变形89

题17

讨论题力学小问题176（d）图，边界条件弯矩图面积代数和为微分关系为弯曲变形90

题17

讨论题弯曲变形aABCaqFAl/2Bml/2ABCql/2l/26-19（题目偏难，改成下面两题）6-10（加一题补充题（c），见下图）

题18

讨论题应力状态分析已知A点处二斜截面上的正应力和剪应力如图所示。试绘出A点应力状态的应力圆。10010050200A（200，100）B（-100，50）OCDABCD91

题19

讨论题应力状态分析92图示三角形单元体，已知AC及BC面上各正应力剪应力。试求主应力的大小和方向及最大剪应力的值。34.64054.6BC

题19

讨论题应力状态分析93解：由已知AC及BC面上正应力剪应力，作出应力圆。作DE连线的垂直平分线交水平轴于点C，即圆心，得应力圆。量得：E(54.6,34.6)D(60,-40)D(60,-40)E(54.6,34.6)D(60,-40)C

max

min2a

题19

讨论题应力状态分析94E(54.6,34.6)D(60,-40)C

max

min2a主应力的大小和方向及最大剪应力的值为9595

题20

讨论题复杂应力状态强度问题低碳钢和铸铁在静载拉伸压缩和扭转破坏时，如果断裂，其裂纹方向和断口形状是怎样的？试根据应力状态和强度理论说明形式的原因。9696

题20

讨论题复杂应力状态强度问题解：低碳钢滑移线屈服断裂缩颈与断裂与轴线约成45o最大切应力拉伸和压缩时，性能相同与轴线垂直最大拉应力静载扭转破坏时与轴线垂直最大切应力9797

题20

讨论题复杂应力状态强度问题断口与轴线垂直断口与轴线约成45o铸铁在静载拉伸压缩和扭转破坏时拉伸最大拉应力压缩扭转断口与轴线约成45o最大切应力最大拉应力9898

题21

讨论题复杂应力状态强度问题如图所示直角形折杆，在B端用滚珠轴承支承，已知l=500mm，E=200Gpa，G=80Gpa，BC端横截面为50100mm的矩形，AB段为D=120mm，d=80mm的空心圆管，当在自由端C点作用力P时，测得AB段表面上与杆轴成450角的方向上的正应变

=210-4，试问P力多大？在该P力的作用下，C点的垂直位移C为多少？9999

题21

讨论题复杂应力状态强度问题解：（1）求力P横截面上最大切应力（在AB段表面）由应力分析可知由受力和支承情况可知，AB段受扭矩Mn作用由应力应变关系

tt

100100

题21

讨论题复杂应力状态强度问题由应力应变关系

tt

101101

题21

讨论题复杂应力状态强度问题（2）求C点的垂直位移C点的垂直位移由两部分组成，一部分是由于AB杆的扭转而导致C点的位移

1，另一部分是BC杆的弯曲产生的挠度

2。102102

题22

讨论题复杂应力状态强度问题如图所示一钢制圆轴受拉扭联合作用。已知圆轴直径d=20mm，材料弹性模量E=200Gpa。现采用直角应变花测得轴表面O点的应变值为

a=-9610-6，b=56510-6，c=32010-6。试求载荷P和m的大小。103103

题22

讨论题复杂应力状态强度问题解：在拉扭联合作用下，O点的应力状态如图所示。由OC方向的线应变

tttt

104104

题22

讨论题复杂应力状态强度问题与成-450方向的应力为与成450方向的应力为

tttt

105105

题22

讨论题复杂应力状态强度问题

tttt

106106

题23

讨论题复杂应力状态强度问题如图所示一薄壁圆管，两端封闭，承受内压p=6Mpa、拉力P=15kN和扭转力偶矩Mt=400Nm。圆管横截面平均直径为40mm，圆管壁厚为1mm。已知许用应力

=160Mpa。试按最大剪应力理论校核圆管的远离管端部分的强度。107107

题23

讨论题复杂应力状态强度问题解：周向应力轴向应力剪应力

xtt

x

t

t108108

题23

讨论题复杂应力状态强度问题单元体的应力状态如图示求主应力

xtt

x

t

t109109

题23

讨论题复杂应力状态强度问题按最大剪应力理论进行强度校核相当应力为按最大剪应力理论进行强度校核，强度不够

xtt

x

t

t110110

题24

讨论题压杆稳定图示一变截面压杆，其两段的惯性矩为I1和I2，在自由端承受压力P，试证确定临界力P的方程为其中I2Pl/2l/2yx0I1111

题24

讨论题压杆稳定解：图示挠曲线，设自由端最大挠度为d，则压杆的挠曲线近似微分方程为微分方程的通解为I2Pl/2l/2yx0I1Pl/2l/2yx0其中积分常数A、B、C、D可由边界条件和连续性条件确定112

题24

讨论题压杆稳定Pl/2l/2yx0积分常数A、B、C、D可由边界条件和连续性条件确定边界条件连续性条件由（1）和（2）得由（3）得113

题24

讨论题压杆稳定Pl/2l/2yx0积分常数A、B、C、D可由边界条件和连续性条件确定由（4）和（5）得由（6）和（7）求得C和D，得（8）和（9）114

题24

讨论题压杆稳定Pl/2l