工程物理 - 扭矩

1第

3

章扭转

剪切基本定理

圆截面轴的扭转应力与变形

圆截面轴的扭转强度与刚度

简单静不定轴

非圆截面轴扭转简介本章主要研究：2

§1

引言

§2扭力偶矩计算与扭矩

§3

切应力互等定理与剪切胡克定律

§4圆轴扭转应力

§5圆轴扭转强度与合理设计

§6圆轴扭转变形与刚度计算

§7简单静不定轴

§8非圆截面轴扭转简介3§1引言

扭转实例

扭转及其特点4

扭转实例FF5M6

扭转及其特点变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线－扭转变形外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转

以扭转为主要变形的杆件－轴扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭力偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶7§2

扭力偶矩计算与扭矩

扭力偶矩计算－轴的动力转递

扭矩与扭矩图

例题8

扭力偶矩计算－轴的动力转递已知：动力装置的输出功率

P（kW）,转速

n（r/min）试求：传递给轴的扭力偶矩

M（N.m）设角速度为

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,则9

扭矩与扭矩图扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用

T

表示符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，

矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负扭矩10扭矩图（m－轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图11

例题例

2-1MA=76N

m,MB=191N

m,

MC=115N

m,

画扭矩图解：12例

2-2轴在MA作用下旋转，飞轮转动惯量为J,

画扭矩图解：惯性力偶矩:13§3

切应力互等定理与剪切胡克定律

薄圆管的扭转切应力

切应力互等定理

剪切胡克定律

例题14

当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变试验现象

各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动由于管壁薄，可近似认为管内变形与管表面相同，均仅存在切应变g

。

薄壁圆管扭转切应力15假设：切应力沿壁厚均匀分布应力公式适用范围：适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹性、线性与非线性等情况精度：线弹性情况下,当d

R0/10

时,误差

4.53%16在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线－切应力互等定理截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证）

切应力互等定理与纯剪切微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态－纯剪切

剪切胡克定律引入比例常数G在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比－剪切胡克定律G－切变模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa实验表明：当切应力

t

不超过一定限度tp时tp－剪切比例极限18

例题例

3-1图示板件,边宽为a,已知

Ds=

a/1000,G=80GPa,

试求板边切应力t=?解：注意：g虽很小，但G很大，切应力t

不小g为一很小的量，所以19例

3-2一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为d，长度为l，横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角j。解：问题：如果t

=

kgn，则t=?j=?20§4

圆轴扭转应力

扭转试验与假设

扭转应力分析

极惯性矩与抗扭截面系数

例题21

扭转试验与假设各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动

当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变扭转平面假设试验现象

各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面22

扭转应力分析物理方面几何方面dj

/

dx－扭转角变化率23静力学方面应力与变形公式－极惯性矩－抗扭截面系数公式的适用范围：圆截面轴；tmax≤tp24

极惯性矩与抗扭截面系数

空心圆截面

实心圆截面25

例题例

4-1已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。解：26§5

圆轴扭转强度与合理设计

扭转失效与扭转极限应力

圆轴扭转强度条件

圆轴合理强度设计

例题27

扭转失效与极限应力塑性材料屈服断裂脆性材料断裂扭转屈服应力ts

，扭转强度极限tb－扭转极限应力tu圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限扭转极限应力扭转失效形式28

圆轴扭转强度条件等截面圆轴:变截面或变扭矩圆轴:tu－材料的扭转极限应力n-安全因数塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力危险点处于纯剪切状态，又有29

圆轴合理强度设计1.

合理截面形状若

Ro/d

过大将产生皱褶空心截面比实心截面好2.

采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓应力集中30

例题例

5-1已知

T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴，并进行比较。解：1.确定实心圆轴直径单辉祖:材料力学教程312.

确定空心圆轴内、外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻32解：1.扭矩分析例

5-2R0＝50mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为

d1=

5

mm，d2=

4

mm，m=

3500

N

.m/m，l

=

1

m，[t]=50

MPa，试校核圆管强度。332.

强度校核危险截面：截面A与B34例

5-3密圈螺旋弹簧应力分析与强度条件解：1.内力分析352.应力分析3.应力修正公式4.强度条件[t]－纯剪切许用切应力36§6

圆轴扭转变形与刚度计算

圆轴扭转变形

圆轴扭转刚度条件

例题37

圆轴扭转变形扭转变形一般公式GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度常扭矩等截面圆轴38

圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件[q

]－单位长度的许用扭转角

注意单位换算:

一般传动轴，

[q

]=0.5~1

()/m39

例题例

6-1已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5()/m。jAC=?校核轴的刚度解：1.变形分析402.刚度校核注意单位换算！41例

6-2试计算图示圆锥形轴的扭转角解：42§7

简单静不定轴

扭转静不定问题分析

例题43

扭转静不定问题分析问题

试求图示轴两端的支反力偶矩问题分析未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定44建立补充方程计算支反力偶矩联立求解方程(a)与(b)

45

例题例

7-1

图示组合轴，承受集度为

m的均布扭力偶，与矩为

M=ml的集中扭力偶。已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2。试求圆盘的转角。解：1.建立平衡方程沿截面

B切开,画受力图462.建立补充方程－变形协调条件未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定47联立求解平衡与补充方程圆盘转角为3.扭矩与圆盘转角48§8

非圆截面轴扭转简介

矩形截面轴扭转

薄壁杆扭转

例题49

矩形截面轴扭转

圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象

横截面翘曲,角点处g为零,侧面中点处g最大50应力分布特点

横截面上角点处，切应力为零

横截面边缘各点处，切应力//截面周边

横截面周边长边中点处，切应力最大51弹性力学解系数a,b,g表长边中点t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

52

截面中心线

－截面壁厚平分线

闭口薄壁杆

－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆

开口薄壁杆

－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆

薄壁杆扭转开口与闭口薄壁杆

薄壁杆

－壁厚<<截面中心线的杆件53假设切应力沿壁厚均匀分布,并平行于截面中心线切线计算公式tmax发生在杆壁最薄处闭口薄壁杆扭转概念54