2024-2025学年人教版九年级数学上学期期末复习：二次函数（原卷版）

二次函数（考题猜想，15种常考题型）

强型大宗合

＞二次函数的图象在解题中的应用＞利用对称求二次函数解析式

＞二次函数图象的平移在解题中的应用＞线段最值问题

＞二次函数的性质在解题中的应用A面积最值问题

＞二次函数图象上的三角形在解题中的应用＞全等三角形问题

＞二次函数图象上的四边形在解题中的应用＞特殊三角形存在性问题

＞二次函数图象上的平行线在解题中的应用＞平行四边形存在性问题

＞利用待定系数法求二次函数解析式＞角度问题

＞利用平移求二次函数解析式

验型大通关

一.二次函数的图象在解题中的应用（共4小题）

1.（22-23九年级上•辽宁鞍山•期中）二次函数卜=办2+乐+。的图象如图所示，下列结论中错误的是（）

A.Q>0B.2a+b<0

C.a+b+c<0D.b1+4ac>0

2.（23-24九年级上•浙江杭州•期中）如图，抛物线〉=ax2与直线V=bx+c的两个交点分别为4（-2,4）,5（1,1）,

则关于X的方程ox,-bx-c=O的解为（）

B.X]-5,%2=2

C.再=-2,x2=1D.玉=-3,x2=2

3.（23-24九年级上•河南信阳,期中）如图函数>=辰2+乐+4（°>0,4ac>0）图象是由函数

的图像无轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则

下列结论正确的是

①2。+6=0

②c=3

③abc>0；

④将图像向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点.

4.（23-24九年级上•新疆伊犁,期中）如图，已知二次函数y=/+6x+c经过/,8两点，轴于点C,

且点/(TO),C(4,0),AC=BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是线段上一动点(不与4,2重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点R当线段环的长度

最大时，求点E的坐标.

二.二次函数图象的平移在解题中的应用(共4小题)

5.(22-23九年级上•广西贺州•期中)抛物线>=-(x+l)2-4向上平移4个单位后的解析式为()

A.y-—(x+1)B.y——(x+5)--4

C.y=-(x-3)~-4D.y=-(x-1)"

6.(22-23九年级上,安徽芜湖,期中)抛物线必=a/+6x+c是由抛物线乂=X2-4x+5先向左平移3个单位

再向上平移4个单位而得，则4a-26+c=.

7.(23-24九年级上•广东广州,期中)已知抛物线>-2ax+3(awO).

⑴求抛物线的对称轴；

(2)把抛物线沿y轴向下平移3同个单位，若抛物线的顶点落在X轴上，求a的值.

8.(22-23九年级上广东广州•期中)在平面直角坐标系中，二次函数〉=-2/+乐+，的图象经过点/(-2,4)

和点8(1,-2).

⑴求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

（2）沿水平方向平移该二次函数的图象，使其平移后的抛物线的顶点到y轴的距离为4,请直接写出平移的方

向和距离.

三.二次函数的性质在解题中的应用（共4小题）

9.（23-24九年级上•浙江杭州•期中）己知三点（2,。），（-1,6）,（3,c）在抛物线y=/+x+2上，则。，b,c

的大小关系是（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.无法比较大小

10.（23-24九年级上•河南周口•期中）已知（-3,%），（2,%）,（5,蠢）是抛物线y=-2--4x+加上的点,比较

弘，力，力的大小.

11.（23-24九年级上广东云浮・期中）抛物线了=X2+瓜+,经过（4,3）,（3,0）两点.

⑴求6,c的值；

（2）若点/（5,%），8（7必）都在该抛物线上，试比较必与劣的大小.

12.（23-24九年级上•北京朝阳,期中）在平面直角坐标系X。了中，/（孙必），8（积%）在抛物线

y=ax2+2ax+c上，其中再<x2.

⑴求该抛物线的对称轴；

（2）若。>0,西=一2,%=1，比较必，%的大小；

（3）若再+工2=1-。，且乂4%，求a的取值范围.

四.二次函数图象上的三角形在解题中的应用（共4小题）

13.（21-22九年级上•吉林长春•期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=办2-4ax+4（a<0）交x轴正

半轴于点交了轴于点3,线段2CQ轴交此抛物线于点。，且CD=；2C,则的面积为（）

A.24B.12C.6D.3

14.（23-24九年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=<2?-2<^+2（。<0）交工

轴正半轴于点C,交y轴于点/8〃x轴交抛物线于点瓦则△N8C的面积是.

15.（23-24九年级上•贵州六盘水•期中）如图，在平面直角坐标系中，点/在第二象限，以/为顶点的抛物

线经过原点，与x轴负半轴交于点8,对称轴为直线了=-2,点C在抛物线上，且位于点/、3之间（C不

与/、2重合）.若四边形49BC的周长为0,则△NBC的周长为（用含a的代数式表示）.

16.（23-24九年级上•甘肃武威•期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形O/BC的顶点/（O,3）,C（-1,O）,

得到矩形设直线8夕与x轴交于点/、与y轴交于点N,抛物线尸”+2x+c的图象经过点c、

M、N.

⑴点B的坐标为—，点2'的坐标为_；

（2）求抛物线的解析式；

⑶求AQWN的面积.

五.二次函数图象上的四边形在解题中的应用（共4小题）

17.（22-23九年级上•黑龙江牡丹江•期中）如图所示，已知抛物线y=*-2x+3与坐标轴交点分别为4B、

C三点，点。为此抛物线顶点，则四边形A8DC的面积为.

18.（23-24九年级上•江苏苏州•期中）如图，二次函数y=；x2-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点,且

A点坐标为（-4,0）,顶点/关于x轴的对称点是.

⑴求二次函数的关系式；

(2)求四边形的面积.

19.(23-24九年级上•辽宁铁岭•期中)如图，抛物线了=x?+2x-3与无轴交于48两点，与，轴交于点。,

抛物线的顶点为C.

⑴求4及。,。的坐标；

(2)求四边形的面积.

20.(20-21九年级上•广西百色•期中)如图，抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，于y轴交于

点C(0,3),顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；

(3)在X坐标轴上是否存在点Q,使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标,

若不存在，请说明理由.

六.二次函数图象上的平行线在解题中的应用(共4小题)

21.(21-22九年级上•福建莆田•期中)如图，点A是V轴正半轴上一点，直线ZC平行于x轴，分别交抛物

线必=/520)与%=[(x20)于民c两点，过点。作y轴的平行线交必的图像于点。，直线。E〃/C,

交％的图像于点则隼=—.

22.（22-23九年级上,黑龙江鹤岗•期中）如图，抛物线＞=如2+云-44.#0）经过，。（°，4）两点,

与x轴交于另一点3,连接/C,BC.

⑴求抛物线的解析式；

（2）平行于x轴的直线k-14与抛物线分别交于点口E,求线段DE的长.

23.(23-24九年级上,福建南平,期中)如图，已知抛物线昨。龙2+法+3经过3(3,0)二点，直线/是

⑵设点P是直线/上的一个动点，当APNC的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长；

⑶平行于8C的直线九W交抛物线于M,N两点，点M在点N的上方，连接MC,NS交于点P,在图二中

根据题意补全图形并求点P的横坐标.

24.（22-23九年级上•湖北襄阳•期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=f+3与y轴交于点£与x轴

交于点2,抛物线了=--+6x+c过/、3两点.

⑴求抛物线的解析式；

（2）过点/作/C平行于x轴，抛物线于点C,点尸为抛物线上一动点（点下在/C上方），作ED平行于y

轴交48于点。.问当点尸在何位置时，四边形/FCD的面积最大？并求出最大面积.

⑶当tWxWf+3时，函数y=-x?+6x+c的最大值为4,求/的值.

七.用待定系数法求二次函数解析式（共4小题）

25.（22-23九年级上•云南昭通・期中）如图，函数的解析式为（)

3

2C.y——%2+3D.y=—-x2

44

26.（23-24九年级上•吉林•期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=-2/+9x相同，且它的

顶点坐标为（-1,6）,则这条抛物线的解析式为.

27.（23-24九年级上•吉林・期中）已知抛物线了="2+/+。（"0）的顶点坐标是（-2,-1）,且经过点

/（0,3）.求该抛物线的解析式.

28.（23-24九年级上•北京房山•期中）二次函数了=/+瓜+。的图象经过点（0,2）和点（1,5）,求此二次函数

解析式.

八.利用平移求二次函数（共4小题）

29.（22-23九年级上•山东济宁•期中）把抛物线y=先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得

到的抛物线的解析式为（）

1n1

A.y=-(x+l)-3B.y=-(x-l)--3

C.y=g(x+l『+lD.p=g(x-+1

30.（23-24九年级上•广西柳州,期中）将抛物线》=2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式

是.

31.(23-24九年级上•吉林松原•期中)若二次函数y=；/+6x+c的图象经过点，(-2,0),其对称轴为直线x=1,

与x轴的另一个交点为C,与夕轴交于点也

(1)点C的坐标为_；

⑵将二次函数的图象向下平移5个单位长度，求平移后的二次函数的解析式.

32.(22-23九年级上•陕西安康・期中)在平面直角坐标系中，己知抛物线C：y=x2+6x+c经过点(L4)和

(0,7).

⑴求抛物线C的解析式；

(2)将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C”求抛物线。的顶点坐标.

九.利用对称求二次函数(共4小题)

33.（22-23九年级上•浙江嘉兴•期中）与抛物线y=x2-2x-4关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（）

A.y=—x2+2x+4B.y=—x1+2,x—4C.y=x~-2元+4D.y=~x~~2x—4

34.（21-22九年级上•甘肃武威•期中）抛物线＞=2。+1）2+7关于x轴对称的抛物线的解析式为.

35.（23-24九年级上•北京朝阳•期中）已知8（2,-3）两点在一次函数必=-》+加与二次函数

2

y2=ax+bx-3的图象上.

（1）求机的值和二次函数的解析式；

⑵请直接写出使时，自变量x的取值范围为；

（3）直接写出所求的抛物线%=a/+法-3关于x轴对称的抛物线的解析式为.

36.（23-24九年级上•吉林•阶段练习）如图，二次函数为=-/+6x+c的图象交x轴于点/（-3,0）和点

5（1,0）,交＞轴于点C,且点C、。是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数％=»7X+”的图

象经过点8、D.

（1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出不等式-r2+bx+c＜mx+n的解集为

十.线段最值问题（共3小题）

37.（22-23九年级上•山东东营•阶段练习）如图，已知抛物线＞=”+卧+4的对称轴是直线x=3,且与无

轴相交于43两点（8点在/点右侧），与了轴交于点C.

⑴求抛物线的表达式和4,3两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上5,C两点之间的一个动点（不与8,C重合），过点尸作x轴的垂线交直线8C于点

D,求PD的最大值以及此时点尸的坐标.

⑶在（2）的条件下，在对称轴上找一点。，使得QP+Q8的值最小，求出点。的坐标.

38.（23-24九年级上•山东泰安・期中）如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点46,0）,与轴交于

点8（0,-6）,抛物线经过点N,B,且对称轴是直线x=l.

/II

⑴求直线/的解析式；

⑵求抛物线的解析式；

⑶点尸是直线/下方抛物线上的一动点，过点P作尸C，x轴，垂足为C,交直线/于点。，过点P作

PM11,垂足为求行尸M+PZ)的最大值及此时尸点的坐标.

39.(23-24九年级上•辽宁营口•期中)如图，抛物线了=；/+8+。与x轴交于/(-2,0),8(4,0)两点，与

＞轴交于点C;点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点。，交BC与点、E.

⑵过点P作尸尸，3C交BC于点F,求斯的最大值及此时点E的坐标；

⑶如图②，点0是线段OC上一点，且连接。8,OR点P在运动过程中，是否存在。尸+3。

的值最小，若存在.请直接写出。尸+5。的最小值.

十一.面积最值问题（共3小题）

40.（23-24九年级上•福建漳州•期中）如图，二次函数的图象交x轴于N（T,0）,5（2,0）,交V轴于

C（0,-2）.

（1）求这个二次函数的解析式的一般式；

（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形NCMB面积的最大值，并

求出此时点M的坐标.

41.（23-24九年级上•浙江金华•期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=/+乐+。与x轴交于点

工（-1,0）"（3,0）,与y轴交于点C,作直线BC,点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点及c重

合），连结PS,PC,以尸5,PC为边作口CPBD,点尸的横坐标为加.

⑴求抛物线对应的函数表达式；

（2）当口CPBD有两个顶点在x轴上时，则点p的坐标为

⑶当口CP8D是菱形时，求机的值.

⑷当m为何值时，口CPBD的面积有最大值？

42.（23-24九年级上•湖北襄阳•期中）如图，已知抛物线y=#+6x+3与x轴交于点4（-1，0）,点/3,0）,

（2）当-2WxV2时，求二次函数了=ax2+bx+3的最大值和最小值；

⑶点P是第一象限抛物线上一动点，过点尸作x轴的垂线/,交BC于点、H,连接3P,CP,求ABPC面积

的最大值及此时点P坐标.

十二.全等三角形问题（共2小题）

43.（23-24九年级上•河南周口•期中）如图，抛物线y=/+6x+c的顶点坐标为（-1,-4）,与x轴交于4B

两点，与，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

⑵抛物线的对称轴为直线/，点尸是抛物线上一点，过点尸作/的垂线，垂足为D,E是/上的点，要使以

P、D、E为顶点的三角形与△NOC全等，求满足条件的点尸和点E的坐标.

44.(23-24九年级上•宁夏石嘴山•期中)如图，抛物线了=%2+法+0经过点(-2,5)和(2,-3),与x轴交于

两点，与，轴交于点C,它的对称轴为直线/,顶点为N

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接BN,CN,求ABNC的面积；

⑶P是该抛物线上的点，过点P作/的垂线，垂足为。,£是/上的点.要使以为顶点的三角形与小。。

全等，求满足条件的点P,点E的坐标.

十三.特殊三角形存在性问题(共2小题)

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45.(22-23九年级上，江苏盐城•阶段练习)平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-l)-+5与x轴交于4

5(4,0),与y轴交于点C.

y,

图i图2

⑴求抛物线的解析式，并直接写出点，，c的坐标；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使ABC尸是直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标，请说明

理由；

⑶如图，点朋r是直线3c上的一个动点，连接是否存在点M使最小，若存在，求出点M

的坐标，若不存在，请说明理由.

46.（23-24九年级上•内蒙古呼和浩特•期中）如图1所示，已知抛物线v=-/+6x+c与x轴交于4（一2,0）,

B（4,0）两点，与y轴交于点C.

⑴求抛物线解析式及点C的坐标；

⑵如图2所示，点尸是抛物线上第一象限的一点，4P交＞轴于点。，M.OA2=OCOQ,求点尸的坐标；

⑶若点N是直线了=2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点〃，使得ACW是

以点