广东省惠州市2024-2025学年高三第二次调研考试（期中）数学试题（含答案）

惠州市2025届高三第二次调研考试试题

数学

全卷满分150分，时间120分钟.

2024.10

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.

2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信

息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试

卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.已知集合/={x|2Wx<5},集合3={x|J—4x<0},则()

A.(O,5)B,[2,4)C,(4,5)D.(-^,0)O[2,+^>)

2.已知复数z满足z2+1=0,则|z+l|=()

A.3B.2C.lD，V2

3.已知等差数列{%,}前9项的和为27,40=8,则。⑼=()

A.100B.99C.98D.97

4.在正方体ABCD-451GA中，棱BC,同用的中点分别为E,F,则直线EF与平面ABBXA,所成角的

正弦值为()

A石RV6„275八而

5656

5.已知向量痴满足：1=(G,1)，W=叵(25-孙3=3,则向量B在向量方上的投影向量为()

55V31V31

~~A~，-7

6.已知函数/(x)=log2(x2—2ax),aeR,则“aWO”是“函数/(x)在(1,+“)上单调递增”的

()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将

“水滴”的轴截面看成由线段和优弧8C所围成的平面图形，其中点民C所在直线与水平面平

行，48和ZC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水

4

平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为一，贝Isin/氏4C=（）

3

8.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次

学生样本的数据中，结论一定成立的是（）

A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生

C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的

件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5』,3.则关于这组数据的结论正确的是（）

A.极差是4

B.众数小于平均数

C.方差是2

D.数据的第80百分位数为4.5

10.函数/（x）=/sin（©x+9）］幺>0,a>>0,网<的部分图象如图所示，现将/⑴的图象向左平移看

个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）

71

A.（p=----

6

B.6?=2

c.函数了=是奇函数

D.g（x）=2cos^2x-

11.如图，心形曲线£：必+3-国）2=1与少轴交于48两点，点尸是乙上的一个动点，则（）

A.点-^-,0和（-1,1）均在L上

B.|OP|的最大值和最小值之和为3

C.点P的纵坐标的最大值为

D.\PA\+\PB\<2y/3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在（X+1）5的二项展开式中，各项的系数和为.

22

13.椭圆―+券=1.〉b〉0）的左、右顶点分别是45,左、右焦点分别是斗心，若周,闺周,闺8|成

等比数列，则此椭圆的离心率e=

14.若关于x的方程ln（ax+g［=J/+1有实根，则下十尸的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分13分）

已知函数/（X）=-x-21m:.

（1）求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线方程；

（2）求函数/（X）在区间［l,e］上的最小值.

16.（本题满分15分）

如图，四棱锥尸―N8CD中，尸2，底面/8。。,/8〃。£>,/。=。£）=1,

NBAD=\2Q°,ZACB=90°.

（1）求证：8。，平面「2。；

（2）若尸Z=G，求平面尸CD与平面PC4夹角的余弦值.

17.（本题满分15分）

已知双曲线C:f—/=i及直线/：丁="一1.

（1）若/与C有两个不同的交点，求实数左的取值范围；

（2）若/与。交于48两点，。是坐标原点，且VO4B的面积为血，求实数左的值.

18.（本题满分17分）

记YABC的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB,tanC均为整数.

（1）求tanA,tariS,tanC的值；

（2）设ZC的中点为。，求NCDB的余弦值.

19.（本题满分17分）

若数列｛%｝（1<〃V左,〃eN*#eN*）满足4e｛0,l｝,则称数列｛4｝为左项0—1数列，由所有左项0—1

数列组成集合M*.

（1）若｛4｝是12项0—1数列，当且仅当〃=3p（peN*,P<4）时，4=0,求数列｛（—1）"。“｝的所有

项的和；

k

（2）从集合监中任意取出两个数列｛%｝,｛4｝,记X=XI4—修・

Z=1

①求随机变量X的分布列，并证明：E（x）>g；

②若用某软件产生后（左22）项0-1数列，记事件4="第一次产生数字1"，B="第二次产生数字

1"，且0<P（/）<l,0<P（8）<l.若尸（5⑶（尸（5团，比较P（即8）与尸（2z）的大小.

惠州市2025届高三第二次调研考试试题

高三数学参考答案与评分细则

2.【解析】因为z?+1=0,即z?=—1，所以z=±i,所以|z+土i[=yjl2+(+1)2=V2.

故选：D.

，、\9a,+36d=27

3.【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,由已知得：＜…。，解得q=-l,d=l,

%+9d=8

所以400=%+99d=-1+99=98.故选：C.

4.【解析】连接必，在正方体48CQ—中，平面4S44,棱8C的中点为E,

则平面而AFu平面4s44，故BELBF,

则NEFB即为直线EF与平面4叫4所成角,

设正方体棱长为2,则BE=\,BF=⑪尸+Bp=Vl+4=6，

则=JBF?+BE?=&，故sin/EFB=些~===旦.故选:B.

EFJ66

5.【解析】由W=&,（21—B）Z=3,得2展3—|3『=2展3—2=3,即=

__5

由己知得同=2,所以向量后在向量方上的投影向量为:・[:「鼠，2(g,i)_:百]]

故选：A.

/、/、\a<\1

6.【解析】若函数/(x)在(1,+。)上单调递增，则]_2a〉0'解得。<万，

所以“aWO”是“函数/(x)在(1,+。)上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.

7.【解析】设优弧所在圆的圆心为O,半径为R,连接0C.易知“水滴”的“竖直高度”为

QAp45

OA+R,“水平宽度”为2A,由题意知-------=—，解得CM=—R.因为AB与圆弧相切于点5,

2R33

所以08-8.在RtVNBO中，BA°=~0A==~5,又/5幺。<0,：

所以cos/"。=sin?NBAO=g,由对称性知，NBAO=/CAO,则/A4c=2/A4O,

3424

所以sin/R4c=2sinNB40cosNB40=2x—x—=一.故选：D.

5525

8.【解析】根据已知条件设理科女生有玉人，理科男生有工2人；文科女生有乂人，文科男生有私人；根

据题意可知：X]+x2>yx+y2,xi+yx>x2+y2,

根据同向不等式可加的性质有：X1+x2+X；+V[>yl+y2+x2+y2,即西〉当，所以理科女生多于文科

男生，C正确.

其他选项没有足够证据论证.

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

题号91011

全部正确选项ADABDACD

9【解析】数据从小到大排列为：1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.

对于A,该组数据的极差为5-1=4,故A正确；

1x2+2+3x44-4+5x2

对于B,众数为3,平均数为=3,两者相等，故B错误;

10

对于C,方差为，[(1—3)2x2+(2—3)2xl+(3—3)2x4+(4—3>xl+(5—3)2x2]=1.8,故C错误;

对于D,10x80%=8,这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D正确.故

选：AD.

10.【解析】由图像可知：/(x)max=2,/=2；

17r7T

又/⑼=2sin°=—l,故sin°=—5,又网＜万，所以°=—1所以A项正确；

(7兀、(77T兀、7兀7T

已知/==2sin一：=0，由五点作图法可知：——。一一=71,解得：0=2，所以B项正

[12J1126)126

确；

故/(x)=2sin[2x-t]；贝切1》+1]=2xsin2x,设”(x)=切1》+1]=2xsin2x,

J^/z(-x)=2(—x)sin(-2x)=2xsin2x=/z(x),所以函数^=犷[x+尚]是偶函数，故C项错误；

7171c.c兀c兀71c7兀1

g(x)=/x+-=2sin2x+--—2sin2xH——2cos—2xH—

666626

—2cos—2x)=2cos[2x——71j,所以D项正确;

3

故选：ABD.

/

n.【解析】A选项，经验算，点\-,oJ和的坐标满足曲线心的方程:x2+(y-\x\)2=1,所以点

万-,0和(—1,1)均在£上，故A项正确;

B选项，Q0|=次+/,因为曲线上：必+⑶―国)2=1关于少轴对称，当x»0时,

7171

X2+(J-X)2=1,设》=(：05仇^一》=5也仇。6

2；2

22222+

所以|OP|=x+y=COS6(+(cos^+sin6^)=1++sin26,

oi3/5|

二—+sin28+—cos2e=—H-----sin(28+0)，其中tan0=5,

22222

所以|。尸|的最大值和最小值之和为

,故B项错误;

C选项，因为曲线£：必+3-国)2=1关于y轴对称，当X20时，x2+(j-x)2=1,则

(J-X)2=l-X2,所以y=X±Jl-x2,因求点尸的纵坐标的最大值，故取y=x+J12,

又y2=(x+J]—/)=l+2xjl-J=1+2y1x2<l+x2+(^l-x2^=2(当且仅当/=；时等号

成立)，所以故C项正确；

D选项，|尸闻+|产口<2百等价于点尸在椭圆[+]=1内(包含椭圆)，由B项可知，即满足：

2(cos^+sin^)2+3cos2^<6,即2(l+sin26)+亚等型W6,整理得：

3

4sin29+3cos2。W5,即5sin(29+〃)<5,其中其中tan/?=w，即sin(28+〃)<1恒成立，则故D项

正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.3213.—14.e

5

12.【解析】当x=l时，二项式展开式各项的系数和为25=32.故答案为：32.

13.【解析】由题意知|4用="°,闺闻=2c,闺5|=c+a,且三者成等比数列，贝U阳周2=以胤.区同

即4c2=(c-a)(c+a)=c2-q2,所以92=(,所以e二=好.故答案为：见.

55

14.【解析】设方程ln[ax+g[=的实根为天,则ln]axo=Jx；+->

所以ax。+《=X。,即a/+《—U"4=0.

设点P(a⑼，则点尸在直线XoX+事—e*=0上.

设点0(0,0)到直线xox+1-e^=0的距离为d,则

求得/«)在p1上单调递减，在［1,+。)上单调递增，所以/«)mm=/(l)=e,

则d=/(/)»e,又a2+b2=|0尸「，由几何意义可知|OF|2d,所以/=Q0陞e?.

r-y/3b_a=^-e

a+2

检验：当f=l时，x0=±—,由<22,解得，；

2222

a+b=Qb=-

L2

_V3

V3b_nQ---------e

2

由J22，解得＜，所以则/+尸可以取到最小值e2.

a2+b2=e2b=-

2

故答案为：e2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分，其中第一小问6分，第二小问7分.)

【解析】(1)因为：/(1)=1-1-0=-1,所以切点坐标为：［1，一g］，

2

又/,(x)=x-l一，

JC

所以/'(1)=-2,

即所求切线的斜率为-2.

所以切线方程为：j+1=-2(x-l),

化简得：4x+2y—3=0,

所以曲线>=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为4x+2y-3=0.

(2)===5—2*+1)L

由/'(x)〉0得x>2；由/'(x)<0得0<x<2.

所以/(x)在［1,2］上单调递减，在［2,e］上单调递增.

所以函数/（X）在区间［l,e］上的极小值为/（2）=-21n2,也是最小值.

所以函数/（x）在区间［l,e］上的最小值为—21n2.

16.（本小题满分15分，其中第一小问5分，第二小问10分.）

【解析】（1）证明：已知尸底面Z8CD,且BCu底面Z8C。，

所以「幺，8c.

由N4C8=90°，可得

又尸4c4C=4尸4/Cu平面尸ZC,

所以8CL平面P4C.

（2）取CZ）的中点E.由ZB〃CD,/A4D=120°,可得/4。。=60°，

又因为ZD=CZ）=1,所以三角形/£）C是正三角形，

故ZEJ.CZMEL48.

在RtVNCB中，^BAC=60°,AC=l,所以25=2.

可建立如图所示的空间直角坐标系，

求得N（O,O,O）,P（O,O,G）,c［g,go"l5，To,5（0,2,0）,

由（1）可知，BC是平面R4C的一个法向量,

DC-n=Q

设平面PDC的一个法向量为n=a,b,c),贝i]<

PC-n=Q

仿=0

即惇"一及=0

令a=G，得方=

设平面PCD与平面PCA的夹角为0,

3

所以cos，=卜05<5C,万>2

所以平面PCD与平面PCA夹角的余弦值为

p\

17.（本小题满分15分，其中第一小问7分，第二小问8分.）

x2—y2=1

【解析】（1）直线/与双曲线。有两个不同的交点，则方程组〈；有两组不同的实数根,

y=kx-l

整理得（1-左2卜+2京一2=0.

左2wo

＜△=4左2—40—左2）.（_2）〉0，

解得-尤〈左〈血且左工±1，双曲线C与直线/有两个不同的交点时，上的取值范围是

（2）解法一：设交点工（和必）,5（工2，夕2），

由（1）知双曲线C与直线/联立的方程为（1—/）》+2日—2=0.

2k2

由韦达定理得:石+"一可卬…匚记’

2

=J1+32'2kI-42

1-k2l~k2

,1

又。到直线I的距离d=,——-

J1+k2

=^-d=J^\=^>

所以V048的面积Sv.B

解得左=0或左=±逅,

2

又因为—也＜左＜&且左H±l,所以左=0或左=±

所以当左=0或左=±告时，VO4B的面积为行.

解法二:设交点/&,%）,3（孙％）,直线/与V轴交于点。

由（1）知双曲线。与直线/联立的方程为（1—左2卜+2丘-2=0.

2k2

由韦达定理得:X]+/=左2/，

S

当48在双曲线的一支上且|西|〉上|时，SVOAB=MOAD-九期=；（|石H》2I）=；|再_|；

当43在双曲线的两支上且石>'2时,Sv。”USVO/Q+SVO",=，|西|+|工2|）二；|七一工2|

综上，SVOAB=||x1-x2|.

由已知得Sv6MB-X2|-41,故（X]_%2）2=8,即（玉+工2）2-4x^2=8

2

2k2

所以-I-4二8，

l-k21-k2

解得左=0或左=±逅,

2

又因为一夜〈左〈应且左片士1,所以左=0或左=土坐.

所以当左=0或左=±告时，VO4B的面积为行.

18.（本小题满分17分，其中第一小问10分，第二小问7分.）

【解析】（1）由a<b<c,则N<8<C.

兀

由N+8+C=TT,则N+8+C>3Z,故0<Z<一,

3

所以0<tanA<V3

因为tarM为整数，所以tark4=l,

7T371

解法一：由taib4=l,可得4=—,5+C=——.因为4<3<C,所以5为锐角,

44

兀兀兀一兀

则一<8<一,所以一<C<一,

4242

所以角48,C均为锐角，所以tarU,tan5,tanC均为正整数,

又tanA=1,所以tanC>tan5>2，

A一I-tan。

由tan5=tan------------>2,

I—tanC

解得tanCW3,所以tan5=2,tanC=3.

综上，taiU=l,tan5=2,tanC=3.

经检验，当12必=1/2118=2时，因为tan(Z+8)=网吆网竺=上巳=—3=—tanC

1-taiL4taii81-1x2

所以幺+8+C=TT,符合题意.

7T3兀

解法二：由taM=l,可得4=—,B+C=一

44

3冗

因为/<3<C,所以一=3+C>28,则一<8〈一,

448

3兀

所以I<tan5<tan—.

8

,3兀

2tan—

,3兀1t-.I?3兀_3兀1_

由tan——_____8——I,则tan-----2tan------1=0,

1.23兀

41—tan—88

8

解得tan里=1+或tan包=1—（舍去），

88

故1<tan5<1+V2，

又2<1+夜<3/211»为正整数，所以tan5=2,

taib4+taaS

所以tanC=—tan(4+8)=-^-=3,

I-tanyltaiiBl-lx2

综上，taiU=1,tanS=2,tanC=3.

(2)由(I)可知，tan5=2,tanC=3,则sing=?"，cosC=,sinC=3^^

51010

a_b_c

在V45C中，由正弦定理.7isin5sinC，

sm—

4

QsiaS2V10(2asinC345a

可得b=~V=^，c=—v==,

sm—sin—

44

又ZC的中点为。，所以。。=，6=巫9,

25

在V48c中，由余弦定理得：BD2=CD2+CB--2CD-CB-cosC

=+/-2x^所以，

I5J510

所以cos/CDB=cosC=巫.

10

19.(本小题满分17分，其中第一小问4分，第二小问7分,第三小问6分.)

【解析】⑴因为｛4｝是