高考数学专项复习：向量（原卷版）

专题05向量专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪

花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，

又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：

从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉

底边，重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为6,则图③中亚.两的值为（）

2.（2023•全国•高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非

常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点

的多边形为正五边形，且篝=理.下列关系中正确的是（）

A.BP-TS=^-^-RS

2

B.CQ+TP=J^-TS

C.ES-AP=J^BQ

D.AT+BQ=^-CR

3.（2023・全国•高三专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称

为三角形的欧拉线，设点QG,“分别为任意AABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

C,和=.+2而D,己=2丽+两

33

4.（2021秋・山东威海•高三统考期中）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导

方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任

意平面向量AB=（%,y），把通绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量Q=（%cose-ysina%sine+ycos。）,

叫做把点3绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点尸，已知平面内点A（l,2）,点5（1-后,2+2后），点3绕点

TT

A沿顺时针方向旋转今后得到点P,则点P的坐标为（）

4

A.（1,3）B.（-3,1）C.（2,5）D.（-2,3）

5.（2022•高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开

人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知

其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45。后的正方形组合而成，已知向量7,k，则向量Z（）

A.2n+3kB,(2+0)〃+3无

C.(2+a+(2+kD.(1+〃+(2+%

6.（2022春•黑龙江黑河・高一嫩江市高级中学校联考阶段练习）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平

面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切，A、B、C、。是其中

四个圆的圆心，则荏.丽=（）.

图1

图2

A.14

B.26

C.38

D.42

7.（2022・全国•高三专题练习）伟大的法国数学家笛卡儿（Descartesl596〜1650）创立了直角坐标系.他用平

面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被

称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难

度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形ABC中，。是线段上的点，AB=3,

BD=2,则福•国5=（）.

A.3B.6C.9D.12

8.（2021春・福建福州•高一校考阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数

学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形

ABC。中，AASC满足“勾3股4弦5"，且AB=3,E为AD上一点，跖，AC.若屁=彳丽+〃血，贝1|彳+〃

的值为（）

9.(2022春・北京•高一北京市第二十五中学校考期中)据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家,

曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有AABC满足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,3c=4,点。是CB延长线上的一点，则衣.正=()

A.3B.4C.9D.不能确定

10.(2022•全国•高三校联考阶段练习)黄金分割［Go/de”Sec，。“)是一种数学上的比例关系.黄金分割具有

严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14

一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大

多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形

(GoldenRectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形

能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很

好的例子，达・芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后

的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金

分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于

该部分之比，黄金分割比为好匚。0.618.其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它

2

是我国数学家独立创造的.如图，在矩形ABCD中，AC,8。相交于点。，BFJ.AC,DHLAC,AE±BD,

CG1.BD,屁=由二1■丽，贝1」丽=()

2

A.^HBA+^JIBGB.三!l京+-H的

210210

D.三好而+好旃

c.昱i京+三a的

21025

11.（2022秋・宁夏银川・高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱

满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾.如图，48是圆。的一条直径，且|AB|=4.C,。是圆。上

的任意两点，IC。1=2,点P在线段8上，则西.而的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[V3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

12.（2023•全国•高三专题练习）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易

侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆抬，PB,PC,的一端P在垂直于水

平面的塔柱上,另一端A,3,C,。与塔柱上的点。都在桥面同一侧的水平直线上.已知AB=8m,30=16m,

PO=12m,而.无=0.根据物理学知识得而+而）+：（正+而）=2可，贝|CD=（）

塔M

A.28mB.20mC.31mD.22m

13.（2022•全国•高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵

爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若次=肩，成=小

AF=^AE,则温=()

6-4-4-6-6-9-9-6一

A.一m-\—nB.一m-\—nC.一m-\—nD.一m-\—n

1313131313131313

14.（2022春•江苏南京•高三金陵中学校考阶段练习）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶

恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致

的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点。，

A,两动点3,Q,且|西卜|砺|=1,次绕点。逆时针旋转到砺所形成的角记为6.设函数

l,x>0

“e）=4-sign（，）-sin5（9,（-%WdWq）,其中，sign（x）=<0,x=0,令p=于（。）,作丽=夕丽随着。的

-l,x<0

变化，就得到了。的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中,点。的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（）

/

图①图②

,Q

il

D.

15.（2023秋•云南・高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的

汉族传统民间艺术之一，它历史擢久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔

断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFG//的边长为2立，M是正八边

形ABC-DEFGH边上任意一点,则加.初的最大值为（）

乙

28+80C.26+160D.24+160

16.（2022•全国•高三专题练习）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响.如图是受“八

圭卜''的启示，设计的正八边形的八角窗，若。是正八边形ABCDEFGH的中心，且|通|=1,则（）

A.正与丽能构成一组基底B.ODOF=Q

____R

C.OA+OC=42OBD.ACCD=^-

17.（2022春・广东揭阳.高一校考阶段练习）“圆累定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个

结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆。的

半径为2,点P是圆。内的定点，且。尸=0，弦AC、8。均过点P,则下列说法正确的是（）

'B

A^--------7

A.可.无为定值B.加.玩的取值范围是[-2,0]

C.当AC13。时，9.历为定值D.|恁，明的最大值为12

18.（2021春・江苏常州.高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）（多选）古代中国的太极八卦图是以同圆内

的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，

互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八

边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设。4=1.则下述四

个结论，正确结论是（）

图1图2

A.以直线为终边的角的集合可以表示为|aa=—+2k兀,keZ

B.在以点。为圆心、Q4为半径的圆中，弦A3所对的弧长为了

4

C.Ok-OD=—

2

D.丽=（-&-吟

19.（2022.甘肃张掖.高台县第一中学校考模拟预测）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型

图，其平面图形记为图2中的正八边形A8CCEFGH,其中。4=1,则下列结论正确的有（）

E

B.OB+OH=-y[iOE

C.AHHO=BCBO

D.向量瓦在向量荏上的投影向量为-浮荏

20.（2020春・广东东莞•高一校考阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定

理则被称为欧拉线定理.设点O、G、”分别是AABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（）

A.GA+GB+GC=0B.AB+AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.|Q4|=|OB|=|OC|

21.（2021・全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是AASC内的一点，ABOC,AAOC,AAOB的面积分别

为S”SB,Sc,则名・次+SB•砺+Sc•元=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个

定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的/ogo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若。、P是锐角

AABC内的点，A、B、C是44SC的三个内角，且满足西+而+=OAOB=OBOC=OCOA，

B.ZA+ZBOC=n

C.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

三、填空题

22.（2020秋•四川成都•高一成都七中校考阶段练习）早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，

就提出了宛田（扇形面积）的计算方法:“以径乘周，四而一（直径与弧长乘积的四分之一）.已知扇形498的弧

长为2匹面积为6肛设"+西叫同，则实数2等于.

23.（2022秋•四川内江•高三四川省隆昌市第一中学校考开学考试）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的

古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴

阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,尸是正八边形

ABCDEFGH所在平面内的一点，则西.方的最小值为.

24.（2022秋・全国•高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为

《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.

类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大

等边三角形，且=2AF,点M为A3的中点，点尸是心£尸内（含边界）一点，^.MP=AMD-MB,

则A的最大值为.

c

25.（2022•全国•高三专题练习）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）

是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形ABCDEFGH,若9=1,则］W•理=.

图⑴图⑵

26.（2022春•福建泉州•高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理

被称为欧拉线定理.已知AABC的外心为。，重心为G,垂心为H,M为8c中点，且AB=5,AC=4,则

下列各