分式（讲练）-2023年中考一轮复习

2023耳中考核老总复习一裕耕依恻（）

第一章克极易式

专题03台K（饼株）

复习目标

热身练习

分式基础橱里

考点一分式的有关概念

考点二分式的基本性质及应用

考点三零指数幕和负整数指数幕

深度讲练

考点四分式的四则运算

考点五分式的化简求值

1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.

2.利用分式的基本性质进行通分和约分.

3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题

1.（2022•衢州）计算结果等于2的是（）

A.|-2|B--|2|C.2rD.(-2)0

【分析】根据绝对值、负整数指数幕、零指数累解决此题.

【解答】解：A.根据绝对值的定义，|-2|=2,那么/符合题意.

B.根据绝对值的定义，」2|=-2,那么3不符合题意.

C.根据负整数指数累，2-1=去那么C不符合题意.

D.根据零指数哥，（-2）°=1,那么。不符合题意.

故选：A.

1

2.（2021•宁波）要使分式一有意义，％的取值应满足（）

A.XW0B.-2C.Q-2D.x>-2

【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案.

【解答】解：要使分式工有意义，则x+2W0,

%+2

解得：x#-2.

故选：B,

12

3.（2021•金华）一+-=（）

Cld

323

A.3B.—C.-7D.—

2aa4a

【分析】根据同分母的分式的加减法法则计算即可.

121+23

【解答】解：一+—=---=一，

aaaa

故选：D.

Ill

4.（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式;=-+-（vW/）表示，其中/表示照相机镜头

fuv

的焦距，〃表示物体到镜头的距离，y表示胶片（像）到镜头的距离.已知/,v,则〃=（）

.fvf-v「加nv-f

A.--B.——c•西D-~

f—vfv

111

【分析】利用分式的基本性质，把等式1=-+-（vW/）恒等变形，用含八v的代数式表示〃.

fuV

111

【解答】解：：=一+-（vW/）,

fUV

111

一二一十一,

fUV

1._11

ufV

1v-f

ufv'

fv

u=

v—f'

故选：c.

a+1

5.（2022•湖州）当a=l时，分式——的值是2.

a

【分析】把。=1代入分式计算即可求出值.

【解答】解：当。=1时,

原式=理=2.

故答案为：2.

6.（2022•温州）计算：』+金=2.

xyxy

【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可.

【解答】解：原式"2+七yr2,

xy

=2%y

-xy'

=2.

故答案为：2.

%+11

7.（2020•湖州）化简：>------=——.

才+2%+1%+1—

【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案.

%+1

—（x+1）2

1

—x+1,

故答案为：

%+1

8.（2021•湖州）计算:2义2一】=1.

【分析】直接利用负整数指数累的性质计算得出答案.

【解答】解：2X2-i=2x±=l.

故答案为：1.

9.（2021•丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题:

bct

已知实数a,6同时满足Q2+2a=b+2,b1+2b=a+2,求代数式一+：的值.

ab

a=b,结果壬］（

不一定相等f

小王.

小云

结合他们的对话，请解答下列问题：

（1）当a=b时，a的值是-2或1.

（2）当aWb时，代数式2+，的值是7

ab

【分析】（1）将a=6代入方程，然后解一元二次方程求解;

(2)联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得/+y和仍的值，然后将原式通分化简,

代入求解.

【解答】解：(1)当时，a2+2a=a+2,

cP'+a-2—0,(a+2)(a-1)=0,

解得：a=-2或1,

故答案为：-2或1；

旺一十百用面+2a=b+2①

(2)联乂万程组…cN，

俨+2b=a+2@

将@)+包)，得：a^+b^+2a+2b=b+a+4>

整理，得：a2+b2+a+b=4(3),

将①-②，得：a2-P+2a-2b=b-a,

整理，得:a2-b2+3a-36=0,

(a+b)(a-b)+3(a-b)=0,

(a-b)(a+b+3)=0,

又,：a手b,

.*•a+b+3=0,Bpa+b=-3(4)»

22

将④代入③，得》+"-3=4,BPa+b=7f

又,:(a+b)2=a2+2ab+b2=9

・・ab=1,

bab2+a2

♦•q+^=F=7'

故答案为：7.

工29

10.(2021•衢州)先化简，再求值：-~+~—，其中x=L

%—33—x

【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案.

【解答】解：原式=三—2

_%2—9

一X—3

_(x+3)(x—3)

-x—3

=x+3,

当x=l时，原式=1+3=4.

11.（2022•衢州）（1）因式分解：a2-1.

CL—11

(2)化间：n+Zp

【分析】（1）应用因式分解-运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案;

（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分,

异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案.

【解答】解(1)a2-1=(a-1)(a+1)；

a-11112

(2)-n-+---=---+---=----.

a'—1a+1a+1a+1a+1

111

111111+

---一

12.(2022•舟山)观察下面的等式：-=-+-=-+45

乙。U。TT_L乙20

（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含〃的等式表示，〃为正整数）.

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含〃的等式表达即可;

（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式.

111

【解答】解：（1）观察规律可得：-二下+丁不；

nn+1n（n+l）

11

(2)---+-------

n+1n(n+l)

n

-E+击

n+1

n(n+l)

_1

-n

111

=---+-------.

nn+1n（n+l）

13.（2022秋•拱墅区校级期中）（1）已知胃=7,求2（a地_7°的值.

a—ba—b3（a+b）

（2）求当a=W,b=-1时代数式-2a2b-a+3ba+a2的值.

【分析】（1）根据题意求出=3代入计算即可；

a+b7

（2）把a、b的值代入代数式，根据实数的混合运算法则计算，得到答案.

a+b

【解答】解：⑴V—=7,

.a—b1

'a+b7'

11120

则原式=2X7-xy=14—=13^"；

(2)当a=K，b=-1时，

-2a2b-a+iba+a2

=-2X(V3)2X(-1)-V3+3X(-1)xV3+(V3)2

=2X3X1-V3-3V3+3

=6-V3-3V3+3

=9-4V3.

1.分式的基本概念：

(1)形如4(/,8是整式，且鱼中含有字母，旦W0)的式子叫做分式.

B

(2)当3W0时，分式《有意义；当2=0时，分式义无意义；当4=0且2W0时，分式4的值为零.

BBB

(3)最简分式需满足的条件：分子、分母没有公因式.

2.分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变，用式子可表示为4="丝，4=

BB乂MB

土A—4M(其中M是不等于零的整式).

B+M

3.分式的约分、通分：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做分式的通分.

4.分式的运算法则：

(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何西个，分式的值不变.

由37十一在aa~a—aaa—a

用式子表不为：-=----==-，--=-­=.

b-b~bbb-bb

(2)分式的加减法：

同分母相加减：-±-=—;

CCC

异分母相加减：。土

acac

(3)分式的乘除法：

4—.a^c=qd

bdbdbdbe

(4)分式的乘方：

为正整数）•

5.分式的混合运算：

在分式的混合运算中，应先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简，最后进行加减运算.若有括号,

先算括号里面的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式.

【变式训练】

考点一台式的彳美概念

7712—4

例1.（2021春•奉化区校级期末）当冽为何值时，分式r----7的值为°?

m—m—6

【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算.

【解答】解：由题意得，m2-4=0,m2-m-6T^0,

解得，m=2,

则当加=2时，此分式的值为零.

【变式训练】

■X—2

1.（2022春•嘉兴期末）要使分式7人丁屋有意义,x的取值应满足（）

（%—2）（%—3）

A.%W2B.%W3C.xW2或xW3D.xW2且

【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：（％-2）（x-3）W0,

J・xW2且xW3.

故选：D.

x—1

2.（2022春•温州期末）若分式~~7的值为0，则%的值是（）

2%+1

11

A.-4B.0C.-D.1

22

【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案.

【解答】解：・・・1-1=0且2%+lWO,

・・x=1.

故选：D.

3.（2。22春•拱墅区期末）若分式上值为正数,则x的值可能为（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据题意列出不等式即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：x-2>0,

故选：D.

%一b

4.（2022春•乐清市期末）当x=3时，分式一宗没有意义，则b的值为（）

x+2b

33

A.-3B.-4C.-D.3

22

【分析】当x+2b=0时，分式没意义，把x=3代入x+26=0,求得b的值.

Y—b

【解答】解：•••当x=3时，分式一了没有意义，

x+2b

.".x=3时，x+2b=0,

b=—

故选：B.

5.（2022春•西湖区校级期末）某人从/地到8地的速度为vi,从8地返回/地的速度为V2,若viWv2,

则此人从A地到B地往返一次的平均速度是（）

也+"2V1+V2

.B.

2%也2

C.以上都不对

【分析】根据平均速度=总路程+总时间来解答.

【解答】解：本题没有43两地的单程，可设为1,那么总路程为2,

总时间为—+—,平均速度=2+（—+—）=之罄.

V1V2V1V2vl^v2

故选：C.

考点二台式的基点植质&青用

例2.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数.

-2x-l

(1)-

3—x

(2)—2—

—X2+2

【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可.

【解答】解：（1）原式=一空生

x—1

（2）原式=急.

【变式训练】

1.（2022春•海曙区校级期中）若把的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

x+2x—2C,9xy

A.——B.——D.

y+2y-2x-yx+y

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解“再3%+2^屈，故/不符合题意.

3%—2X—2

B、，故2不符合题意.

3y—2y—2

*=也，故。符合题意.

3x—3yx—y

丹故。不符合题意.

D、

3%+3y%+y

故选：C.

2.（2022春•普陀区期末）如果把分式户二中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（）

3x—y

A.缩小3倍B.不变C.扩大3倍D.扩大9倍

【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得:

3x-3y3xy

3-3x—3y3x—yf

如果把分式4中的X，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍,

3x—y

故选：C.

05%—1

3.（2022春•上虞区期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为

0.3%4-2

)

0.5x—15%-10

A.----------B.----------

3x4-20.3%+2

5%-15%-10

C.--------D.----------

3x+23x+20

【分析】利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.把

原分式的分子分母同乘10,再进一步计算即可.

■K0-0.5x—1(0.5x—1)x105x—10

解口解：0.3x+2=(0.3x+2)X10=3x+20'

故选：D.

4⑵22春.滨湖区校级期中)己知5x=(v=7z则U2x+v—忑z=—39一

【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到X、八Z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值.

xVzLx-\-y—z4k+3k-4k3k3

【解答】解：设747=左，贝Ux=2k,y=3k,z=4k,则^---

2343x—2y+z6k—6k+4k4k4

故答案为;.

4

考点三家泰照察和负叠核器破零

例3.(2020春•安吉县期末)计算：(-2)3+(ir-3)°.

【分析】先计算乘方和零指数累，再计算加减可得.

【解答】解：原式=-8+1=-7.

【变式训练】

1.(2021•下城区一模)下列计算结果是负数的是()

A.2-3B.3~2C.(-2)3D.(-3)2

【分析】直接利用负整数指数幕的性质以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案.

【解答】解：/、2-3=1,故此选项不合题意；

B、3一2=/，故此选项不合题意；

C、(-2)3=-8,故此选项符合题意；

D、(-3)2=9,故此选项不合题意；

故选：C.

2.(2021•温州模拟)计算|-2|+2-1的结果是()

111

A.-1-B.0C.1-D.2-

【分析】直接利用负整数指数幕的性质化简得出答案.

11

【解答】解：|-2|+2-1=2+9=27

故选：D.

3.(2022春•东阳市期末)计算：2022°-(1)[=-1.

【分析】根据零指数幕的意义以及负整数指数哥的意义即可求出答案.

【解答】解：原式=1-2

-1,

故答案为：-1.

4.（2022•丽水）计算：V9-（-2022）0+21

【分析】分别根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幕等于1以及负整数指数幕的意义计算即可.

【解答】解：原式=3-1+々

=2、十+2-

5

=2,

5.（2021春•惠来县期末）计算：（—3）2+（*）-1+（兀—3）°.

【分析】直接利用负整数指数幕的性质以及零指数基的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=9+2+1

=12.

考点四台式的四则运算

例4.（2022•临安区一模）以下是方方化简（Q—1+击）+彳誉的解答过程.

解：原式=d-l+l).毋

2X

二0

_a2+a

—a+2

方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程.

【分析】根据分式运算法则作出判断，并写出正确解答.

【解答】解：方方的解答过程有错误，正确解答过程如下:

rgix_ct2—1+1a（a+2）

原式=a+1+a+1

2

—_a__•---a--+--1---

a+1a（a+2）

a

=a+2,

【变式训练】

1.（2022春•钱塘区期末）下列分式中，最简分式是（）

a+14a2aa+b

A.f----B.-----yC.-----D

az—l6bcz2—a-

【分析】利用最简分式定义进行分析即可.

【解答】解：A.该分式的分子、分母中含有公因式（a+1）,不是最简分式，故此选项不符合题意;

该分式的分子、分母中含有公因数2,不是最简分式，故此选项不符合题意；

C、该分式是最简分式，故此选项符合题意;

D、该分式的分子、分母中含有公因式（a+b）,不是最简分式,故此选项不符合题意;

故选：C.

2.（2020春•江北区期末）计算^---（加2一4）的结果是（）

2—m

A.m2-4B.4-m2C.m2-4m-4D.-m2-4m-4

【分析】根据分式的乘法法则、完全平方公式计算即可.

2+?71

【解答】解：--Cm2-4）

2—m

_（+2）（-2）

2—mm

=-（m+2）2

--rrr-4m-4,

故选：D.

3.（2022春•竦州市期末）下列运算正确的是（）

112112

A.一十-=—B.-------------=f-----

2aa3aa—1a+11

3b2ab12b2b3

4a•9庐—63ab2

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断.

【解答】解：/、原式=克+/=4，不符合题意；

B、原式=瑞普先=言,符合题意；

C、原式=/，不符合题意；

D、原式=与筹’不符合题意•

故选：B.

4.（2022春•竦州市期末）如图，若x为正整数，则表示；，°一一；的值的点落在（）

X2-6X+9X+1

①②③④

/.、、一，，、、一♦、一，、.

0.150.451.051.652.25

A.①B.②C.③D.④

111

【分析】先将分式化简、变形为一1，由X为正整数知一41,据此可得「从而得出答案.

1+-X1+-

XX

・5(%-3)21

【解答】解：--,n~—

xz—6%+9%+1

_(x-3)21

=(x-3)2-x+1

=1-冷

X

%+1

1

1+j'

为正整数,

1

.,.一<L

x

11

142

X

0—3)21

••X</J\-O-不的值的点落在②.

%2—6%+9

故选：B.

5.(2020•乐清市一模)(1)计算：it0-V9+-2

“eX2—162%—8

⑵化简：K+k

【分析】(1)运用零指数基、负整数指数基法则计算即可;

(2)先分解因式，然后约分.

【解答】解：(1)原式=1-3+9

=7；

(2)原式=。+丝-4)4%

2(%-4)

=2x；

4%2

6.(2022春•定海区期末)化简：^―--

4%—2

4%2

言言同学的解答如下：2.一~7=4%-2(%+2)=2%+4.

片一4x—2

言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.

【分析】利用分式的基本性质通分后化简即可.

【解答】解：不正确，

4x2(%+2)

通分得:

(%—2)(%+2)(%—2)(%+2)

_4x—2(x+2)

一(%—2)(x+2)

2(%—2)

(%—2)(%+2)

2

x+2,

考点五台式的也简或值

例5.(2021•永嘉县校级开学)计算:

先化简，再求值：(1-工+黄)十高3P其中x的值是一元二次方程f+x-6=0的解.

【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出

X2+X=6,最后代入求出答案即可.

【解答】解：(一久+锦)+京3

(1—x)(H-x)+2x—1x—2

=^+1+.+1)2

=1-M+2十-l_(x+l)2

―^+1x-2

_-X2+2X,(^+1)2

-x+1x-2

=-x(x—2).0+1)2

-x+1-°x-2

=-X(x+1)

-x2-X,

Vx2+x-6=0,

・・，+工=6,

・••原式=--%=-(x2+x)=-6.

【变式训练】

—2%4-121

1.(2022秋•西湖区校级期中)先化简再求值：-------(2-%一3),其中x=(2-2V3)°+(-)-1.

%+2%十/2

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据零指数幕和负整数指数幕的运算法则求出X,代入

计算即可.

。一1)2.4一/3

【解答】解:原式=

x+2,%+2x+2

22

_(x—l)e1—X

—x+2-x+2

=0-1)2、%+2

e

%+2(x+i)(i-x)

_1-x

=FP1,

当x=(2-2V3)°+(}i=l+2=3时，原式

31in

2.(2022•定海区校级开学)先化简，再求值：(丁；一一)•学，其中x=2.

【分析】根据分式的加减运算以及乘法运算法则进行化简，然后将X的值代入原式即可求出答案.

【解答】解：原式=语界1•出

(%十J)X

—X%+3

(x+3)(x—3)x

1

=-FZ3,

当x=2时，

原式=一白

=1.

3.(2022春•余姚市校级期