吉林省四校联考2024-2025学年高二年级上册第一次月考 数学试题（含答案）

2024〜2025（上）高二年级第一次月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上

作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章〜第二章2.3.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线x+gy—2=0的倾斜角为（

2.若4:x—冲—1=0与4：（机—2）x—3y+l=0是两条不同的直线，则=—1”是“”的（

）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.3知直线/的一个方向向量成=（3,—2,1）,且直线/经过/（a,2,-1）和3（—2,3,6）两点,则a+6=（

）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知空间向量值=（2,3,1）,B=2,—2）,则d在B上的投影向量为（）

--2-2-

A.2bB.—2bC.-bD.——b

33

5.下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

B.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

C.直线可以由其上一点和它的方向向量确定

D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量

6.在平行六面体中，点尸是线段2。上的一点，且尸。=3尸8,设47=万，

函=3,击=乙则西=（）

A.uH—bH—cB.—cibH—c

24444

c-l13-1-31_

C.—ciH—bH—cD.-a—brH—c

44444

3

7.如图，直线y=：x+3交x轴于点H将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O,另两个顶点

3

M.N恰好落在直线y=\x+3上.若点N在第二象限内，则tan/NON的值为（

**

x

8.在棱长为2的正方体48CQ-44GA中，既是正方体45CD-4用。12外接球的直径，点尸是正

方体45CQ-481GA表面上的一点，则而•方的取值范围是（）

A.[-2,0]B.[-1,0]C.[0,1]D.[0,2]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若空间向量限B满足同=W，则

B.空间任意两个单位向量必相等

C.在正方体45CD—451GA中，必有丽=丽

D.空间向量值=（1,1,0）的模为J5

10.已知两条平行直线/]：x-y+l=0和/2：%-了+掰=0之间的距离小于血，则实数力的值可能为（

）

A.0B.1C.2D.-1

11.如图，在棱长为2的正方体45CQ—481G2中，E为8片的中点，尸为42的中点，如图所示建

立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）

A.DB、-3V2

B.向量次与有所成角的余弦值为运

15

C.平面/£尸的一个法向量是(4,-1,2)

D.点。到平面/跖的距离为与包

21

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线乙的斜率尢，左2是关于左的方程2r+8左+"=0的两根，若小则实数

n=.

13.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标

纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为/、B、C,|ZC|=2,|48|=26，18cl=4.现移动边

AC,使得点/、C分别在x轴、〉轴的正半轴上运动，则|。刈(点。为坐标原点)的最大值为

14.已知空间向量1=(1,1,1),3=(0/,1)(00<1)，则cos^W最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知直线4++1=0,Z2:2x-v-4=0,Z3:3x+v-1=0.

(1)若这三条直线交于一点，求实数机的值；

(2)若三条直线能构成三角形，求实数加满足的条件.

16.(本小题满分15分)

如图，在直三棱柱48C—481G中，ACIBC,AC=1,BC=2,Cq=3,点4是棱ZB的中点

(1)证明：Ng〃平面B]CD；

(2)求直线与平面与CD所成角的正弦值.

17.(本小题满分15分)

己知直线I:(2m+l)x-(3+m)y+m-1=0.

(Dm为何值时，点0(3,4)到直线I的距离最大，并求出最大值；

(2)若直线/分别与无轴，了轴的负半轴交于/,2两点，求△208(。为坐标原点)面积的最小值及此

时直线/的方程.

18.(本小题满分17分)

如图，在棱长为3的正方体48CD—451GA中，点£是棱耳片上的一点，且4£=2£4，点尸是棱

上的一点，且4尸=2依].

(1)求异面直线g与CF所成角的余弦值；

(2)求直线2D到平面CE尸的距离.

19.(本小题满分17分)

如图，在四棱锥尸-Z8CD中，四边形是边长为3的正方形，尸4,平面N8CZ),0C=36,点

E是棱网的中点，点尸是棱尸C上的一点，且尸尸=2EC.

(1)证明：平面ZECJ_平面网C；

(2)求平面/£尸和平面/FC夹角的大小.

2024〜2025(上)高二年级第一次月考.数学

参考答案、提示及评分细则

1.D•.•y=—@x+2G，.•.其倾斜角为2.故选D.

336

2.C若///A，贝ij1x(-3)=(加一2)(-加)，解得加二一1或加=3,

则“加二—1”是的充分不必要条件，故选C.

3.A因为Z8=(—2—a,l,b+l),所以=”=彳，

13

解得。=——,b=--,所以a+6=—2,故选A.

22

展(2,3,-)_2-6-2,2

,-12+(-2)2+(-2)2-9—3，

一(a-b}b2一

故5在b上的投影向量为^—故选D.

K3

5.B平行于平面a的向量，可平移至一个平行于a的平面，故为共面向量，A正确；

空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B错误；

直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向

量确定直线，C正确；

由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平

面的向量，D正确.故选B.

6.CPC1—4G—4P—4B]+4。]—AyB_BP-4B[+4]D]——A^A——

=AxBx+AxDx-AxBx-AxA--\Apx-AxBxy-AxDx+-AxBx-AxA^-a+-b+^c.故选C.

7.A设直线与y轴的交点为5,过。作0CL48于C,过N作沏，。/于D

3

因为N在直线y=z'+3上且在第二象限内，

设N卜,jx+3),则|£>N|=1x+3,|OD|=—x.

又4—4,0),5(0,3),即|。4|=4,|。3|=3,所以|48|=5.

1112

在△Z08中，由三角形的面积公式得，-\OB\\OA^-\AB^OC\,所以

12

在RtZXMW中，|(W|=|ON|,/跖VO=45°,所以sin45°=呸1==一，即|ON|=U叵.

\ON\\ON\5

Yfio6Vg4

2

在Rt^ND。中，|初|2+|。。|2=|。卡2,即[：x+3j+(_x)=,解得西=一:，

12

X)——.

225

841284

因为点N在第二象限内，所以x=—J,所以|沏|=一,|O£)|=J,

252525

所以tan/ZON=U^l=L,故选A.

\OD\7

8.A记正方体48CD—4gG。]的外接球的球心为。，

易得0£=3万万万=6,且尸Oe[l,G],

所以尸£.尸尸=0+0后)即+09)=即+0£)促一OE)=PO-OE=PO-3e[-2,0],

故选A.

9.CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以同=|,不能得到万=B,A错误；

空间任意两个单位向量的模长均为1,但是方向不一定相同，故B错误,

正方体45CQ-451GA中，BD,丽的方向相同，长度相等，故前=丽，故C正确;

空间向量不=(1』0)的模为+F+0=J5,故D正确.故选CD.

m-11

10.AC直线4:x—y+l=0和乙：x—＞+机=0平行，则切中1，两条平行直线间距离<41,

V2

解得一1＜加＜3且加W1,故0和2符合要求.故选AC.

11.BCD对于A,正方体中，DB1=273,故A错误;

AE-AC,二叵,故B正确;

对于B,/£=(0,2,1),AQ=(-2,2,2),故向量夹角余弦值为cos8=

回为5

对于C,ZE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),(0,2,1).(4,-1,2)=0,(-1,0,2).(4,-1,2)=0.

故(4,-1,2)是平面NE尸的一个法向量，故C正确；

—■\DA-n\88A/21

对于D,D4=(2,0,0),则点。到平面/斯的距离为d===故D正确.故选

\n\21

BCD.

12.-2因为而且斜率存在，所以々•左2=—1，

1

又左1，左2是关于左的方程2左2+8左+〃=0的两根，kck2=|=-＞解得”=—2.

13.1+V13由已知|NC|=2,|28|=26，18cl=4.

如图，取NC的中点E.因为△CMC为直角三角形，故|OE|=g|NC|=l.

由于△4BC为直角三角形，故|8E|=J|+|ZE/=屈，

显然|O6国OE|+|8£|,当且仅当。、B、E三点共线时等号成立，故|。目的最大值为1+而.

v+1_V3/(V+1)2_V3I.2y_V3|2

cos”)=3

当12y〉0时,氐"-3山+/-311?-3I'

'/耶|+

由y>0,所以工+>22,当且仅当工=y,即y=l时等号成立,

v旦&TT=逅

33

一+V

y

当y=0时，cos国用=三~,故cos(。㈤的最大值为每一.

2x-y-4=0,x=I,

15.解：(1)由<r1八解得代入4的方程，得加=1.

3x+y-l=0,〔尸一2,

(2)当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形.

2x-y-4=0,,,\x=1.,

①联立《解得s代入x+my+1=0,得加二1；

3x+y-1=0,U=-2,

②当/1：%+即+1=0与/2：2X-歹一4二0平行时，m=一；,

当4:%+殴+1=0与，3：3x+y-l=0平行时，加二g.

综上所述，当加71且掰且机W-工时，三条直线能构成三角形.(且写成或扣1分).

32

16.解：如图，以C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

所以41,0,0),5(0,2,0),C(0,0,0),G(0,0,3),男(0,2,3),4(1,0,3),

所以①=[3,1,0；西=(0,2,3),

「一一f1

n-CD=0,—%+y=0,

设平面qCD的一个法向量为五=(x/,z),则1—,即127

万。=0，[2y+3z=0,

令x=l,解得了=—g,z=1,所以平面BCD的一个法向量为历=。,一；,<

（1）证明：=（-1,0,3）,因为布•元=0,

NG仁平面用CD，所以ZG〃平面BXCD；

（2）解：因为48=（-1,2,—3）,所以cos（4瓦元）=占'=

'/同49

所以直线A.B与平面BXCD所成角的正弦值是写4.

17.解：（1）已知直线/:（2机+1）》一（3+机）＞+加一7=0,整理得（2x-y+l）机+x-3y-7=0,

2x—y+1=0,x=-2,

由＜故直线/过定点(-2,-3),

x—3y—7=0B=-3,

点2（3,4）到直线I的距离最大，可知点。与定点尸（-2,-3）的连线的距离就是所求最大值,

即J(3+2)2+(4+3)2=V74为最大值.

4+375

kPQ--一-=—,/.(2m+l)x-(3+m)y+m-7=0的斜率为一亍,

三,日52m+15222

可得——=------,斛得加=----；

7m+319

(2)若直线/分别与x轴，y轴的负半轴交于4,5两点，

则可设直线/的方程为y+3=左（》+2）,k＜0,则—2,0）,B（0,2k-3）,

1343、1「(9\]1

c-------2-|2A:-3|=-2——\(3-2k)=-12+(-4左)+――>-x(12+12)=12.

2kk)2(k)2

3

（当且仅当左=——时，取“=”）,

2

故AAOB面积的最小值为12,此时直线I的方程为3%+2y+12=0.

18.解：(1)如图所示，以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系，所以2(3,0,0),2(0,0,3),尸(1,0,3),C(0,3,0),

所以否=(一3,0,3),CF=(l,-3,3),

所以cos(可，而)=[6

AD^CF

所以异面直线幺£>1与3所成角的余弦值是噜

(2)因为£>(0,0,0),£(3,2,3),5(3,3,0),所以豆=(2,2,0),丽=(3,3,0),

—•2—•

所以庇=—所以FE//DB,

3

又DBU平面CEF,EFcz平面CEF,所以DBH平面CEF,

所以点D到平面CEF的距离即为直线BD到平面CEF的距离.

n-FE=0,[2x+2v=0,

设平面CM的一个法向量为为=(x,y,z),贝。—即­

n-CF=0,[x-3y+3z=0,

令X=l,解得y=—1,z=-j,所以平面C斯的一个法向量为方=11,—1,—g

££J_9A/34

因为反=(0,3,0),所以点。到平面C斯的距离d

\n\~34

即直线BD到平面CEF的距离为"4.

34

19.(1)证明：如图，以/为坐标原点，AB,AD,/P所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，所以2(0,0,0),5(3,0,0),C(3,3,0),设尸(0,0,f)«>0),

则尸C=132+32+，=3百,解得/=3,即尸(0,0,3).

则冠=[g,0,|)就=(3,3,0),