高考数学专项复习训练：基本不等式的应用（两分层练）

第12讲基本不等式的应用

【苏教版2019必修一】

目录

题型归纳................................................................................

题型01利用基本不等式的变形求最值.....................................................................2

角度1积(和)为定值求最值.............................................................................2

角度2常数代换法.......................................................................................5

题型02基本不等式的实际应用............................................................................7

分层练习................................................................................................10

夯实基础...............................................................................................10

能力提升................................................................................................17

创新拓展................................................................................................24

知识梳理

一、利用基本不等式的变形求最值

用基本不等式求最值

已知都是正数，如果和等于定值那

两个正数的和为常数时，它们的积X,yx+yS,

么当时,积孙有最大值扣

有最大值x=y

两个正数的积为常数时，它们的和已知羽y都是正数，如果积犯等于定值P,那么

有最小值当x=y时,和x+y有最小值2y[P

注意点:

(1)口诀：和定积最大，积定和最小.

(2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等

题型归纳

题型01利用基本不等式的变形求最值

【解题策略】

常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).

(2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.

(4)利用基本不等式求解最值

角度1：积(和)为定值求最值

【典例分析】

【例1】例1⑴若a>0,6>0,a+2b=5,则仍的最大值为()

25

A.25B.T

谓

⑵若0<x<g,则y=2x・(l—3%)的最大值是

4

(3)设实数%满足x>—1,则函数尸工+百万的最小值为()

A.3B.4

C.5D.6

答案(1)D(2)|(3)A

解析(1>>0,历>0,a+2b=5,

则"=%皿只义(%24〉=米

当且仅当4=24即4=|,Q讶，等号成立.

故"的最大值为年25.

O

⑵：0<x<；,

.*.1—3x>0,

；・y=2x.(1—3%)=,X3»(1—3%)

、3、|_2J~69

当且仅当3x=l—3x,即尤=/时，等号成立.

・・・所求最大值是去

(3)Vx>-l,

•*.x+1>0,

44

•.・函数y=x+干=(x+l)+干一1

^2^(x+l)X-^-1=4-1=3,

4

当且仅当x+l=七，即％=1时取等号.

X十1

4

因此函数丁=%+本的最小值为3.

【变式演练】

3Vx

【变式1](2324高一下•浙江•期中)若实数x>2y>0,则一丁+一的最小值为()

龙一2yy

A.2A/3B.2A/3-1C.273+1D.2A/3+2

【答案】D

【分析】首先变形W-+±=W-+2立+2,再利用基本不等式求最小值.

x-2yyx-2yy

…蝴、3yJC3yx-2y+2y3y,x-2y

x-2yyx-2yyx-2yy

22m三+=«+,

\x-2yy

当且仅当(x-2y)2=3y2,即x=(2+6)y时，等号成立.

故选：D

【变式2］已知则x(3—3x)取最大值时x的值为()

1123

AqB.2CqD./

答案B

解析

1—x>0,

x(3—3x)=3x(1—x)W~=,,

当且仅当时取等号.

31

.•・x(3—3x)取最大值时，x的值为］

【变式3］(2324高一上•浙江杭州•阶段练习)若正数。乃满足a+2b=4.

⑴求"的最大值；

⑵求工+；的最小值.

【答案】(1)2

7+2所

【分析】(1)直接运用基本不等式进行求解即可；

(2)根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.

【详解】(1)因为正数满足。+26=4,

所以有4=a+2b之位>W2,当且仅当々=26时取等号，

即当a=2]=1时，而有最大值

(2)因为正数。/满足a+2〃=4,

所以有a+l+%=5,

当且仅当筌二学时取等号,

22-5M,5710-10517+2加

(2=-------------o二-----------------1-------------------

即当且仅当36时，a+16有最小值5

角度2常数代换法

【典例分析】

Q1

【例2】已知x>0,y>0,且满足；+1=1.求x+2y的最小值.

xy

Q1

解因为x>0,y>0,-+-=1,

xy

210+2匹=18,

当且仅当乎=*即x=12,y=3时，等号成立,

xy

所以尤+2y的最小值为18.

【变式演练】

2

【变式1］（2324高一下•辽宁葫芦岛•开学考试）已知%>0/>0,且4尤+y=l,则上上土的最小值为（）

孙

A.5B.4近C.4D.2A/2

【答案】A

【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值.

【详解】=24"+G2^^+1=4+1=5,

孙％yxyxy\xy

当且仅当2=竺即x==：时等号成立，所以匚二的最小值为5.

xy63孙

故选：A

41

【变式2］（2324高一上•湖南邵阳•阶段练习）若工〉0,〉〉0,且x+y=6,则—+一的最小值为______.

xy

3

【答案】j

【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解.

［详解］由于x>0,y>0,所以4++=+"+土］»；卜+2=；

xyy)61xyj6(\xyJ2

当且仅当把=土，即x=4,y=2时等号成立，

xy

2

故答案为：2

【变式3］（2324高一上•青海海东•期中）已知尤>0,y>0,且无+y=2.

19

（1）求一+一的最小值；

xy

（2）若4元+1-根92°恒成立，求加的最大值.

【答案】⑴8

⑵4

【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1,分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可.

【详解】⑴由x+y=2,得畀%|'又no,y>。,

mr、i19(xyV19^|_y9x_l~y9x

所以—+—=〔5+5―+―I=5+^~+丁25+2j丁•厂=8o,

xy2八%y)2x2y2x2y

v9犬ia

当且仅当*=丁，即％=：,y=：时等号成立，

2x2y22

19

所以一+一的最小值为8；

%y

4x+1

(2)由4x+l—吟20恒成立，得mW-----恒成立，

孙

乂x+y=2,所以4x+]=4x+2(-+「)=9.+、=]]]।9

xyxy2xy21%y

19所以y工1+9

由(1)可知一十一28,>4,

xy%y

_2_9x_j_3^±1>4

==

当且仅当%2y,即元一5y一

2时等号成立,即孙，故加的最大值是4

题型02基本不等式的实际应用

【解题策略】

利用基本不等式解决实际问题的步骤

(D先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值.

(4)正确写出答案

【典例分析】

【例3】甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求IWXWIO),每小时可消耗A

材料(收+9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.

⑴设生产加千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为尤的函数；

(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？

解(1)由题意，得左+9=10,即左=1,

生产加千克该产品需要的时间是?小时，

所以y=?（近2+9）=加Q+£）,IWXWIO.

（2）由（1）知，生产1OOO千克该产品消耗的A材料为y=lOOO（x+?Nl000X29=6000（千克），

9

当且仅当即x=3时，等号成立，

故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克.

【变式演练】

【变式1]（2223高一上•全国•期中）小王准备用18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m,小王需要合

理安排矩形的长、宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（）

8]

A.—B.40m2C.36m2D.32m2

2

【答案】A

【分析】由基本不等式的应用即可求解.

【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为皿，垂直于墙的边长度为加1,菜园面积5=孙，

______O1

贝Ux+2y=18,;.x+2y22j尤-2y,..孙4万,当且仅当无=2y=9时取等号.

故选：A

【变式2]（2324高一上•河北•阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,

售货员先将5g的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，

再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金______10g.（填

"大于""小于""等于不确定”）

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有叫/乙2,其中%，叫分别为左右盘中物体质量，A分别为左右横梁臂

长.

【答案】大于

【分析】根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解.

【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为。，右臂长为6,则疝b,

再设先称得黄金为xg,后称得黄金为箔，则法=5a,ay=5b,

.-.x+j=5(-+-)>5x2./---=10,

ba\ba

当且仅当f=2,即。=6时等号成立，

ba

但出b,等号不成立，即x+y>10.

因此，顾客购得的黄金大于10g.

故答案为：大于

【变式3](2324高一上・甘肃临夏•期末)某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位

置的限制，房子侧面的长度尤不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋

顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？

最低总造价是多少元？

【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低.最低总造价是13000元

【分析】根据题意得到函数表达式>=90。[尤+/]+5800,利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】由题可知y=3(2xxl50+Ux400)+5800=900^+—^+5800(0<x<5)

因为x+更之2、尸1=8,当且仅当无="，即工=4时取等号，

X\Xx

所以y=90。[尤+—]+580。在x=4时取最小值900x8+5800=13000,

于是当侧面的长度为4米时，总造价最低.最低总造价是13000元

分层练习

【夯实基础】

一、单选题

1.（2324高一上.广东潮州.期中）已知0<x<1则x（2-3x）的最大值是（）

A.-B.-C.-D.-

3496

【答案】A

【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解.

2

【详解】已知

贝！J无（2-3无）=gx（3x）（2—3无）

当且仅当3x=2-3x,即尤=；等号成立.

故x（2-3x）的最大值是，

故选：A

2.（2324高一上.云南昆明.期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形

健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（）

A.32.5m2B.36m2C.37.5m2D.40m2

【答案】C

【分析】设出边长，利用相似得到定值，再利用基本不等式求解即可.

【详解】设矩形广场的长为无，宽为兀且0<x<15,0<y<10,

由三角形相似性质得'=令二化简得2x+3y=30,

nU2x+3y>2y]6xy,当且仅当x=7.5,y=5时取等，故孙W37.5,

故健身广场的最大面积为37.5m?.

故选：C

3.（2324高一上•新疆・期末）若正实数x、y满足无+y=2,则上的最小值为（）

孙

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得工的最小值.

xy

11।

—2------------1

【详解】因为正实数X、y满足x+y=2,则孙（x+y；,

\x=y

当且仅当。时，即当％=丁=1时，等号成立，

[x+y=2

故人的最小值为1.

孙

故选：B.

22

4.（2324高一下•湖南•开学考试）已知疗>〃>0,则机+-//2、-的最小值为（

«n（m—n）

A.4B.6C.8D.2

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.

【详解】由机2>”>0,得J""'[-叽],当且仅当时取等号，

222224\4

因此"+Ja-"+正="+方"2M2・薪=4,当且仅当加=2时取等号，

T

22

所以当病=2,〃=1时，"+/,。、取得最小值4.

Jn（m"—n）

故选：A

二、多选题

5.（2324高一下.山东淄博•期中）已知q>0,b>0,且a+6=l,则下列不等式成立的是（）

A.ab>—B.—I—225C.\[a+y[b<A/2D.a2<a+3b

4ab

【答案】BCD

【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助

作差法，结合所给条件可得D.

【详解】对A：ab<（^\=-,当且仅当a=b=1时，等号成立，故A错误；

12；42

“049<49\…46、14b9a«

ab\ab）abyab

当且仅当4竺b=手9a，即，=2：,b=3J时，等号成立，故B正确；

ab55

71

对C：由A知],ab<—,〃+Z?+2Jab-1+2,ah<1+2x——2,

42

即G+&W垃,当且仅当。=b=g时，等号成立，故C正确;

对D：由=故人=1一〃，

贝!Ja?—ci—3b-a?—Q—3（1—a）=a?+2a—3=（〃+1）—4,

由〃>0,b>0,故Ovavl,贝lj（々+1）2£（1,4）,

即〃2一々一36=（4+1）2一4<0,故<々+3〃，故D正确.

故选：BCD.

6.（2324高一下.云南.阶段练习）已知a,b均为正数，且2a+5）=l,则下列结论一定正确的是（）

11Q1

A.->yB.—7+—三的最小值是16

aba+Aba+b

C.ab的最大值是工D.8a2+50Zj2>1

40

【答案】BCD

【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式

的变形公式汉史4J^^即得D项.

2V2

111

【详解】对于A,取“=6=!满足题意，但显然不成立，故A错误;

7ab

对于B,由2a+5Z?=(a+4〃)+(a+b)=l,因〃，Z?均为正数,

_,91(91V.7\1八9。+9人〃+461,

贝0--------1--------=----------1-------\(a+4b7+a+b}=l0-\-------------1---------->16

a+4ba+b+a+b)a+4ba+b

当且仅当时驹+0=£±竺，即。=1，b=\,等号成立，故B正确;

a+4ba+b126

对于C,由基本不等式可知2a+56=1±2而拓，即

40

当且仅当“4八4时,等号成立,故°正确;

对于D,由基本不等式可知工=生土,则81+506221,

22V2

当且仅当.,。亮时，等号成立,故D正确

故选：BCD.

三、填空题

,91

7.⑵24”上•安徽马鞍山•期中）已知。6。且j=3,则布的最小值为一

_心人.16

【答案】y

【分析】依题意可得（。+1）+（6+1）=5,利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】因为且a+6=3,所以（。+1）+（6+1）=5,

所以/1+。=1/3+5][(.+1)+优+1)]

4+1+如W16

5。+1Z?+1

9(6+1)(2+1即二%时取等号，

当且仅当

4+1b+1

所以言+击的最小值为

故答案为：

21m

8.（2324高一上.江西南昌.阶段练习）已知。>〃>c且三+9—N旦恒成立，实数机的最大值是

a-bb-ca-c

【答案】3+2A/2/2A/2+3

【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.

【详解】由题意，a-b>0,b-c>0,a-c>0,

*221m/丑/[*2（a—c）a-c

所以--+-->——转化为一^----+——>m,

a-bb-ca-ca-bb-c

2（a-b+b-c）a-b+b-c目口2他-c）a-b、

可得一----------+---------->m,BP2+—^----^+1+----->m,

a-bb-ca-bb-c

B^2+2^~^+l+—>3+272,当且仅当。一6=血仅一c）时等号成立，

a-bb-c

所以实数机的最大值是3+2&.

故答案为：3+20

3yxX

9.（2324高一下.湖南•阶段练习）若实数无>2y>0,则一十+一的最小值为________，此时一=

x-2yyy

【答案】273+22+g/g+2

【分析】二一+二==一+=幺+2,利用基本不等式求最小值，由等号成立的条件求二的值.

x-2yyx-2yyy

【详解】上+±=上+'-2'+2，=上+0+2三2、3.0+2=2百+2,

x-2yyx-2yyx-2yy^x-2yy

当且仅当（尤-2y）2=3，，即x=（2+省卜时，等号成立.

此时2=2+道.

y

故答案为：2括+2；2+>/3.

四、解答题

10.（2324高一上•广东韶关•阶段练习）（1）已知X>1,求函数y=」\4+x的最小值;

x-1

（2）已知正数无V满足©+y=l,求工+L的最小值.

%y

【答案】⑴5；（2）9

【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得.

（2）利用基本不等式力”的妙用求解可得.

4

【详解】（1）因为1>1,所以1-1〉0,——->0,

x-1

所以y=-+x=-4+%-1+1>2A/4_.（%-1）+1=5,

x-1x-1Vx-117

4

当且仅当二T=i'即I时，取等号,

4

所以函数>=73T+X的最小值为5；

(2)因为％>0,y>0,所以!>。，工>0,

所以工+工的最小值为9.

xy

11.(2324高一上.山东荷泽.阶段练习)已知〃>0,b>0,o+b=l,求下列代数式的最小值

(1)——+——

Q+2力+2

(2)—(/?+Y).

ab

【答案】(呜4

(2)2忘+2

【分析】(1)运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得;

(2)展开变形成匕1,再将1换成(4+6)2展开，即可利用基本不等式求解.

ab

【详角军】(1)因〃>0,b>0,a+/?=l,贝|(a+2)+(b+2)=5,

a+2-击T(“+2)+("2)][11b+2Q+2b+2a+24

于是得二+--------1-------2+------+-------2+2,

〃+2Z?+2a+2Z?+2-IQ+2Z?+2,5,

当且仅当"!=*，即。=。=：时取“=”，

a+2b+22

1114

所以，当。=6=：时，娱+不\的最小值是:;

2a+2b+25

(2)因。>0,b>0,a+b=l,

则小+n=3J+（a+"/+2"+2也4竺+222、洋+2=2夜+2,

ayb）abababba\ba

当且仅当?=殳，即a=2-/6=0-1时取“=”，

ba

rrU"〕r

所以当a=2-"6=及-1时，八"的最小值是20+2.

【能力提升】

一、单选题

1.（2324高一下•河南周口•阶段练习）已知正数满足成=1,则T=（a+l）2+（》+l）2的最小值为（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【分析】利用基本不等式和不等式的加法性质即可求解.

【详角星】因为T=a2+b2+2（^a+b^+2>2ab+4y[ab+2=8,

当且仅当。=方=1时取等号，所以T的最小值为8.

故选：C.

2.（2324高一上.安徽芜湖.期末）若实数满足孙=1,则尤2+2丁的最小值为（）

A.1B.72C.2D.2A/2

【答案】D

【分析】通过肛=i求出y,代入所求式消元，运用基本不等式求解即得.

【详解】由孙=1可知XHO,则y=L代入尤2+2/得：x2+2y2=x2+^>242,

XX

当时等号成立，即当x=±蚯时，/+2/取得最小值2&.

故选：D.

3.（2324高一上•河北•阶段练习）如图，某地区计划在等腰融。的空地中，建设一个有一边在8C上的矩形花园，已

知AB=AC=50m,3C=80m,则该矩形花园面积的最大值为（）

A

A.500m2B.550m2C.600m2D.650m2

【答案】C

【分析】方法一：当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰AABC的内接矩形，设"E的长度为x（0<x<40）m,HI

的长度为y（0<y<30）m,根据相似求出的关系，再根据二次函数的性质即可得解；

方法二：设HE的长度为x（0c<40）m,m的长度为y（0<y<30）m,根据相似求出尤,y的关系，再根据基本不等式

即可得解.

【详解】（方法一）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰AABC的内接矩形，

设等腰AABC的内接矩形为DEFG,取BC的中点/,连接用交DE于点

设HE的长度为x（0<x<40）m,小的长度为y（0<y<30）m,

则/C=/B=40m,AI=30m,„AHE~^AIC,

AHHE30-2x3

所以方=元M=—,gpy=--x+30,

404

339

则该矩形花园的面积为2孙=--x2+60x=--(x-20)2+600,

当％=20时，该矩形花园的面积取得最大值，最大值为600m之.

（方法二）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰融。的内接矩形,

设等腰融。的内接矩形为。及G,取3C的中点/,连接卸交。后于点H,

设HE的长度为x（0<x<40）m,HI的长度为y（0<y<30）m,

贝!J/C="=40m,AI=30m,2AHE〜小AIC,

所以二二器’得30—y_x

3040

贝U木+9=122,点•玄，即孙4300,

当且仅当点=4，即x=20,y=15时，等号成立,

所以该矩形花园面积的最大值为600m2.

故选：C.

4.（2324高一上•福建龙岩•期末）已知尤S.x+y—xy=—,则2x+y的最小值是（）

A.2A/2B.4C.4A/2D.5

【答案】D

【分析】由已知可得（尤=再根据基本不等式求解即可.

【详解】由x+y-孙=；,得=

因为％所以％-1>0,丁一1>0,

贝lj2x+y=2（x-l）+（｝；-l）+3>2^2（x-l）（｝；-l）+3=5,

当且仅当2（X-1）=（丁一1）,即无=；,y=2时，等号成立，

所以2x+y的最小值是5.

故选：D.

二、多选题

14

5.（2324高一下•浙江•阶段练习）已知a>0,b>0,M-+-=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.ab有最小值4B.。+〃有最小值一

2

C.2H+匕有最小值4近D.4/+廿有最小值16

【答案】AB

【分析】对于A,直接利用基本不等式式即可；对于B,利用乘“1”法即可；对于C,代换2",再利用乘“1”法即可;

对于D,化简表达式得到4/+*作时+学咨+16，再利用和4a-Z?不能同时为零即可否定结论.

【详解】对于A,由2得必24,当且仅当工=2，即q=l,6=4时取等号，故A正确;

ab\abab

―71f14\7、1f_b4ay11_lb4a\9,.b4a3,

对于B,Q+O=Z—+丁（〃+»=75+—+72彳5+2j------=-,当且仅当_=丁，即〃=彳，8=3时取等节,

21ab）2\ab）\abJ2ab2

故B正确；

14

对于C,由一+：=2,得2"—4〃一。二0,

ab

所以2ab+Z;=4Q+20=：+:］（4Q+2b）=6+—+^>6+2^--^=6+4A/2,

当且仅当2=手，即L+不二=2,即a=l±2&,b=2+应时取等号，故C错误；

aba2,2。2

对于D,有44+。2=（2Q-0『+4i0=（2Q-0）2+4。（工+：）=（2。-0）2'J+16=（24一/?）2+（4"+16,

而由于2〃-8和4〃-/?不相等，从而它们不能同时为零，所以46?+〃>[6,故D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用基本不等式及不等式的性质求出或否定最值.

6.（2223高一上•山西大同•阶段练习）下列结论正确的是（）

A.当％>0时，+-^>2B.当x>2时，x的最小值是2

7xx

XV]

C.当x>0,y>0时，一+—22D.当％<2时，y=x-l+的最小值为3

y%x-2

【答案】AC

【分析】根据基本不等式及其等号成立的条件逐项判断后可判断ABC的正误，结合反例可判断D的正误.

由基本不等式可得6+3川口去=2,

【详解】对于A,当且仅当x=l时等号成立，故A正确.

yjx

对于B,由基本不等式可得、+」22\限工=2,当且仅当x=l时等号成立,

xVx

而x>2,故等号不成立，故无的最小值不是2,故B错误.

X

对于C,由基本不等式可得<归1*=2,当且仅当x=y时等号成立，故C正确.

yxVyx

对于D,取x=—5,则xT+」^=-6-1<3,故y=的最小值不为3,故D错误.

x—27x-2

故选：AC.

三、填空题

9

7.（2324高一上•北京•期中）已知x>0,则无+—在彳=时，取得最小值为.

x

【答案】36

【分析】由条件知，可用基本不等式求其最小值.

【详解】因x>0,x+->2.p=6,当且仅当x=3时等号成立，即在x=3时，x+2取得最小值为6.

X\XX

故答案为：3；6.

O

8.（2324高一上.北京•期中）已知y=2无+―-（%>3）,则当x=____时，y取最小值为______.

x-3

【答案】514

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为x>3,所以x+3>0,

QQIQ

贝!Jy=2x+-----=2-3）H---------1-6>2J2（x-3）--------1-6=14,

x3x3Vx3

Q

当且仅当2（X-3）=T，即x=5时取等号，

所以当x=5时，y取最小值为14.

故答案为：5；14.

9.（2324高一下•安徽•阶段练习）设a,b为正实数，且满足。+匕=2,则J亏+』的最小值是_____

1+a1+b

【答案】1

【分析】将所求因式通分后利用基本不等式计算即可.

、、刀11_1+尸+1+。2_2+4+。2

【详解】立7+而=（1+项1+〃）=1+/+/+//,①

因为a,b为正实数，且满足a+6=2,

所以必《审:=1,当且仅当。=方=1时取等号，

所以…，所以8T

故答案为：1.

四、解答题

10.（2324高一上•安徽芜湖•阶段练习）（1）已知a,beR,比较5〃+〃+2与4ab+2a的大小，并说明理由.

（2）已知x>l,求y=4x+」~；■的最小值，并求取到最小值时尤的值.

X-1

【答案】（1）5/+〃+2>4仍+24，理由见解析

3

⑵最小值为8,此时x=]

【分析】（1）利J用作差法得至%/+〃+2--2a>0,进而即可比较；

（2）依题意可得y=4（x-l）+—1+4,再利用基本不等式即可求解.

x—1

【详角军】(1)由5a2+b2+2—4ab-2a=(2a-Z?y+(^-l)2+1,

又(2a-6)&0,(a-l)2>0,

贝！J5a2+b2+2-4ab-2a>Q,

所以5a2+b2+2>4ab+2a.

（2）由〉=4工+，=4口-1）+-1—+422\[4"-1）.，+4=4+4=8,

X1X1jX1

i3

当且仅当4（x-l）=时，即无=：时取等号，

13

所以7=4X+-^的最小值为8,止匕时x==.

x-12

11.（2324高一上.吉林长春•期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情

期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入X万元（l〈xV15）,

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