2025版高考数学一轮复习练案71理+64文第十章概率文几何概型练习含解析新人教版

第三讲几何概型(文)第六讲几何概型(理)A组基础巩固一、选择题1．(2024·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发觉一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清晰，只记得y1是[0,3]上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预料值)的肯定值不大于0.5的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]依题意可知，估计值为1＋1.5＝2.5，残差为y1－2.5，依题意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率为eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故选C．2．(2024·云南昆明一中检测)在区间[0,8]上随机取一个实数a，则方程x2＋2ax＋16＝0有实数根的概率为(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它与0≤a≤8的公共元素为4≤a≤8，所以p＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，选B.3．(2024·湖北武汉调研)在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)[解析]设MP＝xcm,0<x<16，则NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故选A．4.(2024·湖南湘潭模拟)如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,9)[解析]因为大正方形的面积为6×6＝36；而小正方的面积为1×1＝1；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有8个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：eq\f(8×1,36)＝eq\f(2,9).故选D.5．(2024·广西河池期末)在区间[4,12]上随机地取一个实数a，则方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率为(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]因为方程2x2－ax＋8＝0有实数根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故选D.6．(2024·贵州贵阳四校联考)在区间[－2,2]随机取一个数x，则事务“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x

SymbolcB@0,x＋1，x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”发生的概率为(D)A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)[解析]事务“y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,x＋1x>0))，且y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))”由题可知，该分段函数是一个增函数，y∈[eq\f(1,2)，2]，此时x∈[－1,1]，所以该事务发生的概率P＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2).故选D.7．(2024·贵州贵阳模拟)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为635,650,705，小明同学在640至705之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)[解析]640至705共25分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是645至650和700至705到站，共10分钟，所以所求概率为P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选C．8.(2024·山西太原模拟)七巧板是中国古代劳动人民独创的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其改变之式多至千余，体物肖形，顺手变化，盖嬉戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(C)A．eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(7,16) D．eq\f(13,32)[解析]设正方形边长为a，则其面积S＝a2，阴影部分面积S′＝eq\f(1,2)a·eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·eq\f(a,4)＝eq\f(a2,4)＋eq\f(a2,8)＋eq\f(a2,16)＝eq\f(7a2,16)，∴所求概率p＝eq\f(S′,S)＝eq\f(7,16).故选C．9．(2024·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]设六角星的中心点为O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故选C．10．(2024·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]设这两个数分别为x，y，则由条件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).11.(2024·河南三门峡模拟)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为eq\f(4\r(2),3)，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)[解析]设球半径为R，正四棱锥底面边长为a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(2),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故选A．12．(2024·安徽合肥质检)若在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)[解析]不等式x2＋y2≤1表示的区域是半径为1的圆，面积为π，且|x|＋|y|≤1满意不等式x2＋y2≤1表示的区域是边长为eq\r(2)的正方形，面积为2，∴在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率为eq\f(2,π)，故选B.13．(2024·广西钦州、崇左质检)用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成的实数都是等可能性的．若用该电脑连续生成2个实数，则这2个实数都小于1的概率为(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,9)[解析]设电脑两次生成的数分别为x，y，S1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<3,0<y<3))))))，S2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))))))，∴所求概率P＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(1,9)，故选D.(理)∵每次生成一个实数小于1的概率为eq\f(1,3).∴这2个实数都小于1的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).故选D.14．(2024·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则下列结论正确的个数为(C)①p1＝p2②p1＝p3③p1的最大值为eq\f(2,π＋2)④p3的最小值为eq\f(π－2,π＋2)A．1 B．2C．3 D．4[解析]设AB＝c，AC＝b，则区域Ⅰ的面积S1＝eq\f(1,2)bc；区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，区域Ⅱ的面积S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由几何概型可知p1＝p2，故①正确；又整个区域的面积S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋c2,2bc)))π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(当且仅当b＝c时取等号)，即p1的最大值为eq\f(2,π＋2)，③正确；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(当且仅当b＝c时取等号)，即p3的最小值为eq\f(π－2,π＋2)，④正确；明显②错．故选C．二、填空题15．(2024·福建漳州调研)在半径为2的圆C内任取一点P，则以点P为中点的弦的弦长小于2eq\r(3)的概率为eq\f(3,4).[解析]由题可知，当且仅当弦心距d>eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2)＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2eq\r(3)，由几何概型的概率公式可得所求概率为eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).16．(2024·河北衡水中学调研)有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为eq\f(1,3).[解析]到点O1，O2距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为P＝1－eq\f(V球,V柱)＝1－eq\f(\f(4,3)π,2π)＝eq\f(1,3).17．(2024·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形态不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽视图中的白线)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).[解析]∵阴影部分面积为12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πR2－\f(R,2)×\f(\r(3)R,2)))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飞镖落在黑色部分的概率为eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故答案为2－eq\f(3\r(3),π).B组实力提升1.(2024·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[解析]设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故选D.2．(2024·四川达州诊断)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事务eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1发生的概率为(A)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事务eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(→))－\o(AE,\s\up6(→))))≤1即：|eq\o(EF,\s\up6(→))|≤1，如图所示：所以P＝eq\f(S阴影,S矩形)＝eq\f(\f(1,2)·π·12,2)＝eq\f(π,4).故选A．3．(2024·福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装饰生活或协作其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为(A)A．eq\f(3－2\r(2)π,2) B．eq\f(π,6)C．eq\f(3－2\r(2)π,4) D．eq\f(π,8)[解析]分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，eq\r(2)l＝2(eq\r(2)R＋R)，∴l＝(2＋eq\r(2))R，∴所求概率P＝eq\f(πR2,2＋\r(2)2R2)＝eq\f(3－2\r(2)π,2).故选A．4．(2024·河南阶段测试)《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解