2024-2025学年高中数学第2章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课时分层作业含解析新人教A版必修2

PAGE课时分层作业(十三)直线与平面垂直的判定(建议用时：40分钟)一、选择题1．假如一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l⊂α B．l⊥αC．l∥α D．l⊂α或l∥αD[结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.]2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°B[依据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.]3．直线l与平面α内的多数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内 D．不能确定D[如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.]4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面 B．平行C．垂直 D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心D．垂心C[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]二、填空题6．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BCAM⊥BC[∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B，又AM⊂平面AA1B1B，∴AM⊥BC.]7．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．②③⇒①（答案不唯一）[若②m∥α，过m作平面β∩α＝m′，则m∥m′，又③l⊥α，则l⊥m′，又m，m′同在β内，所以①l⊥m，即②③⇒①.]8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．2[因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.]三、解答题9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[证明](1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC­A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．[解]过A作AH⊥BC于H，连接PH，∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点，AH＝eq\r(3)，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2eq\r(2)，∴sin∠APH＝eq\f(AH,PA)＝eq\f(\r(6),4).故PA与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(6),4).1．(2024·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°B[过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.]2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________．eq\f(\r(3),3)[连接EF，依据