全国统考2024高考数学一轮复习课时规范练43空间向量及其运算理含解析北师大版

课时规范练43空间向量及其运算基础巩固组1.已知空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN=()A.12a-23b+12c B.-23C.12a+12b-12c D.22.(2024江西南昌八一中学质检)已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1).若a⊥(b-c),则x的值为()A.-2 B.2C.3 D.-33.已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为()A.a2 B.12C.14a2 D.4.(2024安徽蚌埠一中模拟)在空间四边形ABCD中,AB·CD+ACA.-1 B.0C.1 D.不确定5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,A.5 B.6C.4 D.86.(2024四川三台中学试验学校高三月考)如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MNA.12a+16b-23c B.-12a-C.12a-16b-13c D.-12a+7.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=()A.72 B.52C.310 D.638.若平面α的一个法向量为12,12,0,直线l的方向向量为(1,0,1),则l与α所成角的大小为9.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.

10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C⊥平面BC1D.综合提升组11.(2024山东安丘一中模拟)已知空间随意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12.(2024河南南阳五中模拟)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.23,2C.D.13.(2024湖北葛洲坝中学模拟)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()A.23 B.3314.(2024重庆合川中学模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=λNC,且AB1⊥MN,则λ的值为创新应用组15.(2024四川射洪中学模拟)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.求证:(1)EF∥平面PAB;(2)平面PAD⊥平面PDC.16.(2024陕西西安三中模拟)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB?若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由.参考答案课时规范练43空间向量及其运算1.B明显MN=ON-OM=12(OB+OC)2.A∵b-c=(-2,3,1),∴a·(b-c)=4+3x+2=0,解得x=-2.故选A.3.CAE·AF=12(AB+AC)·12AD=14(AB·4.B如图,令AB=a,AC=b,AD=c,则AB·CD+AC·DB+AD·BC=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·5.A设AB=a,AD=b,AA1=c,则|AC1|=a+b+c,|AC1|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,6.A由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=23(OB7.C∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),∴|a-2b|=82+(-5)28.π6设平面α的一个法向量为m=12,12,0,直线l的方向向量为n=(1,0,1),则cos<m,n>=m·n|m||n|=1222×2=19.2由题意知AB·AC=0,|AB|=|又AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6),∴6(x-10.证明(1)CA1=CB+BA+AA1∴CG∥CA1,即A1,(2)设CB=a,CD=b,CC1=则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=0.∵CA1=a+b+c,B∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)因此CA1⊥BC1,即同理CA1⊥BD.又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C⊥平面BC1D.11.B当x=2,y=-3,z=2时,OP=2OA-3OB+2OC则AP-AO=2OA-3(AB-AO)+2(AC-AO),即AP=-依据共面对量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,依据共面对量定理,设AP=mAB+nAC(m,n∈R),即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),即OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数明显不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B12.C设M点的坐标为(x,y,1),因为AC∩BD=O,所以O22又E(0,0,1),A(2,所以OE=-22,-22,因为AM∥平面BDE,所以OE∥AM,所以x所以M点的坐标为22,2213.C以D为原点,DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设DP=λDC1,AQ=μAC(DC1=(0,1,2),AC=(-1,1,0),DA所以DP=λ(0,1,2)=(0,λ,2λ),DQ=DA+μ(DC-DA)=(1,0,0)+μ(-1,1,0)=(1-μ所以|PQ|=|DQ-DP|=|(1-μ,μ-λ,-2λ)|=(1-μ)2+(μ-λ)2+4λ2=5λ所以线段PQ长度的最小值为23.14.15如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,分别以MC,MA,MP的方向为x,y因为底面边长为1,侧棱长为2,则A0,32,0,B1-12,0,2,C12,0,0,C112,0,2,所以AB1=-12,-32,2,MN=12,0,2又因为AB1⊥MN,所以AB1·MN=0.所以-14+415.证明以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E12,1,12,F0,1,12,EF=-12,0,0,PB=(1,0,-1),PD=(0,2,-1),AP=(0,0,1),AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),AB=(1,0,0).(1)因为EF=-12AB,所以EF∥AB,又AB⫋平面PAB,EF⊈平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0,所以即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A,所以DC⊥平面PAD.又DC⫋平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.16.(1)证明由题意知,DA,DC,DP两两垂直.如图,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a2,0,P(0,0,a),Fa2,a2EF=-a2,0,a2,DC=(0,a,0).因为EF·DC=0,所以EF⊥DC,(2)解存在