全国统考2024高考数学一轮复习第二章函数2.2函数的单调性与最值学案理含解析北师大版

2.2函数的单调性与最值必备学问预案自诊学问梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图像描述自左向右看图像是

自左向右看图像是

(2)单调区间的定义假如函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,假如存在实数M满意条件(1)对于随意x∈I,都有;

(2)存在x0∈I,使得

(3)对于随意x∈I,都有;

(4)存在x0∈I,使得

结论M为最大值M为最小值1.函数单调性的常用结论:f(x)在区间D上是增函数f(x)在区间D上是减函数定义法x1<x2⇔f(x1)<f(x2)x1<x2⇔f(x1)>f(x2)图像法从左到右函数图像上升从左到右函数图像下降导数法导数大于零导数小于零运算法增加的+增加的削减的+削减的复合函数法内外层单调性相同内外层单调性相反考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)内是削减的.()(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+∞).()(3)函数y=f(x)在[a,+∞)上是增加的,则函数的递增区间是[a,+∞).()(4)设随意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增加的⇔f(x1)-f(x(5)全部的单调函数都有最值.()2.(2024广东潮州检测)下列函数在区间(0,1)上为增加的是()A.y=-x3+1 B.y=cosxC.y=log12x D.3.(2024广东佛山一中月考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=ax,x≥1,ax+A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]4.已知函数f(x)=2x+1x-1,其定义域是[-A.f(x)有最大值53B.f(x)有最大值53,最小值C.f(x)有最大值75D.f(x)有最大值2,最小值75.(2024湖南三湘名校十月联考,14)已知函数f(x)的图像关于y轴对称,当x≥0时,f(x)递增,则不等式f(2x)>f(1-x)的解集为.

关键实力学案突破考点证明或推断函数的单调性【例1】探讨函数f(x)=x+ax(a>0)在(0,+∞)内的单调性思索推断函数单调性的基本方法有哪些?解题心得1.推断函数单调性的四种方法(1)定义法;(2)图像法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、推断;(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的推断方法复合函数y=f(g(x))的单调性,应依据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性推断,遵循“同增异减”的原则.对点训练1推断并证明函数f(x)=axx-1(a≠0)在(考点求函数的单调区间【例2】(1)函数f(x)=|x2-3x+2|的递增区间是()A.3B.1,32和[2,C.(-∞,1]和3D.-∞,32(2)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间是()A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)(3)函数f(x)=(3-x2)ex的递增区间是;递减区间是.

思索求函数的单调区间有哪些方法?解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一样,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.(3)图像法:假如f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.对点训练2(1)函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为()A.(-∞,-1) B.-C.32,+∞ D.(2)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),则()A.f(x)在(2,6)上递增B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2C.f(x)在(2,6)上递减D.y=f(x)的图像关于点(4,0)对称(3)已知函数y=|x|(1-x)在区间A上递增,则区间A是()A.(-∞,0) B.0,C.[0,+∞) D.1考点函数单调性的应用(多考向探究)考向1利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值【例3】(1)(2024河南驻马店二模,文13)函数f(x)=9x2+x-1的最小值为(2)函数y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2) D.[-1,2)解题心得函数最大(小)值的几何意义函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.对点训练3(2024辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“”,定义如下,当a≥b时,ab=a;当a<b时,ab=b2,则函数f(x)=(1x)·x-(2x)(x∈[-2,2])的最大值等于()A.-1 B.1 C.12 D.6考向2利用函数的单调性比较大小【例4】(1)(2024全国1,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2(2)e416,A.e4B.eC.e5D.e解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,须要先构造函数,再求函数的单调区间,最终利用函数的单调性比较大小.对点训练4(2024天津和平一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对随意两个正数x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log5A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b考向3利用函数的单调性解不等式【例5】(2024新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上递减,且f(2)=0,则满意xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式,再依据函数的单调性去掉“f”,应留意m,n应在定义域内取值.对点训练5已知函数f(x)为(0,+∞)上是增加的,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为.

考向4利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)【例6】(2024山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增.若实数a满意f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是(A.12,1 B.[1,2] C.12,2 D.(0,2]解题心得利用单调性求参数时,应依据问题的详细状况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分别出来求解.对点训练6已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在[1,+∞)上递减,则实数a的取值范围是(A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.-12,2 D.-12,21.函数单调性判定的常用方法:图像法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.2.求函数值域或最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图像法:先作出函数在给定区间上的图像,再视察其最高点、最低点,求出值域或最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法:对比较困难的函数,可通过换元转化为熟识的函数,再用相应的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最终结合端点值,求出值域或最值.3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:(1)抓住对变量所在区间的探讨.(2)保证各段上同增(减)时,要留意上段、下段的端点值之间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是取交.1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域探讨函数的单调性是常见的错误.2.不同的单调区间之间不能用符号“∪”连接.双变量问题中一般穿插有两个及以上的“随意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或随意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.类型1形如“对随意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=196x-13,若对随意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a解由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为-13,6.令h(x)=f'(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),则h'(x)=6x+2,由h'(x)=0得x=-13当x∈-1,-13时,h'(x)<0;当x∈-13,1时,h'(x)>0.所以[h(x)]min=h-13=-a2-2a-13.又由题意可知,h(x)的值域是-13,6的子集,所以h(-1)≤6,-思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”【例2】已知函数f(x)=2x3x+1,x∈(12,1],-13x+16,x∈[0,12],函数g(x)=k解由题意,易得函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],g(x)在[0,1]上的值域为2-2k,2-3k2,并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的状况,即2-2k>1或2-32k<0,解得k<12或k>43,所以要使两个值域有公共部分,实数k的取值范围是1思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“随意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对随意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立”【例3】已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若随意x1∈12,1,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是.

答案12,+∞解析依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)=x+4x在12,1上递减,∴f(x)max=f12=172.又g(x)=2x+a在[2,3]上递增,∴g(x)max=8+a,因此172≤8+a,解得a≥1思维突破理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.思索1:在[例3]中,若把“存在x2∈[2,3]”变为“随意x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是.

提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.思索2:在[例3]中,若把“随意x1∈12,1”改为“存在x1∈12,1”,其他条件不变,则实数a的取值范围是.

提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.思索3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是.

提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.2.2函数的单调性与最值必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(2)增函数减函数区间D2.f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.Dy=-x3+1,y=cosx,y=log12x在区间(0,1)上都是削减的,y=x-13.D因为a>0且a≠1,f(x)=ax,x≥1,ax+a4.Af(x)=2x+1x-1=3x-1+2在[-8,-4)上是削减的,故f(5.(-∞,-1)∪13,+∞结合题意,f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)递增,要满意f(2x)>f(1-x),则要求|2x|>|1-x|,即(2x)2>(1-x)2,解得x<-1或x>13.关键实力·学案突破例1解(方法1)设x1,x2是随意两个正数,且0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+ax1-x2+ax2=x1-x当0<x1<x2≤a时,0<x1x2<a.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,a]上是削减的.当a≤x1<x2时,x1x2>a.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[a,+∞)上是增加的.(方法2)因为f(x)=x+ax,所以f'(x)=1-a由f'(x)>0,得1-ax2>0,即x2解得x>a;由f'(x)<0,得1-ax2<0,即x2解得0<x<a.所以f(x)在(0,a)内是削减的,在(a,+∞)内是增加的.对点训练1解当a>0时,f(x)在(-1,1)上递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上递增.证明如下:(方法1定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,因为f(x)=ax-1+1x-1=a1+1x-1,则f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递增.(方法2导数法)f'(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0时,f'(例2(1)B(2)D(3)(-3,1)(-∞,-3),(1,+∞)(1)y=|x2-3x+2|=x如图所示,函数的递增区间是1,32和[2,(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个递增区间.依据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间为(4,+∞).(3)f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-3<x<1时,f'(x)>0,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,所以函数y=(3-x2)ex的递增区间是(-3,1),递减区间是(-∞,-3),(1,+∞).对点训练2(1)A(2)B(3)B(1)由x2-3x-4>0,得f(x)的定义域为x>4或x<-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的递减区间即y=x2-3x-4的递减区间,当x∈-∞,32时,函数y=x2-3结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的递减区间为(-∞,-1).故选A.(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=lnt,二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,所以f(x)在(2,4)上递增,在(4,6)上递减,A错,C也错,D明显是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,B正确.(3)y=|x|(1-x)=-画出函数的图像如图所示.由图易知原函数在0,12上递增例3(1)9(2)D(1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上递增,∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.(2)函数y=2-xx+1=3-(当x=2时,y=0.依据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.对点训练3D因为ab=a,a≥b,b2,a<b,所以f(x)=(1x)·x-(2x)=x-例4(1)B(2)A(1)由指数与对数运算可得,2