2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3第1课时直线与圆的位置关系课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE课时分层作业二十四直线与圆的位置关系一、选择题(每小题5分，共30分)1.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπC.(6-2QUOTE)π D.QUOTEπ【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时是怎样的状况即可.【解析】选A.由题意得圆C过坐标原点，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，此时圆的半径为QUOTE×QUOTE=QUOTE，圆的面积为S=πr2=πQUOTE=QUOTEπ.2.过点(2，1)的直线中，被x2+y2-2x+4y=0截得弦长最长的直线方程为()A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0C.x+3y-3=0 D.x-3y+1=0【解析】选A.圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为(1，-2)，被圆截得弦最长的直线过圆心，所以所求直线过点(2，1)与(1，-2)，可得所求直线的方程为3x-y-5=0.3.曲线y=1+QUOTE与直线l：y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.依据题意画出图形，如图.由已知，直线l过A(2，4)，B(-2，1)，又曲线y=1+QUOTE图像为以(0，1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即QUOTE=2，解得k=QUOTE；当直线l过B点时，直线l的斜率为QUOTE=QUOTE，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为QUOTE.4.(2024·沈阳高二检测)直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.4QUOTE D.3QUOTE【解析】选A.圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1，3)，半径r=QUOTE，圆心到直线x-3y+3=0的距离d=QUOTE=QUOTE，故弦长为2QUOTE=QUOTE.5.(2024·温州高二检测)对随意的实数k，直线y=kx-1与圆C：x2+y2-2x-2=0的位置关系是 ()A.相离 B.相切C.相交 D.以上三个选项均有可能【解析】选C.直线y=kx-1恒经过点A(0，-1)，圆x2+y2-2x-2=0的圆心为C(1，0)，半径为QUOTE，而|AC|=QUOTE<QUOTE，所以点A在圆内，故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交.6.直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是 ()A.(0，QUOTE-1) B.(QUOTE-1，QUOTE+1)C.(-QUOTE-1，QUOTE+1) D.(0，QUOTE+1)【解析】选A.把圆x2+y2-2ay=0(a>0)化为标准方程为x2+(y-a)2=a2，所以圆心(0，a)，半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心(0，a)到直线x+y=1的距离d=QUOTE>r=a，当a-1>0即a>1时，化简为a-1>QUOTEa，即a(1-QUOTE)>1，因为a>0，无解；当a-1<0即0<a<1时，化简为-a+1>QUOTEa，即(QUOTE+1)a<1，a<QUOTE=QUOTE-1，所以a的范围是(0，QUOTE-1).二、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·西安高二检测)若P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是_________.

【解析】设圆心为C，则C(1，0)，因为P(2，-1)是弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，易知直线CP的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为x-y-3=0.答案：x-y-3=08.(2024·南宁高二检测)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2QUOTE，则a=_________.

【解析】由已知，圆心为(a，0)，半径为2，圆心到直线y=x-4的距离为QUOTE.因为弦长为2QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，解得a=2或a=6.答案：2或6三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2024·台州高二检测)已知直线l过点(2，1)，且在y轴上的截距为-1.(1)求直线l的方程.(2)求直线l被圆C：x2+y2=5所截得的弦长.【解析】(1)由已知，直线l的斜率为QUOTE=1，所以直线l的方程为y=x-1，即x-y-1=0.(2)因为圆心(0，0)到l的距离d=QUOTE，所以弦长为2QUOTE=3QUOTE.10.(2024·重庆高二检测)已知点A(3，-3)，点B(1，3)两点.(1)求以AB为直径的圆C的方程.(2)若直线x+2y+3=0与圆C交于M，N两不同点，求线段MN的长度.【解析】(1)由已知，圆心C为AB中点，所以C(2，0)，半径r=|AC|=QUOTE=QUOTE，所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.(2)圆心到直线MN的距离d=QUOTE=QUOTE，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以|MN|=2QUOTE.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2024·荆州高二检测)若P(2，-2)为圆(x-1)2+y2=100的弦AB的中点，则直线AB的方程为 ()A.x-2y-6=0 B.x+2y+2=0C.2x+y-2=0 D.2x-y-6=0【解析】选A.设圆心为C，则C(1，0)，因为P(2，-2)是弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，易知直线CP的斜率为-2，所以直线AB的斜率为QUOTE，故直线AB的方程为y-(-2)=QUOTE(x-2)，即x-2y-6=0.2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b= ()A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12【解析】选D.因为直线3x+4y-b=0与圆心为(1，1)、半径为1的圆相切，所以QUOTE=1，解得b=2或12.3.假如实数x，y满意(x-2)2+y2=3，那么QUOTE的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.QUOTE=QUOTE，即圆(x-2)2+y2=3上的点和原点(0，0)连线斜率的最大值.如图所示，OA取得最大值kOA=QUOTE.4.已知三点A(1，0)，B(0，QUOTE)，C(2，QUOTE)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.△ABC外接圆圆心在直线BC的垂直平分线即在直线x=1上，设圆心D(1，b)，由DA=DB得|b|=QUOTE，解得b=QUOTE，所以圆心到原点的距离为d=QUOTE=QUOTE.5.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b) ()A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.以上都有可能【解析】选B.因为直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，所以圆心到直线的距离d=QUOTE<1，所以a2+b2>1，所以点P(a，b)在圆外.【补偿训练】直线y=QUOTEx绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是 ()A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点【解析】选C.直线y=QUOTEx的倾斜角为30°，绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角为60°.所以旋转后的直线方程为y=QUOTEx，圆心(2，0)到直线y=QUOTEx的距离为d=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共20分)6.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_________.

【解析】方法一：由已知，圆的方程为x2+y2=5，明显点P处的切线斜率存在，设为k，则切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0，由QUOTE=QUOTE，得k=-QUOTE，所以切线方程为y-2=-QUOTE(x-1)，即x+2y-5=0.方法二：由已知，圆的方程为x2+y2=5，圆在点P处的切线方程为1·x+2·y=5，即x+2y-5=0.答案：x+2y-5=07.(2024·无锡高二检测)已知实数x，y满意方程y=QUOTE，则QUOTE的取值范围是_________.

【解析】方程(曲线)y=QUOTE可化为(x-2)2+y2=3(y≥0)，表示圆的x轴上侧部分，如图.QUOTE表示曲线上的点与原点(0，0)连线的斜率，符合题意的范围是x轴与图中直线l之间，易知，x轴即y=0斜率为0，l斜率为k=tanα=QUOTE，所以，QUOTE的取值范围是[0，QUOTE].答案：[0，QUOTE]8.(2024·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到随意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，S内=_________.

【解析】如图，因为是单位圆，所以OA=1，因为六边形ABCDEF是正六边形，所以△OAB是正三角形，所以AB=1，过点O作OG⊥AB于点G，所以OG=OAsin60°=QUOTE，所以正六边形的面积为6S△OAB=6×QUOTE×AB·OG=QUOTE.答案：QUOTE9.(2024·重庆高二检测)已知点A(-2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点，则△ABC面积的最小值为_________.

【解析】圆x2-2x+y2=0可化为(x-1)2+y2=1，圆心为D(1，0)，半径r=1，直线AB方程为QUOTE+QUOTE=1，即x-y+2=0，圆心D到直线AB的距离d=QUOTE=QUOTE>r=1，点C到直线AB距离最小值为d-r=QUOTE-1，又|AB|=2QUOTE，所以△ABC面积的最小值为QUOTE×QUOTE×2QUOTE=3-QUOTE.答案：3-QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2024·常熟高二检测)已知圆C经过A(-2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y=2x上.(1)求圆C的方程.(2)动直线l：(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则QUOTE解得D=-4，E=-8，F=-5，所以圆C的方程为x2+y2-4x-8y-5=0.(2)动直线l的方程为(x+2y-7)m+2x+y-8=0.则QUOTE得QUOTE所以动直线l过定点M(3，2)，直线m：y=x-1，所以圆心C(2，4)到m的距离为QUOTE，所以PQ的长为2QUOTE=QUOTE.11.(2024·南开区高二检测)已知两点A(3，2)，B(-1，2)，圆C以线段AB为直径.(1)求圆C的方程.(2)已知直线l：y=kx+4，①若直线l与圆C相切，求直线l的方程.②若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，是否存在横坐标为-QUOTE的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，若不存在说明理由，若存在求出k值.【解析】(1)圆的直径|AB|=QUOTE=4，故半径为2.圆心坐标为A(3，2)，B(-1，2)的中点(1，2)，所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.(2)①直线l：y=kx+4，若直线l与圆C相切，则圆心到直线l的距离d=QUOTE=2，解得k=QUOTE或k=0，所以直线l的方程为4x-3y+12=0或y=4.②由方程组QUOTE消去y，整理得(k2+1)x2+(4k-2)x+1=0.若直线l与圆C相交于P，Q不同的两点，则Δ=4k(3k-4)>0，得k>QUOTE或k<0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=QUOTE.若QUOTE=QUOTE=-QUOTE，解得k=3±QUOTE.所以存在横坐标为-QUOTE的点M，使点M恰好为线段PQ的中点，此时k=3+QUOTE.【补偿训练】已知圆O1：(x+2)2+y2=1，P(x，y)为圆上任一点.求：(1)QUOTE的最大、最小值.(2)x-