2024高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程与性质含解析

PAGE第2讲圆锥曲线的方程与性质高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，实力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类探讨思想方法的考查.真题感悟1.(2024·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A.2 B.3 C.6 D.9解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq\f(p,2)＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，解得p＝6.故选C.答案C2.(2024·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) C.(1，0) D.(2，0)解析将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨设D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故选B.答案B3.(2024·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A.eq\f(7,2) B.3 C.eq\f(5,2) D.2解析法一由题知a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝3.故选B.法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2eq\r(1＋3)＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)－\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，,\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝2，))解得|y0|＝eq\f(3,2).所以△PF1F2的面积为eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,2)＝3.故选B.答案B4.(2024·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.解(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝eq\r(a2－b2).不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为eq\f(b2,a)，－eq\f(b2,a)；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，|CD|＝4c.由|CD|＝eq\f(4,3)|AB|得4c＝eq\f(8b2,3a)，即3×eq\f(c,a)＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2).解得eq\f(c,a)＝－2(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以C1的离心率为eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，故C1：eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.设M(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3c2)＝1，yeq\o\al(2,0)＝4cx0，故eq\f(xeq\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(4x0,3c)＝1.①因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，又|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得eq\f(（5－c）2,4c2)＋eq\f(4（5－c）,3c)＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1，C2的标准方程为y2＝12x.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提示应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).②双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程x＝－eq\f(p,2).②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程y＝－eq\f(p,2).4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).(2)过抛物线焦点的弦抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2024·浙江卷)已知点O(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设点P满意|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq\r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7) D.eq\r(10)(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析(1)由|PA|－|PB|＝2＜|AB|＝4，得点P的轨迹是双曲线的右支.又a＝1，c＝2，知b2＝c2－a2＝3.故点P的轨迹方程为x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)①，由于y＝3eq\r(4－x2)②，联立①②，得x2＝eq\f(13,4)，y2＝eq\f(27,4)，故|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10).(2)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆定义，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝|F1A|＝a，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，依题意，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由点B在椭圆上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案(1)D(2)B探究提高1.两题求解的关键在于精确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外留意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最终代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(2024·天津卷)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D.x2－y2＝1(2)(2024·长郡中学检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0，6eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＞\f(p,2)))是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝eq\f(p,2)交于A，B两点(A在B的上方)，若sin∠MFA＝eq\f(5,7)，则此抛物线的方程为________.解析(1)由y2＝4x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程为x＋eq\f(y,b)＝1.易知eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0.由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.故双曲线C的方程为x2－y2＝1.(2)如图所示，过M点作CM⊥AF，垂足为C，交准线于D，∴sin∠MFA＝eq\f(5,7)＝eq\f(|MC|,|MF|).由抛物线定义|MF|＝|MD|＝x0＋eq\f(p,2)，∴eq\f(|MC|,|MF|)＝eq\f(x0－\f(p,2),x0＋\f(p,2))＝eq\f(5,7)，得x0＝3p.∵点M(x0，6eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＞\f(p,2)))是抛物线上一点，∴(6eq\r(6))2＝2px0，36×6＝6p2，∴p＝6，∴y2＝12x.答案(1)D(2)y2＝12x热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2024·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为________.解析(1)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上的点，所以eq\f(c2,a2)－eq\f(yeq\o\al(2,B),b2)＝1，所以yeq\o\al(2,B)＝eq\f(b4,a2)，则yB＝eq\f(b2,a).因为AB的斜率为3，所以eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，则b2＝3ac－3a2.所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a.所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.(2)因为eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图.所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝eq\f(1,tan∠AOF1)＝eq\f(a,b)，tan∠BOF2＝eq\f(b,a).因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))\s\up12(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c.所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案(1)2(2)2探究提高1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由yeq\o\al(2,B)＝eq\f(b4,a2)得yB＝±eq\f(b2,a)；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求eq\f(c,a)的值.3.求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】(1)(多选题)(2024·青岛统测)已知椭圆Ω：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是()A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为eq\f(\r(2),2)B.若椭圆Ω的离心率为eq\f(1,2)，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4aD.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的随意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－eq\f(b2,a2)(2)(多选题)(2024·德州质检)双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为eq\f(\r(6),2)B.双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为eq\r(2)D.|PF|的最小值为2解析(1)若a＝2b，则c＝eq\r(3)b，所以e＝eq\f(\r(3),2)，A不正确；若e＝eq\f(1,2)，则a＝2c，b＝eq\r(3)c，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，B正确；依据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),a2))),xeq\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，D正确.故选BCD.(2)对于A，因为a＝2，b＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，所以双曲线C的离心率为eq\f(\r(6),2)，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±eq\f(\r(2),2)x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝eq\f(\r(2),2)x上，则直线PF的方程为y－0＝－eq\r(2)(x－eq\r(6))，即y＝－eq\r(2)(x－eq\r(6))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)（x－\r(6)），,y＝\f(\r(2),2)x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(6),3)，,y＝\f(2\r(3),3)，))所以点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，\f(2\r(3),3)))，所以△PFO的面积S＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\r(2)，所以C正确；对于D，因为点F(eq\r(6)，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝eq\f(\r(2),2)x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为eq\r(2)，所以D错误.故选ABC.答案(1)BCD(2)ABC热点三有关弦的中点、弦长问题【例3】(2024·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，即t<eq\f(1,2)，则x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9).从而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)(满意Δ>0).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2.②由①②联立，得y1＝3，且y2＝－1.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\f(4\r(13),3).探究提高1.涉及弦长的问题，应娴熟地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A，B两点坐标易求时也可以干脆用|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)求解.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在运用根与系数的关系时，要留意运用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练3】(2024·衡水质检)已知椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点.(1)若△F1AB的面积为eq\f(20\r(3),11)，求直线l的方程；(2)若eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2A,\s\up6(→))，求|AB|.解(1)当直线l斜率为0时，不满意题意.当直线l斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋1，代入椭圆C的方程消去x，得(5m2＋6)y2＋10my－25＝0，Δ＞0⇒m∈R，由根与系数的关系得y1＋y2＝eq\f(－10m,5m2＋6)，①y1y2＝eq\f(－25,5m2＋6)，②则S△F1AB＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(\f(100m2,（5m2＋6）2)－4×\f(（－25）,5m2＋6))＝eq\f(20\r(3),11).整理得50m4－m2－49＝0，解得m2＝1或m2＝－eq\f(49,50)(舍去)，故直线l的方程为x±y－1＝0.(2)若eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2A,\s\up6(→))，则(1－x2，－y2)＝2(x1－1，y1)，所以y2＝－2y1.代入上式①②得y1＝eq\f(10m,5m2＋6)，2yeq\o\al(2,1)＝eq\f(25,5m2＋6)，消去y1，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10m,5m2＋6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,5m2＋6)，解得m＝±eq\r(2)，所以|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(3)|y1－y2|＝3eq\r(3)|y1|＝3eq\r(3)×eq\f(10\r(2),5×2＋6)＝eq\f(15\r(6),8).热点四与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题【例4】(2024·北京卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值.解(1)由椭圆过点A(－2，－1)，得eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.又a＝2b，∴eq\f(4,4b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝2，∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，明显不合题意.设直线l：y＝k(x＋4)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋4），,x2＋4y2＝8))得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.由Δ＞0，得－eq\f(1,2)＜k＜eq\f(1,2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(－32k2,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(64k2－8,4k2＋1).又∵直线AM：y＋1＝eq\f(y1＋1,x1＋2)(x＋2)，令x＝－4，得yP＝eq\f(－2（y1＋1）,x1＋2)－1.将y1＝k(x1＋4)代入，得yP＝eq\f(－（2k＋1）（x1＋4）,x1＋2).同理yQ＝eq\f(－（2k＋1）（x2＋4）,x2＋2).∴yP＋yQ＝－(2k＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋4,x1＋2)＋\f(x2＋4,x2＋2)))＝－(2k＋1)·eq\f(2x1x2＋6（x1＋x2）＋16,（x1＋2）（x2＋2）)＝－(2k＋1)·eq\f(\f(2（64k2－8）,4k2＋1)＋\f(6×（－32k2）,4k2＋1)＋16,（x1＋2）（x2＋2）)＝－(2k＋1)·eq\f(128k2－16－192k2＋64k2＋16,（4k2＋1）（x1＋2）（x2＋2）)＝0.∴|PB|＝|BQ|，∴eq\f(|PB|,|BQ|)＝1.探究提高1.求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.2.推断直线与圆锥曲线的交点个数时，可干脆求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需留意利用判别式的前提是二次项系数不为0.【训练4】(2024·天津卷)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满意3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.解(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.由a2＝b2＋c2，得a2＝18.所以椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx－3.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(12k,2k2＋1).依题意，可得点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率kCP＝eq\f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq\f(3,2k2－6k＋1).又因为AB⊥CP，所以k·eq\f(3,2k2－6k＋1)＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝1.所以，直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x－3或y＝x－3.即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.A级巩固提升一、选择题1.(2024·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP解析如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.答案B2.(多选题)(2024·新高考山东、海南卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是()A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线解析对于A，当m＞n＞0时，有eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，方程化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝eq\f(1,n)，该方程表示半径为eq\r(\f(1,n))的圆，B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))x，C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.答案ACD3.(多选题)(2024·青岛一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq\r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是()A.p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4解析如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为eq\r(3)，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.由C选项知|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，D错误.故选ABC.答案ABC4.(2024·东北三省三校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，若点P到x轴的距离为eq\f(1,4)|F1F2|，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以PF1⊥PF2，则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,4)|F1F2|·|F1F2|＝c2.代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(2).答案A5.(2024·成都诊断)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))解析依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，∴tan(∠PF1F2)max≥tan30°＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即b≥eq\f(\r(3),3)c.又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))≤eq\r(\f(3,4))＝eq\f(\r(3),2).故椭圆离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).答案B二、填空题6.(2024·北京卷)已知双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.解析由eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(3),\r(6))x，即x－eq\r(2)y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝eq\f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq\r(3).答案(3，0)eq\r(3)7.(2024·全国Ⅲ卷改编)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.解析法一设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，从而a＝1.法二由题意得，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan45°)＝4，得b2＝4，又e2＝eq\f(c2,a2)＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.答案18.设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.解析不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2eq\r(36－20)＝8，因为△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.因为点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq\r(15)).答案(3，eq\r(15))三、解答题9.(2024·湖北重点中学联考)定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.假如两个椭圆的“特征三角形”是相像的，那么称这两个椭圆是“相像椭圆”，并将“特征三角形”的相像比称为椭圆的相像比.已知椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相像椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.(1)写出椭圆C2的方程；(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.解(1)依题意，设椭圆C2的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则由椭圆C2与C1是“相像椭圆”，可得eq\f(4,a2)＝eq\f(1,b2)，即a2＝4b2.所以椭圆C2的方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1(b＞0).(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋t，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4t,5)，y0＝eq\f(t,5).由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，所以eq\f(t,5)＝eq\f(4t,5)＋1，解得t＝－eq\f(5,3)，则直线MN的方程为y＝－x－eq\f(5,3)，将t＝－eq\f(5,3)代入①式，解得b＞eq\f(\r(5),3).所以实数b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，＋∞)).10.(2024·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝eq\f(x2,2)，D为直线y＝－eq\f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.(1)证明设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1).设d1，d