黑龙江省友谊县某中学2024-2025学年高二年级上册阶段测试数学试卷（含答案）

阶段测试卷（二）

数学试题

注意事项：

1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线3x+岛+5=0的倾斜角为（）

兀兀2兀3兀

A.—B.-C.—D.—

6434

2.已知直线4：x+ay-2=0J2：（。+1）%一"+1=0,若p:l[〃（2；q：a=-2,则）是“的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.己知直线+y—。+2=0与圆C：（x—2）2+（y+l）2=9交于48两点，则当弦48最短时，直线/

的方程为（）

A.3x+y+l=0B,X+2J+3=0

C.2x+j=0D.x+y+l=0

4.己知平面a内有两点〃（l,—l,2）,N（a,3,3）,平面a的一个法向量为方=（6,-3,6）,则。=（）

A.4B.3C.2D.1

5.在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴上的动点，若以"N为直径的圆与直线

3x+4y—10=0相切，则该圆半径的最小值为（）

13

A.—B.1C.—D.2

22

6.点尸为x轴上的点，2（1,2）,8（3,4）,以4民尸为顶点的三角形的面积为8,则点尸的坐标为（）

A.（7,0）或（―9,0）B.（7,0）或（―11,0）C.（7,0）或（9,0）D.（—11,0）或（―9,0）

7.棱长为2的正方体A8CD-481GA中，尸是3G中点，则异面直线尸。与48所成角的余弦值是

（）

A.@B.正C.叵D.正

6633

8.点尸是以48为直径的单位圆上的动点，尸到48的距离分别为XJ,则x+>+中的最大值为

（）

A.2V2B.3V2C.2+2V2D.2+3V2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：x—y—l=0,动直线4：（左+1卜+勿+左=0（左eR）,则下列结论错误的有（）

A.不存在左，使得4的倾斜角为90。

B.存在实数上，使得4与4没有公共点

C.对任意的左,4与4都不重合

D.对任意的左，与4都不垂直

10.如图，平行六面体45C。-其中，以顶点Z为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角

都是60°，下列说法中正确的是（）

A.|/Ci卜6^/6

B.莺，丽

C向量麻与五4的夹角是60°.

D.异面直线BDi与AC所成的角的余弦值为旦.

3

11.已知圆C:（x—2）2+/=4,直线/:（m+l）x+2y—3—机=O（meR）,贝！|（）

A.直线/恒过定点（1,1）

B.存在实数加，使得直线/与圆。没有公共点

C.当〃i=-3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆/+/—2x+8y+l=0恰有两条公切线

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线（:（2a-l）x-（a-2）j+l=0,直线4：（a+l）x—2y—1=0.若1/2,则实数a的值为

13.定义@区3=|划2—展3.若向量1=（1,—2,3）,向量B为单位向量，则2区3的取值范围是.

14.已知圆G:_4依+2y+1=0与圆&：/+/+20—1=0的公共弦所在直线恒过点P,则点

尸坐标为,|PG「+归。2『的最小值为.（第一空2分.第二空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知点2（3,4）,求下列直线的方程：

（1）求经过点幺（3,4）,且在x轴上的截距是N轴上截距的2倍的直线的方程，

（2）光线自点幺（3,4）射到〉轴的点8（0,1）后被〉轴反射，求反射光线所在生线的方程.

16.（15分）已知圆M:（x—1）2+（＞-2）2=4,直线/过点2（3,2）.

（1）若直线/被圆M所截得的弦长为26，求直线/的方程，

（2）若直线/与圆M交于另一点8,与x轴交于点C,且Z为5c的中点，求直线/的方程.

17.（15分）在①圆过点。（―9,2）；②圆心在直线x—歹+1=0上；③半径不大于10的圆与直线

2x-了-10君=0相切，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解.

已知圆£过点幺（1,12）,8（7,10）,且.

（1）求圆£的方程；

（2）已知点C（一2,0）,。（2,—20）,在圆£上是否存在点尸，使得尸尸。2=258?若存在，求出点

尸的个数；若不存在，请说明理由.

18.（17分）如图，四棱锥E—48c。中，/E_L平面〃

BC,AE=AB=BC=2,AD=1,过40的平面分别与棱£8,£C交于点

（1）求证，AD〃MN；

（2）记二面角/—ON—£的大小为6,求cos。的最大值.

19.（17分）已知圆。：/+3-1）2=4,Z（a,b）为圆C上一点.

（1）求打工的取值范围；

a

（2）圆。：/+（了+1）2=厂2&>0）的圆心为。，与圆C相交于M、N两点，〃为圆C上相异于〃、N的

点，直线HM,HN分别与J轴交于点尸、0,求S7cHp-SVCHQ的最大值.

阶段测试卷（二）数学

参考答案及评分意见

1.C【解析】由3》+6y+5=0得了=—后一半，设其倾斜角为a,ae[0㈤，所以斜率

I—乙儿

k=-V3=tana，故倾斜角为]二—.故选C.

2.B【解析】若/i〃4，则1x（—。）一。（。+1）=0,解得a=0或。=一2,・,.）乙％夕=>夕,「・夕是夕的必

要不充分条件.故选B.

3.D【解析】因为/:a（x-l）+y+2=0,所以直线/恒过定点。（1,一2）,又因为且

（1—2）2+（—2+1）2=2<9,所以。点在圆C内，故当。C，/时，弦48最短，设直线/的斜率为左，则

2-1

=-1,所以直线/的方程为y+2=—（x-l）即x+y+l=0.故选D.

-1-(-2)

4.C【解析】因为河（l,—l,2）,N（a,3,3）,所以加=（a—1,4,1）,因为平面a的一个法向量为

H=（6,-3,6）,所以万工荻，则心加=6（a—l）—3x4+6=0,解得a=2.故选C.

5.B【解析】:"N是直径，/河9=90°,.,.点0在圆上，过O作如垂直直线3x+4y—10=0,交

点为，

•・•圆与直线3x+4y—10=0相切，,要使圆的半径最小，此时8为圆的直径即可，由O到直线

-10

3x+4y—10=0的距离为乙^^=2,则圆的半径1.故选B.

V32+42

6.A【解析】设尸（x,0）,易知直线48的方程为x—歹+1=0,点尸到直线48的距离

,\AB\=242,所以S=gx2/xml

=8,解得x=—9或x=7,所以点尸的坐标为（7,0）

或（-9,0）.故选A.

7.A【解析】如图，连接4G，取4G的中点。，连接尸0,DQ,A[D,DCi，BD,

••・V4c田中，尸,0分别为4G、BG的中点，，尸0〃4民尸0=；4氏二/。尸0（或其补角）就是异

面直线PD与AXB所成角，：正方体ABCD-451GA的棱长为2,:MBDCX中,

BD=BC{=DCX=2V2,可得DP=g~BD=娓,同理可得VPQ。中,

PQ4A'B=6'票**r*即异面直线9与45所

成角的余弦值是@.故选A.

6

8.C【解析】因为点尸是以48为直径的单位圆上的动点，所以尸4,尸8,因为尸到48的距离分别为

~i、

兀

x,y,所以Vy2=4,令x=2cose,y=2sin。0e0—，所以

+52JJ

x-\-y+xy=2cos。+2sin6+4sin6cos。,令，=sin6^+cos<9=

c”一1

r=l+2sin9cos。，所以sin6cos9=------，所以

2

2

x+y+xy=2t+4x^-=2t+2t-2=2(t+^\-1,因为/e[l,&],所以当/=血时,

》+了+中取得最大值2><（近）2+2及—2=2啦+2.故选©.

9.ABC【解析】对于A,当k=0时，，2的方程为x=0,故倾斜角是90°，A错误；对于B,两直线总

有公共点（0,-1）,8错误；对于C,当左=-；时，两直线的方程都是y=x-1,故重合，C错误；对于

D,由于1•(左+1)+(—1)・左=1。0,故两直线不垂直，D正确.故选ABC.

10.AB【解析】设方="诟=3,数=]，因为各条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°，所以

a-b-b-c—c-a=6x6xcos60°=18»因为4G=a+b+c,所以,

\AC\=J(/+B+C)2=^2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a=73x36+3x2x18=6指，故A正确；

由RD=b-a<所以NG,BZ)=^a+b+c^-^b-a^=b2-a2+c-b-c-a=

36-36+18-18=0,所以布，丽，故B正确；因为麻=B-己，且|万同=6,所以

/—•—>\伍-cj'CbN-c~18-361

cos(gC,44]~*=尸~^=——=-T>所以其夹角为120。，故C错误；因为

'/\b-c\-\c\\b-c\-\c\6x62

2

BDX=c-a+b,AC=a+6,^\=^(c-a+b)=736+36+36-2x18-2x18+2x18=672,

因卜J伍+BJ=736+36+2x18=6瓜

^-^C=(c-a+^).(a+^)=P-a2+c-a+c-6=36-36+18+18=

36,所以cos(西,—+厂36旦,故D错误.故选AB.

\/\c-a+b\^\a+b\672x6736

/、(x—1=0[x=l

H.ACD【解析】对于A,直线/的方程为(x—l)加+x+2y-3=0,由《+2__】，直线

/过定点（1,1）,A正确；对于B,又（l—2）2+F=2<4,即定点（U）在圆C内，则直线/与圆C相交，有

两个交点，B错误；对于C,当机=-3时，直线/:x-y=0,圆心C（2,0）到直线/的距离为

=V2,而圆C半径为2,且2-8<1因此恰有2个点到直线/的距离等于1,C正确；对

于D,圆x?+72-2x+8y+1=0化为(x—I)?+(y+4)2=16,圆x?+y?-2x+8y+1=0的圆心为

(1,-4),半径为4,两圆圆心距为(/',则4—2=2<d'=,(1—2)2+(—4—0)2=旧<4+2=6,两圆

相交，因此它们有两条公切线，D正确.故选ACD.

12.1或—：【解析】因为直线4：(2a—l)x—(a—2万+1=0,直线4：(a+l)x—2〉—1=0,且

LU,所以(2"1)(。+1)+[-("2)](-2)=0,解得°=1或a=_(故答案为1或

13.[14-714,14+714]【解析】由题意知同=«,忖=1.设(扇如>==，则

22

a®b=\a|-a-b=|s|-|5|-|6|cos^=14一VfZcos。.又6e[0,TI],则cos6^e[-1,1],故

方(8)3£[14_9,14+9].故答案为[14_曰,14+7^].

2

14.(；,—1]；A【解析】由G：/+/—4区+2了+1=0,C2:x+/+2Ay-l=0,可得

1

2x+y=0x——

2Ax—jv+ky—1—0,即左(2x+y)+(—y—1)=0,所以<,解得彳2,所以点

—y—1=0

J=—1

Pt'—"；又G(2£—l)C(。，-左)，则

+(—1+左)2=5左2-4左+'=5^左一2]+--,所以当左=一时,

215)105

°,72

|PG『+|PG|取最小值为历，经检验，当左=《时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意.故答案

15.解：(1)当直线过原点时，满足在x轴上的截距是歹轴上截距的2倍，

此时直线方程为^=丘，将2(3,4)代入，可得左=；化简可得4x—3歹=0;

XV

当直线不过原点时，设直线方程为一+4=1,且。=26,

ab

即1--=1,将幺(3,4)代入，可得1—=1,解得b=—,

2bb2bb2

上+上=1

则直线方程为1111,化简可得x+2y—ll=0；

综上，直线方程为4x—3y=0或x+2y—ll=0

(2)点4关于〉轴的对称点的坐标为H(-3,4),

由题意可知，反射光线所在的直线经过点Z'(-3,4)与8(0,1),

所以反射光线所在的直线斜率为左=*、=-1,

AB-3-0

则反射光线所在的直线方程为N-1=-1(》-0),化简可得x+歹-1=0

16.解：(1)由题意可知，圆M的圆心为“(1,2),半径「=2,

若直线/被圆M所截得的弦长为2G，则圆心到直线的距离为d=Vr2-3=1

当直线斜率不存在时，/:x=3与圆相切，不符合题意，舍去；

当直线斜率存在时，设直线/：>一2=左(》一3),即Ax—y+2—3无=0,

\k-2+2-3k\

可得d=/=1,所以左=±—,

■+i3

则直线/方程为Gx—3y+6-36=0或Gx+3y-6-3括=0

(2)设C&0),因为Z为5c中点,则8(67,4),

由8在圆M上得(6—1―1>+(4—2)2=4,解得t=5,

则C(5,0),所以直线=

即直线/的方程为x+y—5=0.

17.解：(1)若选①，设圆£的方程为x2+y2+Qx+4+尸=0,

l+144+D+12E+F=0,

由已知可得<49+100+7D+10E+F=0,

81+4-9£>+2£+F=0,

解得。=-2,E=-4,F=-95,

所以圆£的方程为f+j?—2x—4y—95=0.

若选②，由已知得4s的中点为(4,11),直线4s的斜率为-；，

所以48的垂直平分线的方程为y-ll=3(x—4),即);=3x—1.

y=3x-l,

因为圆心在直线x—歹+1=0上，所以联立方程「,八

x=l

解得所以圆心£的坐标为(1,2),半径为4^=10,

所以圆£的方程为(x—1)2+3—2)2=100

若选③，设圆的方程为(x—a)2+3—6)2=产，

因为圆£过点/(1,12),8(7,10),

卜1一4+(12—4=产，

(7-a)~+(10-6)~=厂.

因为圆与直线2x—y—10岔=0相切，

|2"b—10为

所以।,」=「,解得。=11=2/=10,

百+(—Ip

所以圆£的方程为(X—1)2+3—2)2=100

(2)设尸(x,y),由已知

PC-+PD2=(x+2)2+/+(x-2)2+(v+20)2=2x2+2/+40v+408=258,

所以Y+「+20了+75=0,即/+(y+1Op=25,

所以点尸在圆川：/+°；+10)2=25上，圆M的圆心M的坐标为(0,—10),半径么=5.

又因为点尸在圆E：(x—iy+(y—2)2=100上，圆£的圆心£的坐标为(1,2),半径「=10,

又ME=&+\22=Vi后/-4=5/+。=15，

所以r-4<ME<r+i\,

所以圆M与圆E相交，两圆有两个公共点，所以符合题意的点尸的个数是2

18.解：(1)证明：因为4D〃8c4DU平面8CE,8Cu平面5CE,

所以4。〃平面5CE,

因为过AD的平面分别与棱EB,EC交于M,N,

所以4。〃"N；

（2）因为ZE，平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以民4E1.AD,

又因为48,4。，所以/民4£,两两互相垂直,

如图，以4为原点，建立空间直角坐标系4-孙z,

则8（2,0,0）,C（2,0,2）,£（0,2,0）,。（0,0,1）

所以丽=（0,_2,1）,反=（2,-2,2）,赤=（一2,2,0）,

AD=（0,0,1）,

设前=4砺,4e[0,1],则而=益+两=（2,0,0）+

2（-2,2,0）=（2-22,22,0）,

设平面/ND即平面ZM®的法向量为玩=（石,必,句）,

m-AD=a=0,

<——•,、解得马=0,

m-^M=（2-22）x1+22j1=0,

令x=X,则y=X-l,于是应=（4,4一1,0）,

设平面END即平面ECD的法向量为H=（X2,J2,Z2）,

n-EC=2X2—2y2+2z2=0

则<，令为=1，则Z2=2,、2=-1，

n-ED=-2y2+z2=0

于是拓=（一1,1,2）,

2x(-l)+2-l

限“2+("1)2

V3_V6

因为Xe[0,l],所以cos〈泣万〉e~T~~6~

根据应=（42T,0）,力=（T」,2）的方向判断可得。=兀一〈玩,方＞,

V6A/3

所以COS®£

i/?

故当彳=—时，cos9的最大值为组

23

19.解：（1）方法一可看做动点/（。8）与定点。（0,-2）确定的直线的斜率,

a

176+2

此时k/D~,

a

过。点的直线可设为^+2=左（％-0）,即红一^一2=0,

圆。半径为2,当。点到直线的距离为2时，直线与圆。相切,

=2,解得k=+-

2

的取值范围为［-叫—gU、;

贝ijkAD即

a222