人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业6：习题课 二项式定理练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1习题课二项式定理基础达标一、选择题1．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,\r(x))))eq\s\up12(12)的展开式中的常数项是()A．第7项 B．第8项C．第9项 D．第10项〖解析〗二项展开式中的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,12)·x12－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,12)·2k·x12－eq\f(3,2)k，令12－eq\f(3,2)k＝0，得k＝8.∴常数项为第9项．〖答案〗C2．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56 B．84C．112 D．168〖解析〗因为(1＋x)8的通项为Ceq\o\al(k,8)xk，(1＋y)4的通项为Ceq\o\al(t,4)yt，故(1＋x)8(1＋y)4的通项为Ceq\o\al(k,8)Ceq\o\al(t,4)xkyt.令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,4)＝168.〖答案〗D3．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为()A．15 B．10C．8 D．5〖解析〗由于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，得其展开式中所有项的系数的和为4n，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.〖答案〗D4．若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))eq\s\up12(7)的展开式中eq\f(1,x3)的系数是84，则实数a等于()A．2 B.eq\r(4)C．1 D.eq\f(\r(2),4)〖解析〗二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))eq\s\up12(7)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(2x)7－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,7)27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展开式中eq\f(1,x3)的系数是Ceq\o\al(5,7)22a5，即Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.〖答案〗C5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于()A．5 B．6C．7 D．8〖解析〗∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Ceq\o\al(m,2m)，∴a＝Ceq\o\al(m,2m).同理，b＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1).∵13a＝7b，∴13·Ceq\o\al(m,2m)＝7·Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)，∴13·eq\f(（2m）！,m！m！)＝7·eq\f(（2m＋1）！,（m＋1）！m！)，∴m＝6.〖答案〗B二、填空题6．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,ax)))eq\s\up12(6)的展开式中，常数项为eq\f(15,16)，则二项式系数最大的项为__________．〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,ax)))eq\s\up12(6)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(x2)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)a－kx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，∴Ceq\o\al(4,6)a－4＝eq\f(15,16)，解得a＝±2，当a＝2时，二项式系数最大的项为Ceq\o\al(3,6)(x2)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,2)x3.当a＝－2时，二项式系数最大的项为Ceq\o\al(3,6)(x2)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))eq\s\up12(3)＝－eq\f(5,2)x3.〖答案〗eq\f(5,2)x3或－eq\f(5,2)x37.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))eq\s\up12(3)的展开式中常数项为__________．〖解析〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))eq\s\up12(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(6)展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(－1)kx6－2k.令6－2k＝0，解得k＝3.故展开式中的常数项为－Ceq\o\al(3,6)＝－20.〖答案〗－208．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是__________．〖解析〗1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×0.05＋Ceq\o\al(2,6)×0.052＋Ceq\o\al(3,6)×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.〖答案〗1.34三、解答题9．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中二项式系数之和比(2x＋xlgx)2n的展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x.解依题意得2n－22n－1＝－112，整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得Ceq\o\al(4,8)(2x)4(xlgx)4＝1120，化简得x4(1＋lgx)＝1，所以x＝1或4(1＋lgx)＝0，故所求x的值为1或eq\f(1,10).10．在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项．解(1)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中，前三项的系数分别为1，eq\f(n,2)，eq\f(n（n－1）,8).根据前三项的系数成等差数列，可得n＝1＋eq\f(n（n－1）,8)，求得n＝8或n＝1(舍去)．故二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)·2－k·x4－k.令4－k＝0，求得k＝4，可得展开式中的常数项为T5＝Ceq\o\al(4,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(35,8).(2)设第k＋1项的系数最大，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,8)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k)≥Ceq\o\al(k＋1,8)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k＋1)，,Ceq\o\al(k,8)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k)≥Ceq\o\al(k－1,8)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(k－1)，))求得2≤k≤3.因为k∈Z，所以k＝2或k＝3，故系数最大的项为T3＝7x2或T4＝7x.能力提升11．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中含x的项为第6项，设(1－x＋2x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a1＋a2＋…＋a2n＝__________．〖解析〗因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式的通项是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(－1)k·x2n－3k(k＝0，1，2，…，n)，因为含x的项为第6项，所以当k＝5时，2n－3k＝1，即n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝28＝256.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a2n＝255.〖答案〗25512．已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))eq\s\up12(n).(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1)由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，∵T4＝Ceq\o\al(3,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)(2x)3＝eq\f(35,2)x3，T5＝Ceq\o\al(4,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)(2x)4＝70x4，∴第4项的系数是eq\f(35,2)，第5项的系数是70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为Ceq\o\al(7,14)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(7)×27＝3432.(2)由Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，即n2＋n－156＝0，得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))eq\s\up12(12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(12)(1＋4x)12，∴由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,12)·4k≥Ceq\o\al(k－1,12)·4k－1，,Ceq\o\al(k,12)·4k≥Ceq\o\al(k＋1,12)·4k＋1，))解得9.4≤k≤10.4.∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，且T11＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(12)·Ceq\o\al(10,12)·410·x10＝16896x10.创新猜想13．(多选题)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值可以为()A．－5 B．－3C．1 D．5〖解析〗在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即〖(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)〗＝m9.令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9.∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，∴〖(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)〗〖(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a