人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业6：7 4 2 超几何分布练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4.2超几何分布基础达标一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A.eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,48),Ceq\o\al(5,52)) B.eq\f(Ceq\o\al(3,48)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(5,52))C．1－eq\f(Ceq\o\al(1,48)Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(5,52)) D.eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,48)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,48),Ceq\o\al(5,52))〖解析〗设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,48),Ceq\o\al(5,52))＋eq\f(Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,48),Ceq\o\al(5,52)).〖答案〗D2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.eq\f(1,50) B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,825) D.eq\f(1,4950)〖解析〗记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(0,96),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(1,825).〖答案〗C3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为()A.eq\f(Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(4,12)) B.eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,12))C．1－eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,12)) D．1－eq\f(Ceq\o\al(4,8),Ceq\o\al(4,12))〖解析〗从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－eq\f(Ceq\o\al(4,8),Ceq\o\al(4,12)).〖答案〗D4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq\f(Ceq\o\al(1,22)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,22),Ceq\o\al(2,26))的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)〖解析〗本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．〖答案〗B5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是eq\f(3,10)的事件为()A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的〖解析〗令“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(4－k,3),Ceq\o\al(4,10))(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，故选C.〖答案〗C二、填空题6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________．〖解析〗易知P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,15),Ceq\o\al(2,20))＝eq\f(15,38).〖答案〗eq\f(15,38)7．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为__________(用式子表示)．〖解析〗二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,97)＋Ceq\o\al(4,97),Ceq\o\al(4,100)).〖答案〗eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,97)＋Ceq\o\al(4,97),Ceq\o\al(4,100))8．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X≥8的概率P(X≥8)＝__________．〖解析〗由题意知P(X≥8)＝1－P(X＝6)－P(X＝4)＝1－eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(4,9))－eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,9))＝eq\f(5,6).〖答案〗eq\f(5,6)三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；(2)他能及格的概率．解(1)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).所以X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).10．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研．(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值．解(1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为Ceq\o\al(2,50)＝1225.记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的样本点个数为Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,25)＋Ceq\o\al(1,15)Ceq\o\al(1,25)＝775.根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝eq\f(775,1225)＝eq\f(31,49).(2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,10)Ceq\o\al(2,15),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(7,20)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,15),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10)Ceq\o\al(0,15),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(3,20).所以X的分布列为X012Peq\f(7,20)eq\f(1,2)eq\f(3,20)所以X的期望值E(X)＝0×eq\f(7,20)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,20)＝0.8.能力提升11．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9).从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝__________．〖解析〗设10个球中有白球m个，则eq\f(Ceq\o\al(2,10－m),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(7,9)，解得m＝5或m＝14(舍去)．所以P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,12).〖答案〗eq\f(5,12)12．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望．解(1)P＝1－eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3)，即该顾客中奖的概率为eq\f(2,3).(2)X的所有可能值为：0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的概率分布列为：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)期望值为E(X)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16(元)．创新猜想13．(多选题)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是()A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出