人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业6：§7 5 正态分布练习VIP

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§7.5正态分布课时对点练1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于()A．0.85B．0.70C．0.35D．0.15〖答案〗C〖解析〗P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.2．某厂生产的零件外径X～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9cm,9.3cm，则可认为()A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产情况均正常D．上午、下午生产情况均异常〖答案〗A〖解析〗因测量值X为随机变量，又X～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝〖μ－3σ，μ＋3σ〗＝〖9.4,10.6〗，则9.9∈I,9.3∉I.故选A.3．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为()A．3B．4C．5D．6〖答案〗B〖解析〗因为随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.4．已知随机变量X服从正态分布N(100,4)，若P(m≤X≤104)＝0.1359，则m等于()〖附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545〗A．100 B．101C．102 D．103〖答案〗C〖解析〗∵随机变量X服从正态分布N(100,4)，∴P(98≤X≤102)＝0.6827，P(96≤X≤104)＝0.9545，∴P(102≤X≤104)＝eq\f(1,2)(0.9545－0.6827)＝0.1359，又P(m≤X≤104)＝0.1359，∴m＝102.5．某工厂生产了10000根钢管，其钢管内径(单位：mm)近似服从正态分布N(20，σ2)(σ>0)，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于20.05mm的占钢管总数的eq\f(1,50)，则这批钢管中，内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为()A．4200根 B．4500根C．4800根 D．5200根〖答案〗C〖解析〗∵P(X<19.95)＝P(X>20.05)＝eq\f(1,50)，∴P(19.95≤X≤20.05)＝1－eq\f(2,50)＝eq\f(24,25)，∴P(19.95≤X≤20)＝eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)，故这批钢管内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为10000×eq\f(12,25)＝4800(根)．6.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3〖答案〗D〖解析〗当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，得当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X≤4－a)＝________.〖答案〗0.36〖解析〗∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性，可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，则σ＝________，P(|X－2|<4)＝________.〖答案〗20.84〖解析〗∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.∵P(2<X<6)≈0.6827，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)〖P(－2<X<10)－P(2<X<6)〗＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)P(－2<X<10)＋eq\f(1,2)P(2<X<6)＝0.84.9．设X～N(3,42)，试求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．解∵X～N(3,42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，∴P(7≤X≤11)＝eq\f(1,2)〖P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)〗＝eq\f(1,2)〖P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，∴P(X＞11)＝eq\f(1,2)〖1－P(－5≤X≤11)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(3－8≤X≤3＋8)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？解还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)．若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．因为P1<P2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．11．在某市2021年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名〖答案〗A〖解析〗因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝eq\f(1,2)〖1－P(88≤X≤108)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.所以0.15865×9455≈1500.12．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100,102)，则下列选项中正确的是()(参考数值：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，即P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．E(X)＝100B．D(X)＝100C．P(X≥90)≈0.84135D．P(X≤120)≈0.99875〖答案〗ABC〖解析〗随机变量X服从正态分布N(100,102)，∴E(X)＝μ＝100，D(X)＝σ2＝102＝100，故A，B正确；根据题意可得P(90≤X≤110)≈0.6827，P(80≤X≤120)≈0.9545，∴P(X≥90)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.6827≈0.84135，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.9545≈0.97725，故D错误．13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.根据行业标准，概率低于0.0027视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为()A.eq\f(44,45) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(41,45)〖答案〗B〖解析〗10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间〖97,103〗内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为eq\f(C\o\al(7,9),C\o\al(8,10))＝eq\f(4,5)，故选B.14．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2,3〗内的概率为________．〖答案〗x＝10.1359〖解析〗由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．由X～N(1,1)知P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)〖P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－2×1<X≤1＋2×1)－P(1－1<X≤1＋1)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.15．(多选)下列说法中正确的是()A．设随机变量X服从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝eq\f(5,16)B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|＜2)＝a，则P(X＞2)的值为eq\f(1＋a,2)D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3〖答案〗AB〖解析〗∵随机变量X服从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(5,16)，故A正确；∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2.∵P(X＜4)＝0.9，∴P(2＜X＜4)＝0.4，∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，故B正确；已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|＜2)＝a，则P(X＞2)＝eq\f(1,2)〖1－P(|X|＜2)〗＝eq\f(1－a,2)，故C错误；E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝4D(X)，故D错误．16．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间〖187.8,212.2〗的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.