人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业4：7 3 2 离散型随机变量的方差练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.3.2离散型随机变量的方差基础达标一、选择题1．设一随机试验的结果只有A和eq\o(A,\s\up6(－))，且P(A)＝m，令随机变量X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)〖解析〗由题意知X服从两点分布，故D(X)＝m(1－m)．〖答案〗D2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，则D(2X－5)＝()A．6 B．8C．3 D．4〖解析〗E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，∴D(X)＝eq\f(1,5)×〖(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2〗＝2，∴D(2X－5)＝4D(X)＝4×2＝8.〖答案〗B3．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p〖解析〗易知X服从两点分布，∴E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．〖答案〗D4．以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？()A．甲 B．乙C．甲、乙均可 D．无法确定〖解析〗E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．〖答案〗A5．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x2＋x3,2)，eq\f(x3＋x4,2)，eq\f(x4＋x5,2)，eq\f(x5＋x1,2)的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则()A．D(X1)>D(X2)B．D(X1)＝D(X2)C．D(X1)<D(X2)D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关〖解析〗由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)>D(X2)．〖答案〗A二、填空题6．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为__________．〖解析〗设该事件在一次试验中发生的概率为p，事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.〖答案〗0.57．已知随机变量X的分布列为X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)且E(X)＝1.1，则D(X)＝__________．〖解析〗由随机变量分布列的性质可得p＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,10)＝eq\f(1,2).又E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋x·eq\f(3,10)＝1.1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.〖答案〗0.498．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(X)＝______．〖解析〗由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，,c－a＝\f(1,3)，))解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).〖答案〗eq\f(5,9)三、解答题9．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．解由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．10．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解甲保护区违规次数X的数学期望和方差为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．能力提升11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3)C．3 D.eq\f(11,3)〖解析〗x1，x2满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3).))∵x1<x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.〖答案〗C12．为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．解(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴X，Y的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．创新猜想13．(多选题)已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则下列式子正确的是()A．E(X)＝－eq\f(1,3) B．D(X)＝eq\f(23,27)C．P(X＝0)＝eq\f(1,3) D．P(X＝1)＝eq\f(1,2)〖解析〗由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故A正确；D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故B不正确；C显然正确；P(X＝1)＝eq\f(1,6)，故D不正确．〖答案〗AC14．(多空题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示．降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的期望是________，工期延误天数Y的方差为__________．〖解析〗由已知条件和概率的加法公式知，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<70