人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业4：§7 5 正态分布练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§7.5正态分布1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是()A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在〖－3σ，3σ〗之外是一个小概率事件D．随机变量落在〖μ－3σ，μ＋3σ〗之外是一个小概率事件〖答案〗D〖解析〗∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈1－0.9973＝0.0027，∴随机变量落在〖μ－3σ，μ＋3σ〗之外是一个小概率事件．2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3〖答案〗AD〖解析〗由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确．3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84〖答案〗A〖解析〗∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，∵P(ξ<4)＝0.84，∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于()A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))〖答案〗C〖解析〗由正态分布密度曲线上的最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5.如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3〖答案〗D〖解析〗当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π))在x＝0处取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.6．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为．〖答案〗1〖解析〗∵X服从正态分布N(a,4)，∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1.7．已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X≤4－a)＝.〖答案〗0.36〖解析〗∵随机变量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称，∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，则σ＝，P(|X－2|<4)＝.〖答案〗20.84〖解析〗∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.∵P(2<X<6)≈0.6827，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)〖P(－2<X<10)－P(2<X<6)〗＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)P(－2<X<10)＋eq\f(1,2)P(2<X<6)＝0.84.9．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．解∵随机变量X～N(3，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，又P(2≤X≤4)＝0.68，可得P(X>4)＝eq\f(1,2)×〖1－P(2≤X≤4)〗＝eq\f(1,2)×(1－0.68)＝0.16.10．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？解对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)≈0.84135；对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(X>5)＝eq\f(1＋P5<X≤9,2)≈0.97725，显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．11．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名〖答案〗A〖解析〗因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，所以P(X>108)＝eq\f(1,2)〖1－P(88≤X≤108)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.所以0.15865×9455≈1500.12．一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为()A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂〖答案〗C〖解析〗∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．13．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(41,45)〖答案〗B〖解析〗10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间〖97,103〗内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为eq\f(C\o\al(7,9),C\o\al(8,10))＝eq\f(4,5)，故选B.14．已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝，b＝.〖答案〗eq\f(1,2)－1〖解析〗∵随机变量X～N(2,22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，又a>0，∴a＝eq\f(1,2)，b＝－1.15．(多选)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)〖答案〗ABD〖解析〗由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错．16．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入eq\x\to(x)(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．附参考数据：eq\r(6.92)≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入eq\x\to(x)为17.40千元．(2)由题意知X～N(17.4