2024年高考数学一轮复习专项突破：抽象函数及其性质（解析版）

专题突破卷03抽象函数及其性质

后题型陵览Q

r

定义域问题

/值域问题

/求解析式

抽象函数奇偶性问题

及其性债

Ry周期性问题

对称性问题

\求解不等式

i题型突破G

1.定义域问题

1.己知函数y=〃2x-l)的定义域是[―2,3],则y=〃ain(x+3)的定义域是()

A.(—3,3]B.—>2C.[—1,3]D.(—3,5]

【答案】D

【分析】先求出y=/(x)的定义域，再根据x+3>0可得y=/(x”n(x+3)的定义域.

【详解】•••函数y=/(2x—1)的定义域是[―2,3],即无《—2,3],则2x-le[—5,5],

•••函数y=的定义域是［-5,5］,

f-5<x<5

对于函数y=/(x>ln(x+3)可得x+；>0,解得-3<xW5,

故y=〃x”n(x+3)的定义域是(―3,5］.

故选：D.

2.已知函数/(x+2)的定义域为(-1,1),则函数y="2x-l)的定义域为()

A.(-1,1)B.(-3,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可.

【详解】设x+2=t,则/(x+2)=/(t),

因为函数/(x+2)的定义域为(-1,1),所以当时，/(x+2)有意义，

所以l<x+2<3,故当且仅当1</<3时，函数〃。有意义，

所以函数/⑺的定义域为(L3),

由函数/(2x—l)有意义可得l<2x—1<3,所以l<x<2,

所以函数〃2x-l)的定义域为(1,2),

故选：D.

3.(2023春•浙江•高二统考学业考试)已知函数>=/(尤)的定义域是R,值域为［-2,8］,则下列函数中值域

也为［-2,8］的是()

A.j=3/(x)+lB.y=f(3x+I)C.y=-f(x)D.y=|f(2x)|

【答案】B

【分析】根据函数的定义及定义域求解即可.

【详解】根据函数的定义域为R，值域为［-2,8］,

可知，、=3/'(幻+1的值域为［-5,25］,>=-/(幻的值域为［-8,2］,

y="(2x)1的值域为［0,8］,y=/(3x+l)的值域为［-2,8］,

故选：B

4.若函数y=〃x)的定义域为［-1』，则＞=上土的定义域为()

X+1

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,-l)u(-l,2]D.[-2,-l)u(-l,0]

【答案】D

【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.

【详解】因为y=/(x)的定义域是［-U］,所以-"无41,根据抽象函数定义域求法,

f(x+1)「―IWx+lWl

在函数y=—2中，，解得一2WX<-1或—1<XWO.

•x+1|x+l*0

故选：D.

5.已知函数〃x)的定义域为则＞=的定义域为_________________

【答案】［一2,-1)

【分析】抽象函数定义域求解，x+1需整体在范围内，从而解出无的范围，同时注意需保证

X2-2X-3＞0,最后求出交集即可得解.

〃x+l)

【详解】由己知，/(2的定义域为［-1』，所以对于＞=

JX2-2龙-3

—1+「\

x需满足f-2尤-3>。'解得"4一2，-1)

故答案为：卜2,-1).

2.值域问题

6.已知是定义在［-2,2］上的奇函数，且当尤＞0时，〃力的图象如图所示，那么的值域是(

A.[-3,3]B.(-3,-2]U[2,3)

C.［-3,-2)U(2,3］D.［-3,-2)U{0}U(2,3］

【答案】D

【分析】由图象得出函数y=/(x)在区间(0,2］上的值域，并得出〃0)=0,利用奇函数的性质求出函数

y=/(力在区间［-2,0)上的值域，由此可得出函数y=/⑺的值域.

【详解】由图象可知，当0<xV2时，2</(x)W3,

由于函数y=/(x)是定义在［—2,2］上的奇函数，贝1］〃0)=。.

当一2Wx<0时，0<—xW2,则2</(—x)<3,即2<—/(x)43,解得一3</(x)<-2.

即函数y=/⑺在区间［-2,0)上的值域为［-3,-2).

因此，函数y=〃尤)的值域为［-3,-2)U{0}U(2,3］.

故选D.

【点睛】本题考查奇函数值域的求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题

的能力，属于中等题.

7.(1)已知函数/⑴的定义域为(L2］,值域为设g(x)=f(2x-l),求g(x)的定义域和值域；

(2)已知g(x)=f(2x—1)+1,且g(x)的定义域为(L2］,值域为［-5,+®),求函数/(x)的定义域和值域.

【答案】(1)g(x)的定义域为1,g，值域为［-5,内).(2)Ax)的定义域为(L3］,值域为［d,+⑹.

【解析】(1)根据1<2X-1V2得到定义域，g(x)和了⑶值域相同得到答案.

(2)根据1<%<2得到l<2x-1V3,得到定义域，再计算值域得到答案.

3

【详解】(1)因为1<2%-”2,所以值域为［-5,y).

因此函数g(x)的定义域为“,|,值域为［-5,转).

(2)因为1<%W2,所以2<2xV4,所以l<2x—”3.

因为g(x)N-5,所以g(x)-12-6.

因为g(无)=/(2x-l)+l,所以f(2x-l)-g(尤)-1>-6:./(尤)>-6.

因此函数/(幻的定义域为(1,引，值域为［-6,内).

【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.

8.定义在R上的函数“X)对一切实数x、y都满足/(力彳0,且/(x+y)=/(x)―/(y)，已知了⑺在(0,+功

上的值域为(0,1),则/'(X)在R上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(。,+8)D.(0,l)U(l*)

【答案】C

【分析】令x=y=0,可得/(0)=/(0)-/(0)〃0)=1,再令y=T，可得/(0)=/(%)•/(一幻=1,得到〃力

在(-8,0)上的值域为0，收)，即得解.

【详解】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足〃x)w0,且/(x+y)=/(»/(y),

令尤=y=0,可得。(0)=/(0)-/(0).-./(0)=1,

再令y=T*可得f(0)=f(x)"(-尤)=1,

又〃X)在(0,+力)上的值域为(0,1),因此在(-8,0)上的值域为

则/(x)在R上的值域是(0,+“).

故选：C

【点睛】本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较

难题.

9.设是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数，若函数/(x)+g(x)的值域为［1,3),则函

数〃X)-g(X)的值域为.

【答案】

【分析】设Mx)=〃x)+g(x),根据奇偶性的定义得出〃X)-g(X)=-/z(T),再根据不等式的性质即可得

出函数y=J(x)-g(x)的值域.

【详解】设Mx)=/(x)+g(x),由于该函数的值域为［1,3),则函数y=M-x)的值域也为［1,3),即

l</?(-x)<3.

函数y=/(x)是定义域为R的奇函数，y=g⑺是R上的偶函数，

■-h(-x)=/(-x)+g(-x)=-/(x)+g(x),贝｝|/(x)-g(x)=-/z(-X),

由不等式的性质得-因此，函数-g(x)的值域为(-

故答案为(-3,-1].

【点睛】本题考查了抽象函数的值域，同时也考查了函数奇偶性的应用以及不等式的性质，考查分析问题

和解决问题的能力，属于中等题.

10.已知函数y=/(x),(1,2,3｝,yeN",对任意“e｛1,2｝都有〃/(〃))=3〃,且是增函数，则用

列举法表示函数的值域是.

【答案】｛2,3,6｝

【分析】根据题意，令〃1)=。，由条件求得而0=2,即/(1)=2.而由/(。)=3知，"2)=3,于是得到了(3)

的值，将其值域用列举法表示即可得答案.

【详解】解：根据题意，令fQ)=a,

对任意MN*都有/[/(〃)]=3",故有awl,否则，可得/==这与/[〃川=3x1=3矛盾；

从而“>1,而由/(/。))=3,即得/(a)=3.

又由7(x)是增函数，则即a<3,于是得到1<a<3.

又aeN*,从而a=2,即/'(1)=2.

而由〃a)=3知，"2)=3.

于是/(3)=/(*2))=3x2=6,

则函数的值域｛2,3,6｝；

故答案为｛2,3,6｝.

根据题意，令/⑴=*由条件求得而a=2,即/⑴=2.而由/(a)=3知，/(2)=3,于是得到“3)的值，

将其值域用列举法表示即可得答案.

【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的单调性的应用，求出a=2,是解题的关键，属于中档题.

11.设函数对任意实数x,y都有/(尤+y)=f(x)+/(y),且x<o时，f(x)>0,/(1)=-1.

(1)求证/(x)是奇函数；

(2)求/⑴在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

【答案】(1)详见解析；(2)最小值-1,最大值1.

【分析】(1)利用赋值法，令x=O,y=。代入函数式,可求得”0),再令y=-X代入函数式，即可证明函数为奇

函数.

(2)利用定义法，可证明函数在R上单调递减.再根据/(尤+封=/(力+/(村,用/■⑴表示出最大值与

最小值即可求解.

【详解】(1)证明：令x=0,y=。代入函数式可得

/(0+0)=/(0)+/(0)

即"0)=0

令代入函数式可得

•/'(-x)+"x)=/(O)=。

所以

函数定义域为R,所以/(X)是奇函数

(2)先证明函数的单调性，证明过程如下：

任取士＜马,则为-々＜0

由题意可知〃占一%)＞0

因为/(x+y)=/(x)+/(y)

所以/(%)—/(%)=/[(尤1一%)+%]-/(々)

=/(菁f)+/(%)-/(%)

=/(玉-尤2)＞。

即/(再)＞/(々)

所以/(%)在R上单调递减，且/⑴=-；

所以Ax)在区间[—3,3]上的/(%)(=/(3),/(%)_=/(-3)

〃力皿=〃3)=〃1+2)

=/(1)+/(2)=3/(1)=-1

小)3=〃-3)­(3)=1

【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用，注意在解决此类问题时，赋值法在求值中的应用，

属于中档题.

3.求解析式

12.已知函数/(x)为定义在R上的函数满足以下两个条件：

(1)对于任意的实数x,y恒有/(x+y)=〃x)+/(y)+l；

(2)/(x)在R上单调递减.

请写出满足条件的一个F(x)=.

【答案】-X-1(答案不唯一)

【分析】由(1)(2)可设〃2=6+可”0),由〃x+y)=/(x)+/(y)+l可求》=-1,从而可求解.

【详解】由(1)(2)可设/(x)=ox+6(a<0),

由〃x+y)=/(x)+/(y)+i,

可得a(x+y)+6=ox+b+ay+6+l=a(x+y)+2Z7+l,

化简可得6=-1.

故的解析式可为=6-1(。<。).

取“=-1可得满足条件的一个〃力=r-1.

故答案为:-X-1.

13.定义在R上的函数加)满足〃0)=0,并且对任意实数x,y都有/(x—y)=/(x)-y(2x-y+2),求

的解析式.

【答案】〃x)=/+2x

【分析】对/(x-y)=/(x)-y(2x-y+2)进行赋值，解方程求得〃无)的解析式.

【详解】对任意实数x,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+2),

令丁=-得〃0)=/(力—x(2x-x+2),即/(O)=/(x)-x(x+2),

又/(0)=0,所以/(x)=x(无+2)=%2+21

14.定义在实数集上的函数〃x)的图象是一条连绵不断的曲线，VxeR,于+/=[〃尤)了+舟⑺，

且/(X)的最大值为1，最小值为0.

(D求/(1)与/(—1)的值；

⑵求〃力的解析式.

【答案】(1"⑴=1，/(-1)=1

+8)

⑵/(x)=<-X3,XG(-1,0)

[0,1)

【分析】(1)利用赋值法，令x=l,得到"1)=1；令户―1,得至iJ/(—1)=1；

(2)先由[/(尤)+白=[〃x)[一由⑴得到[〃力_尤3][〃同+月[〃"-1]=0,根据〃X)的最大值为

1,最小值为0及

图象连续，写出了(x)的解析式.

(1)

令x=l,则/3(1)+1=尸(1)+/⑴，得尸⑴(〃1)T=/⑴一1

••.(/(1)+1)(/(1)-1)2=0,/(x)>0

・♦•"1)=1

令广一1,则r(T)+i=/2(T+〃T，

同理

(2)

由[/(尤)+尤6]=[/(X)]2_尤6〃尤)

M[/2(X)-X6][/(X)-1]=0,Bp[/(x)-%3][/(x)+?][/(x)-l]=0

这说明VxeR,/(x)至少与1,丁，一工3其中之一相等

••"(X)的最大值为1,最小值为。

在区间(-«,1]和口,+8)上，一定有〃x)=1

/(元)=0只能在X=O处取得，因此〃。)=。

又：函数/(%)的图象是一条连绵不断的曲线

1,XG

的解析式为〃X)=-x3,xe(-l,0)

X3,XG［0,1)

15.若定义在R上的函数〃x)满足〃x)=3/(附+尤2-2X,则〃x)的单调递增区间为()

A.和［0,1］B.(-oo,-5］和［0,1］

C.和［l,+oo)D.［-5,0］^［1,+00)

【答案】B

【分析】当X20可求得〃尤)=一;无2+无；当x<0时，-x>0,由已知关系式可得〃X)=3〃T)+X2-2X,

进而得到/(X)=-1X2-5X；由二次函数性质可得单调递增区间.

［详解］当xNO时，/(X)=3/(X)+X2-2X,则〃x)=_gx2+尤，

\/(X)在［。』上单调递增；

当xvO时，一%>0,「./(—%)二—%,

\/⑴在(7,-5］上单调递增；

综上所述：〃司的单调递增区间为(F,-司和［0,1］.

故选：B.

16.已知函数/(x)是定义域为(0,+8)的单调函数，若对任意的无€(。,内)，都有/'(/(X)-X2)=2,则

/(J2022)=.

【答案】2023

【分析】由是定义域为(0,+◎的单调函数及/(/(X)-d)=2知/(X)-Y为常数，

设/(X)-炉=冽，可得/(附=2,从而可求得加值确定/(x)的解析式即可.

【详解】•••对任意xe(0,+8),均有/(/(%)—=2,且/(x)在(0,+8)上单调,

所以/(x)-d为常数，

...设/(尤)一V=根，/(x)-x2+m,优为常数，

函数/(x)是定义域为(0,+8),故相>0

又f(加)=2=>〃7+〃2=2=>〃2=1或加=一2(舍)，

/(x)=x2+l,/(V2022)=2023

故答案为：2023.

17.求下列函数解析式：

⑴已知了(石+1)=尤-2«,求〃x)的解析式.

⑵已知/("+2/1£|=3尤-2,求的解析式.

【答案】⑴/(x)=d-4x+3(x21)

22

(2)/⑴=T+——不("0)

x3

【分析】(1)令4+1=改21)，使用换元法求解析式；

(2)令x=，得+尤)=3-2,与原式组成方程组求解.

X\xJX

【详解】(1)令«+—,则«=1-1

所以/(■)=(%—1)2_2(1—1)=〃—4%+3

所以/(x)=/一4X+3(X21)

综上所述，结论是:/(%)=/一4冗+3(x21)

(2)令尤=!得/1_1]+2/(用=』_2,

/(x)+2/W=3x-2

由<

/W+2/(x)=--2

IWx

22

解得/(x)=_%+——彳("0)

x3

综上所述，结论是：/(x)=-x+』2-；2(xxO)

4.奇偶性问题

18.(多选)已知〃x)是定义在R上不恒为。的偶函数，g@)是定义在R上不恒为0的奇函数，则()

，(7(x))为奇函数B.g(g(x))为奇函数

C.f(g(x))为偶函数D.g(y(x))为偶函数

【答案】BCD

【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断.

【详解】由题意可知，/(-%)=/(%),所以/(〃r))=/(〃尤))，所以〃〃切为偶函数，A项错误；

由g(f)=—g(x),得g(g(-x))=g(-g(x))=-g(g(x))，所以g(g(x))为奇函数，B项正确；

因为/(g(-x))=/(—g(x))=/(g(x))，所以/(g(M为偶函数，C项正确；

因为g(/(-x))=g(/(x))，所以g(/(x))为偶函数，D项正确.

故选：BCD.

19.已知定义在R上的偶函数满足〃f)=-〃2+x),当-2W0时,〃力单调递增，则()

A.(tanm</(2023)<7,g3J

B.'tan篝上小加；］<“2023)

C./(log3^</(2023)</^tan^

D.<(tan"2023)

【答案】A

【分析】由题意求出函数的周期，然后根据偶函数的性质判断出函数在［0,2］上的单调性，进而将自变量的取

值转化到区间［0,2］上，利用放缩法判断出它们的大小关系，最后根据单调性求得答案.

【详解】因为Ax)为偶函数，所以/(-x)=/(x),

又/(—3=一〃2+无)，所以/(元)=—/(2+无)，

所以f(x)=f(x+4),即是周期为4的函数，

贝IJ/(2023)=/(506x4-l)=1)=/(I).

rj-l717兀71

因为一<--<一

4243

所以l<tan1^<G/flog31U/(-log32)=/(log32)

0<log32<1.

因为/(x)为偶函数，且当-2Wx<0时，/(x)单调递增,

所以当04xW2时，〃无)单调递减，tan—</(2023)<

故选：A.

20.(多选)已知了(九)是定义在R上的奇函数,f(x)=f(2-x),f(l)=2,设g(x)=V(x+l),则()

A.函数/⑶的周期为4B.”2022)+/(—2023)=2

50

c.g(尤)是偶函数D.»住)=一52

k=T

【答案】ABD

【分析】先由函数是奇函数，/(x)=/(2-x),可判断函数的周期，再根据周期性可将选项B中的函数值转

化，由函数奇偶性的定义判断g(x)是奇函数，根据函数周期性可以推得g(4左-2)+g(4Q=4,进而求得

50

⑶=-52.

k=l

【详解】对于A：S^/(%+4)=f(-x-2)=-f(x+2)=-/(-x)=/(x),所以/(x)是周期为4的函数，故A

正确；

对于B：因为的周期为4,所以八2022)=/(2)=/(0)=0,所以“2022)=0,

/(-2023)=-/(2023)=-/(-I)=/(I)=2,所以“2022)+/(-2023)=2,故B正确;

对于C：因为g(-无)=—#(1一无)=一叶(1+无)=-g。)，所以g(无)是奇函数，故C错误；

对于D：因为/(2)=为0)=0,〃4)=迫0)=0,所以/(26=0,左eN*,

所以g(2k-l)=(2k-1)/(2%)=0,左eN*,

因为f(4无+1)=/(I)=2,f(4k-1)=f(T)=-2,无eN*,

g(4k-2)+g(4k)=(4k-2)-f(4k-V)+4k-f(4k+1)=-2(44-2)+2・4%=4,%eN*,

Xg㈤=[g⑴+g⑶+…+g(49)]+卬⑵+g(4)+…+g(48)]+g(50)

k=l

=o+^+4+50x/(51)=48+50x/(3)=48+50x(-2)=-52；故D正确.

12个4

故选：ABD.

21.已知为定义在R上的奇函数，当x>0时，单调递增，且/(-忘)=0,/&]<一3,〃2)>3,

则函数g(x)=|/(x)|-3的零点个数为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，单调性结合函数值的范围，作图数形结合即可判断.

【详解】当x>0时，F(x)单调递增，且/(-0)=0,且/(X)为定义在R上的奇函数,

所以"7)=-〃x),可得/(收)=0且在(-e,0)上单调递增，

由g(x)=/(x)|-3=0,得,(x)|=3.

又因为〃2)>3,可得

“X)为定义在R上的奇函数,又可得了1；|>3,|/(-2)|>3,

根据题意作出满足要求的y=/(x)|的大致图像，

由图知，直线>=3与y=|/(x)|的图像有4个公共点，

所以g(x)=|〃x)|-3有4个零点.

22.(多选)已知函数〃x)的定义域为R,f为奇函数，且对于任意xeR,都有/(2-x)=f(x),

则()

A./(x+l)=/(x)B.f0

D•小二

c./(X+2)为偶函数为奇函数

【答案】BCD

【分析】由题意可得/(2-x)?(x),结合/卜+；)为奇函数可得〃x+2)=〃x),从而可判断选项A；由

/(x)=-/(l-x),得，9=0,在〃%+1)=-/3中，令彳=一;可判断选项B；由/(x+2)=/(x),

“2-x)=f(x)可判断选项C；由/(x)=-/(l-x),〃x+2)=〃x)可判断选项D.

【详解】由/卜+g)为奇函数，可得/卜+gj=-，r+£|,EPf(x)=-/(l-x),

又因为/(2-工闫(%),所以/(2-力=-7(1-力，gp/(x+l)=-y(x),

所以/(x+2)=_/(x+l),所以〃x+2)=/(x),故选项A错误；

由〃司=一/(1—力，得4m=0,由/卜+1)=-/卜)，得/［；，-/,£!，

所以/］-1=0,故选项B正确；

由/(x+2)=/(x),f(2-x)=f(x),得/(2—x)=/(x+2),

所以/(x+2)为偶函数，故选项C正确；

由〃x)=-/(l—X)，/(x+2)=/(x),可得一=

所以“X)=一/(TT),

即/［x-£|=-/，x-£|,故/［尤-；］为奇函数，故选项D正确.

故选：BCD

23.(多选)己知/(x),g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，则()

A.y=为偶函数

B.y=g(x)+g(-x)为奇函数

C.若g(x)为奇函数，"X)为偶函数，则y=/(g(x))为奇函数

D.若为奇函数，g(x)为偶函数，则y=/(x)-g(x)为非奇非偶函数

【答案】AD

【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.

【详解】选项A：

设，7(X)=〃X)-〃-X),

因为广(X)是定义在R上的函数，所以〃(X)的定义域为R,

/?(-%)=/(-x)-/(x)=/z(x),所以/z(x)为偶函数，故A正确；

选项B：

，(x)=g(x)+g(-x)，

因为g(x)是定义在R上的函数，所以《尤)的定义域为R,r(-x)=g(-x)+g(x)=《x),所以《X)为偶函数,

故B错误；

选项C：

设加(x)=/(g(x))，

因为〃X)，g(x)都是定义在R上的函数，所以"Z(X)的定义域为R,

因为g(X)为奇函数,/(X)为偶函数,所以m(-x)=/(g(-%))=f(-g(x))=f(g(%))=m(x),

所以根(x)为偶函数，故C错误；

选项D：

设"(x)=/(x)—g(x),

因为广(X)，g(x)都是定义在R上的函数，所以〃⑺的定义域为R,

7?(X)+H(-X)=/(X)-g(X)+/(-X)-g(-X)=/(X)-g(X)-/(%)-g(%)=-2g(X),

因为g(x)是不恒为。的函数，

所以〃(x)+”(-x)=O不恒成立，所以“(X)不是奇函数，

"(%)一〃(一%)=/'(尤)一8(%)—[/'(一*)一8(—%)]=/(》)一8(%)+/(工)+8(尤)=2/'(尤),

因为是不恒为。的函数，所以“(%)="(-%)不恒成立，

所以“(X)不是偶函数，所以,(X)是非奇非偶函数，故D正确，

故选：AD.

5.周期性问题

24.若函数的定义域为R,且==则“2023)=.

【答案】0

【分析】推导出函数“X)的图象关于点(-1,。)中心对称，可得出〃T)=0,推导出函数为周期函数，

确定该函数的周期，结合函数的周期性可求得了(2023)的值.

【详解】因为=所以，〃X)=一/[一(》-1)一3]=-/(一工一2),

所以函数/(%)的图象关于点(T0)中心对称，

又因为函数〃力的定义域为R,所以〃T)=0.

由〃1一同=一/(一工一3),可得/(x+l)=-〃x-3),BP/(x+4)=-/(%),

所以,/(x+8)=-/(x+4)=〃x),所以函数的周期是8,

所以“2023)=〃8x253-1)=止1)=0.

故答案为：0.

25.设函数〃x)的定义域为R,〃x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe[l,2]时，f(x)=ax2+b,若

j(o)+f(3)=i2,则()

A.5B.4C.—D.2

2

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可.

【详解】因为/(X+1)为奇函数，所以有〃x+l)=—X+1),

因为〃x+2)为偶函数，所以有〃x+2)=/(r+2),

/(%+l)=-f(-%+l)^>/(x+2)=-/(-^)=/(-^+2)^>-f(%)=/(x+2)

n-/(x+2)=〃x+4)n+4),

所以函数的周期为4,

由〃x+l)=—〃r+l)n〃0)=—/(2),

由〃x+2)"(f+2)n〃3)=〃l),

由〃。）+/■⑶=12=>—〃2）+/■⑴=12=—（4a+6）+a+6=12na=T,

/(x+l)=_/(T+l)n〃l)=_Al)n〃l)=0na+/=On6=4,

3一4x'+4

dllI=5,

故选：A

【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.

2023

26.定义在R上的函数满足/(尤+3)+/(》+1)=/(2)=1,则

左=1

【答案】1012

【分析】先根据题意可得到了(x+3)=/(x-l),从而可得到函数的周期性，再通过赋值尤=-1和x=0得到

"4)=0和”1)+/⑵+〃3)+〃4)=2,进而即可求解.

【详解】由/(x+3)+/(x+l)=(⑵=1,

贝"(x+l)+/d=〃2)=l,

所以/(尤+3)=/(x—l),即/(x+4)"(r),

所以/(x)是以4为周期的周期函数.

令x=—1,得/⑵+/(0)"⑵,所以〃0)=。=〃4),

令x=0,则/⑶+/⑴"⑵,所以〃1)+〃2)+〃3)+/(4)=2〃2)=2,

2023

所以Z"女)=505X[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)[+[〃1)+〃2)+〃3)]=K)12.

k=l

故答案为：1012.

27.已知定义在R上的函数满足：〃f)+〃x)=0,/(2-x)=/(%),当04x<l时，/(x)=2l-l,

则〃1鸣2023)=

…3999

【答案一诉

【分析】根据已知条件推导出函数/(X)是周期为4的周期函数，求得2<log22023-8<3,结合

/(log22023)=/(log22023-8)=-f(log22023-10),结合已知条件代值计算即可得解.

【详解】因为定义在R上的函数满足：〃r)+/(x)=0,〃2—x)=/(x),

所以，/(-%)=-/(%),即函数“X)为奇函数,

贝厅(x)=/(2—x)=—〃x—2),所以，〃x+2)=—〃x)=/(x-2),

故函数/(x)是周期为4的周期函数，

因为21°=1024<2023<2"=2048,所以，10<log22023<11,

则2<log22023—8<3,-l<10-log22023<0,

所以，/(厩2023)=/(log22023-8)=/[2-(log?2023-8)]=/(10-log22023)

=-/(log,2023-10)=1-210g22°23To=1-_22L

v62'2101024

999

故答案为：一而

28.(多选)定义在R上的函数〃x)满足/(x+3)+〃x+l)=〃2),/(2-x)=/(x+4),若fII

则()

B./(2022)=1

A.是周期函数

200/

C.7(x)的图象关于x=l对称D.X句'Ik-100

k=\\

【答案】ACD

【分析】根据/(x+3)+〃x+l)=〃2),可得〃x+l)+/(x-l)=/(2),进而可得〃x+3)=/(x—l),从而

可得函数的周期性，即可判断A；结合/(2-x)=/(x+4),可得函数的对称性，即可判断C；根据函数的

周期性及对称性计算即可判断BD.

【详解】因为VeR,/(元+3)+/(尤+1)=/(2),所以〃x+l)+/(x-l)=f(2),

所以〃x+3)=/(x-l),即f(x+4)"(x),

所以/(x)是周期为4的周期函数，则A正确;

在〃x+3)+〃x+l)=f(2)中,令x=—1,得〃2)+〃0)=/(2),则〃0)=0,

因为/(2T)=/(4+X)=〃X),

所以/(x)的图象关于直线尤=1对称，则C正确;

因为〃。)=。，所以〃2)=〃0)=0,所以/(2022)=〃2)=0,则B错误;

93

由函数的对称性与周期性可得了i1

因为+3)+f(x+1)=〃2)=0,即f(x+3)=-f(x+1),

所以佃T0=]，枝=-旗=彳，

则图+3/图+4佃+...+200/]啜

=1[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+---+(197+198-199-200)]

=LX(—4X50)=-100,则D正确.

2

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：根据/(x+3)+〃x+l)=〃2),可得〃X+1)+/(L1)=/(2),进而可得

/(x+3)=/(x—l),从而可得/(X)是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.

29.(多选)己知函数/(X),g(x)的定义域均为R,且满足“2-x)+/(x)=。,2(1-x)+g(x)=3,

〃x)+g(x—3)=3,贝I()

A.〃x)为奇函数B.4为g(x)的周期

C.〃l)+〃2)+…+"20)=60D.g⑴+g⑵+…+g(20)=60

【答案】BD

【分析】对于A,由〃2T)+〃X)=0得出/(x)的对称中心为(1,0),再由“1-x)+g(x)=3和

〃x)+g(x-3)=3得出“X)关于x=2对称，则/(x)关于>轴对称，为偶函数，判断出A；对于B,由

)(2-x)+/(x)=0和/(x+3)=/(1-x),得出/⑺的周期为4,再根据g(x)=3T(I),即可得出g(x)的

周期；对于C,由/(x)的周期性和奇偶性，求出/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,即可判断C；对于D,根据

g(x)=3—/(I—x)和g(x)的周期即可判断D.

【详解】对于A：

因为〃2-x)+/(x)=0,

所以/(x)的对称中心为(1,0),

因为“x)+g(x-3)=3,

所以〃x+3)+g(x)=3,

X/(l-x)+g(x)=3,

所以/(x+3)=/(l-x),则以x)关于x=2对称,结合f(x)的对称中心为(1,0),

所以/(x)关于,轴对称，即/(劝为偶函数，故A错误；

对于B：

因为/(2—x)+〃x)=0,

所以〃l+x)+〃l—x)=0,

又/(尤+3)=/(1-工)，

所以“X+3)=-/(x+1),即f{x+2)=-/(%),

所以/(x+4)=-f(x+2)=-[-/(x)]=/(x),即/(x)的周期为4,

又g(x)=3—/(l-x),

所以g(x)的周期也为4,故B正确；

对于C：

由〃盼对称中心为(1,0),得"1)=0,

又因为了⑴对称轴为x=2,所以"3)=0,所以Ax)关于(3,0)对称中心，

所以(2,7(2))和(4,/(4))关于点(3,0)对称，

所以“2)+/(4)=0,

所以〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=0,

所以/。)+/(2)+…+/(20)=0,故C错误；

对于D：

由C得/(0)+f(l)+/(2)+/(3)=0,

因为g(x)=3-"1-力,

所以g(l)=3—f(0),g(2)-3-/(-l)=3-/(1),g⑶=3-/(2),g(4)=3-/(3),

所以g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=3-/(0)+3-/(l)+3—〃2)+3T(3)

=12-[/(0)+/(1)+/⑵+f(3)]=12,

又因为g(x)的周期为4,

所以g(l)+g(2)+…+g(20)=5x[g(l)+g⑵+g(3)+g(4)]=60,故D正确，

故选：BD.

【点睛】方法点睛：①若函数/（"+力是奇函数，则函数“X）的图像关于点s,o）对称；②若函数了（Q+力

是偶函数，则函数〃x）的图像关于直线X=b对称；③若函数/（X）是奇函数，则函数f（6+勿（4片0）的图像

hh

关于点（一一,o）对称；④若函数/（X）是偶函数，则函数/'（依+6）3/0）的图像关于直线％=-一对称；⑤若函

aa

数/（X）的图像既有对称轴又有对称中心，则对称轴关于对称中心对称的直线仍是函数/（X）图像的对称轴，

对称中心关于对称轴对称的点仍是函数〃劝图像的对称中心；⑥若函数/（X）的图像关于点（，”,〃）对称，且函

数fix）在x=加时有意义，则有/（㈤=〃；⑦若函数/（%）的图像具有双对称性,则函数/⑴为周期函数;若/（X）

的图像关于直线x=a,X=l，对称，则函数/（X）是以21a-4为周期的周期函数；若/⑴的图像关于点（%）和

s,c）对称，则函数/（X）是以21a-同为周期的周期函数；若/（X）的图像关于直线X=a对称，又关于点S,c）对

称，则函数了⑴是以为周期的周期函数；⑧若函数/⑴的周期为T,则函数/（办+力（。*0）的周期为

T

\a\'

6.对称问题

30.已知函数“X）是定义域为（F,M）的奇函数,满足/（2-x）=〃2+x）,若〃1）=2,则

/（1）+/（2）+/（3）+...+/（2023）=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

【分析】根据题意求得函数了（力是以8为周期的周期函数，进而求得/。）+/（2）+…+/（8）=0,结合周期

性，即可求解.

【详解】解：由函数/（x）是定义域为（T»,+a＞）的奇函数，可得/（-x）=-/（X）,

又由〃2—x）=〃2+x）,可得〃T）=〃4+X）,

所以-〃x）=〃x+4）,可得〃x）=.〃x+4）=/（x+8）,

所以函数是以8为周期的周期函数，且/⑴=2,

因为函数/（X）为奇函数，可得了（。）=。，所以/（8）=0,

又由〃1）=2,可得/。+2）=/（2-1）=/（1）=2,即/（3）=2,

/（4）=/（0）=0,/（5）=-/（1）-2,/（6）­/（2）,/（7）=/（-1）-/（1）=-2,

所以/⑴+*2)+*3)+…+4(8)=2+/■⑵+2+0—2—”2)—2+0=0,

斯以“1)+/⑵+…+”2023)=252."⑴+/(2)+…+〃8)]+/⑴+/(2)+…+/⑺=252x0+0=0.

故选：B.

31.(多选)已知〃力是定义在R上的函数，函数“X-2)图像关于y轴对称，函数1)的图像关于原

点对称，则下列说法正确的是()

A./(-2)=0B,对VxeR,/(x)=/(x+4)恒成立

C.函数〃x)关于点(TO)中心对称D.”2023)=0

【答案】BCD

【分析】根据条件判断函数的对称性和周期性，利用相关性质判断选项即可.

【详解】•••函数/(X-2)的图像关于y轴对称，.♦.函数/(X)的图像关于直线X=-2对称，

••J(x-2)=f(-x-2),则小)="T一4),

••・函数〃x-l)的图像关于原点对称，.•.函数〃x)的图像关于点(-1,0)中心对称，/(-1)=0,

=则/")=—/(—x—2),C选项正确；

•.-/(x)=/(-x-4)=-/(-x-2),.-./(x-4)=-/(x-2),故/(x)"(x+4),B选项正确;

/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=0,D选项正确;

没有条件能确定/(-2)=0,A选项错误.

故选：BCD.

32.(多选)已知定义在R上的函数y=/(x)满足]无一|)=一/(可，且为奇函数，=

/(0)=2.下列说法正确的是()

A.3是函数)=/(无)的一个周期

3

B.函数y=/(x)的图象关于直线X=:对称

4

C.函数，=/(幻是偶函数

D.〃1)+〃2)+〃3)+…+”2023)=2

【答案】AC

【分析】根据已知可推得=即可得出A项；由/卜+：）为奇函数，即可得出函

数的对称性；易知小+|卜八），结合小-|]=-〃可，即可推得/（-力=/（江得出C项；根据

函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项.

【详解】对于A项，因为/[尤一?=一〃可，所以“了二六一/口一目二/⑺，所以3是函数y=/（x）的

一个周期，故A正确;

对于B项，因为，为奇函数，所以/

所以，点是函数y=/（x）图象的对称中心，故B错误;

对于C项，因为，/口+?）为奇函数，所以/

所以/［一尤+|)=一/(x).

又因