《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类（原卷版+解析）

专题02《相交线与平行线》解答题'证明题重点题型分类

专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行线的判定及性质证

明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造平行线”解答题、证明题重点题型；适

用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点L利用平行线的性质求角

方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，要注意分析图

形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。平行线还

通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、

垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解！

1.如图，已知：DE//BC,CD是NACB的平分线，ZB=80°,ZA=50°,求：/即C与的度数.

2.两个直角三角板如图摆放，其中NBAC=N即尸=90。，NE=45。，/C=30。,A8与。尸交于点BC//EF,

求NBMD的度数.

3.如图所示，AB//CD,G为上方一点，£、尸分别为AB、上两点，ZAEG=4ZGEB,ZCFG=2ZGFD,

/GE2和NGF。的角平分线交于点以，求NG+N8的值.

4.如图所示，AB//CD,点E为两条平行线外部一点，尸为两条平行线内部一点，G、H分别为AB、CD1.

两点，GB平分/EGF,HF平分/EHD,且2NB与NE互补，求NEG尸的大小.

B

CD

H

5.如图，CD〃AB,点。在直线AB上，OE平分NBOD,OFLOE,Z£)=110°,求尸的度数.

6.小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：AB//CD,E为AB、CD之间一点，连接BE,ED,得到/BED.

求证：ZBED^ZB+ZD.

小亮帮助小明给出了该问的证明.

证明：

过点E作EF//AB

则有

'：AB//CD

J.EF//CD

：./FED=ND

：.NBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：

(1)直线直线EF和直线Q/2分别交于C、。两点，点A、8分别在直线/卜L上，猜想：如图②,

若点尸在线段上，NE4C=15。，ZPBD=40°,求NAP3的度数.

(2)拓展：如图③，若点P在直线跖上，连接B4、PB(BD<AC),直接写出/RIC、ZAPB,/PBD之

间的数量关系.

E

CA,

坛B勾

F.

图①图②图③

考点2：利用平行线的判定及性质证明平行

方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题

目必须要掌握好平行线的判定方法。

1.如图，已知。〃6,N3=/4,那么直线c与直线［平行吗？请说明理由.

2.根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由.

如图，已知Nl+/2=180。，且/1=ND,求证：BC//DE.

证明:VZ1+Z2=18O°（已知）

又=.

；./2+/3=180。（等量代换）

J.AB//.

二/4=/1.

又：=（已知）

：.ZD=（等量代换）

J.BC//DE（）.

3.已知：如图，b〃a,c//a,zi,N2,N3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证：b〃c.

4.完成下面的说理过程：如图，在四边形A3CD中，E、尸分别是CD、AB,延长线上的点，连接收，分

别交AD,BC于点G、H.已知N1=N2,ZA=ZC,对4J//BC和AB〃CD说明理由.

AGilD

理由：VZ1=Z2（已知）,

Zl=ZAGH(),

Z2=ZAGH(等量代换).

AD//BC().

VZADE=ZC().

VZA=ZC(已知)，

A.ZADE=ZA().

:.AB//CD().

5.完成下列证明过程，并在括号内填上依据.

如图，点E在AB上，点尸在CZ）上，Z1=Z2,NB=/C,求证

证明：VZ1=Z2(已知)，Z1=Z4

；./2=(等量代换)，

//BF(),

；./3=N().

又,：4B=4C(已知)，

：.AB//CD().

6.如图，点E,歹分别在A3,C。上，AFLCE,垂足为点0.已知Nl=/3,ZA+Z2=90°.

AB

1

(1)求证：AB!/CD；

(2)若AF=12,BF=5,AB=13,求点尸到直线A3的距离.

考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等

方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定角”即运用平

行线的性质来推出两个角相等或互补。

1.填写推理理由：如图，CDHEF,Z1=Z2,求证：Z3=ZACB.

证明：'：CD//EF,

:.NDCB=/2

VZ1=Z2,：.ZDCB=Z1.

：.GD//CB

：.Z3=ZACB

填写适当的理由或数学式:

(1)VZA=ZCEF,(已知)

//)

(2)VZB+ZBD£=180°,(已知)

//；()

(3)-：DE//BC,(已知)

ZAED=Z_______；()

(4)-：AB//EF,(已知)

ZADE=Z_______.()

3.请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由:

己知：如图，Z1=Z2,ZA=Z£).

求证：NB=/C.

证明:VZ1=Z2,(已知)

又：VZ1=Z3,()

二/2=(等量代换)

:.AE//FD(同位角相等，两直线平行)

AZA=ZBFD()

ZA—ZD(已知)

:./D=(等量代换)

//CD()

：.ZB=ZC()

4.完成下面的证明.

如图，已知AOJ_BC,EFLBC,Z1=Z2,求证：ZBAC+ZAGD=18O°.

证明：-JADLBC,EFLBC(已知)，

：.ZEFB=90°,ZADB=9Q°(),

：.ZEFB=ZADB(等量代换)，

.'.EF//AD(),

：.Z1=ZBAD(),

又•；N1=N2（已知）,

；.Z2=Z—（等量代换），

：.DG//BA（内错角相等，两直线平行）,

ZBAC+ZAG£>=180°（）.

5.如图，ZAGB=ZEHF,ZC=ZD.

(1)求证：BD//CE；

(2)求证：ZA—ZF.

6.如图所示，ADLBC,EFLBC,Z3=ZC,则N1和/2什么关系?并说明理由.

考点4:平行线中构造平行线

方法点拨：平行线的构造主要解决的是平行线间的折线问题。而构造的方法大致有三种：过

拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两种图形，是铅笔模型和猪蹄

模型。

1.如图1,CE平分/AC。，AE平分/&1C,ZEAC+ZACE=90°,

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当NE=90。且与的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使/MCE=/ECD,当直角

顶点E点移动时，问NA4E与是否存在确定的数量关系？并说明理由；

（3）如图3,尸为线段AC上一定点，点Q为直线上一动点且A3与。的位置关系保持不变，当点Q

在射线CD上运动时（点C除外）/"0+/。0尸与/出1（7有何数量关系？猜想结论并说明理由.

B

BAB

图

1图2图3

2.直线AB〃CD,直线所分别交A3、8于点M、N,NP平济ZMND.

(1)如图1,若MR平分NEMB,则MR与NP的位置关系是.

(2)如图2,若MR平济ZAMN,则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

(3)如图3,若MR平级ZBMN,则皿?与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

图1图2图3

3.已知：AB〃CD.点E在CD上.，点F,H在4B上，点G在AB,Q)之间，连接尸G,EH,GE,ZGFB

=NCEH.

图1图2

(1)如图1,求证：GF//EH-,

(2)如图2,若/GEH=a,尸M平分/APG,EM平分NGEC,试问与a之间有怎样的数量关系(用

含a的式子表示NM)?请写出你的猜想，并加以证明.

4.已知A8〃C。，点是AB,CD之间的一点.

(1)如图1,试探索/AEC,/BAE,NDCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空(理由或数学式):

解：过点E作PE〃A8(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行).

'：AB//CD(已知)，

：.PE//CD(),

：.ZBAE=Z1,NDCE=N2(),

AZBAE+ZDCE=+(等式的性质).

即NAEC,ZBAE,NOCE之间的数量关系是.

(2)如图2,点F是A8,之间的一点，A尸平分/BAE,CF平分/OCE.

①若NAEC=74。，求NAPC的大小；

②若CG_LAF,垂足为点G,CE平分/OCG,ZAEC+ZAFC=126°,求NBAE的大小.

图1图2

5.在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线AB,C。和一块含45。的直角三角板EBG

(ZEFG=90。)”为背景，开展数学探究活动.如图，将三角板的顶点G放置在直线上.

(1)如图①，在GE边上任取一点P(不同于点G,E),过点尸作且N2=4N1,求N1的度数；

(2)如图②，过点E作CO//AB,请探索并说明NAGb与NCEF之间的数量关系；

(3)将三角板绕顶点G旋转，过点£作8/〃皿，并保持点E在直线A3的上方.在旋转过程中，探索ZAGF

与NC斯之间的数量关系，并说明理由.

6.已知AB//CZ),点£、尸分别在A3、C£＞上，点G为平面内一点，连接EG、FG.

(1)如图1,当点G在AB、C。之间时，请直接写出/AEG、/CFG与/G之间的数量关系；

(2)如图2,当点G在AB上方时，且NEGP=90。，求证：/BEG-/DFG=9Q。；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点E作直线HK交直线C£)于K,使/"EG与/GEB互补，/EKD的

平分交与直线GE交于点3请你判断尸G与KL的位置关系，并证明.

7.问题情境：如图1,AB//CD,/抬8=130。，ZPC£)=120°.求/APC度数.小明的思路是：如图2,过

点尸作PE〃AB,通过平行线性质，可得/4尸。=50。+60。=110。.

问题迁移:

(1)如图3.AD//BC,点尸在射线0M上运动，当点尸在A、B两点之间运动时，ZADP=Za,ZBCP=ZJ3.猜

想/CP。、/a、之间有何数量关系？请说明理由:

(2)在(1)的条件下，如果点尸在A、8两点外侧运动时(点尸与点A、B、。三点不重合)，请写出NCPD、

/£之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明.

图2

专题02《相交线与平行线》解答题'证明题重点题型分类

专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行线的

判定及性质证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造平行线”解

答题、证明题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：利用平行线的性质求角

方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，

要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系

是相等还是互补。平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数

时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补

等性质求解！

1.如图，己知：DE//BC,C。是/ACB的平分线，ZB=80°,ZA=50°,求：NEDC与/BDC

的度数.

【分析】先根据三角形内角和定理求出/ACB=50。，再由角平分线的定义求出

ZBCD=ZACD=|ZACB=25°,则由三角形内角和定理可求出/2。。=180。-/2-/28=75。，

再由平行线的性质即可得到/瓦尼=/28=25。.

【详解】解：VZA=50°,ZB=80°,

ZACB=180°-ZA-ZB=50°,

平分/ACB,

Z.ZBCD=ZACD=-ZACB=25°,

2

ZBr>C=180°-ZB-ZBCD=75°,

,:DE〃BC,

：.ZEDC=ZBCD=25°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键

在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

2.两个直角三角板如图摆放，其中乙BAC=NEZ)P=90。，/E=45。，NC=30。，AB与DF

交于点M,BC//EF,求/BATO的度数.

【答案】75。

【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出//和的度数，再由“两直线平行，内

错角相等“，可求出NMDB的度数，在中，利用三角形内角和可求出NBA®的度数.

【详解】解：如图，

在AABC和△£＞所中，ZBAC=ZEDF=90°,ZE=45°,ZC=30°,

.,.ZB=90°-ZC=60°,

ZF=90°-ZE=45°,

,:BC〃EF,

：.NMDB=NF=45°,

在ABMD中，/BMD=18O°-NB-/MDB=75°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个

角的度数是解题关键.

3.如图所示，AB//CD,G为AB上方一点,E、尸分别为A3、C£）上两点，NAEG=4/GEB,

/CFG=2/GFD,ZGEB和/GFO的角平分线交于点H,求/G+/H的值.

【答案】ZG+ZH=36°.

【分析】先设NG£B=2x,NGFD=2y,由题意可得ZAEG=8x,ZCFG-4y,由

2x+8x=180°,2y+4y=180。，从而求出x,y；根据题意得NAEG=/G+NCFG,

ZAEH=ZH+ZCFH,从而得到NG+/H的值.

【详解】解：设NGEB=2x,ZGFD=2y,

由题意可得，ZAEG=8x,ZCFG=4y,

由2x+8x=180。，2y+4y=180。，解得x=18。，y=30°；

由靴子图4EGEC知，ZAEG=ZG+ZCFG,即8x=NG+4y

由靴子图AEHFC知，ZAEH=NH+NCFH,即

即8x=/G+4y,9x=ZH+5y,

ZG+Zf/=17x-9y=17xl80-9x30o=36°

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设/G£B=2x,/GFZ)=2y,由题意得到刘y

的关系式，正确将NG+/H表示成刘，的形式.

4.如图所示，AR/C。，点E为两条平行线外部一点，尸为两条平行线内部一点，G、H分

别为A3、C£＞上两点，GB平分NEGF,HF平分/EHD,且2/尸与NE互补，求NEGF的

大小.

【答案】ZEGF=120°.

【分析】过点尸作设A8于EH的交点为N,先设NEGB=x,NEHF=y,则

NBGF=x,ZFHD=y,由题意及平行线的性质得ZF=ZBGF+ZDHF,

ZEGB=ZE+ZEHD,得到/尸=尤+y,x=ZE+2y,由于2/尸与NE互补，得至U

2x+2y+x-2y=l8O0,最终问题可求解

【详解】解：过点尸作FM〃AB,设A3于9的交点为N,如图所示：

设NEGB=x,NEHF=y,

■:GB平分NEGF,HF平分/EHD,

；.ZEGB=ZBGF=x,ZEHF=ZFHD=y,

'：AB//CD,

：.FM//AB//CD,

：.ZFGB=ZGFM,ZMFH=ZFHD,ZENB=ZEHD,

：.ZGFH=ZGFM+ZMFH=ZBGF+ZDHF,ZEGB=NE+ZENB=NE+NEHD,

即N_F=x+y,x=ZE+2y,

•/2NF与ZE互补，

2x+2y+x—2y=180°,

3x=180°,

Ax=60°,

：.ZEGF=x-^-x=120°.

【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是设

NEGB=x,NEHF=y,且由题意得到x,y的关系.

5.如图，CZ)〃AB,点。在直线AB上，0E平分/BOD,OF1,OE,ZD=UO°,求NZJOF

的度数.

【答案】35°

【分析】根据平行线的性质求得根据角平分线和垂直求解即可.

【详解】解：：CD〃AS

ZDOB=ZD=UO°

：0石平分/2。£)

ZDOE=-ZDOB=55°

2

又：OF±OE

：.ZEOF=90°

，/DOF=/EOF-NDOE=90°-55°=35°

故答案为：35°

【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性

质进行求解.

6.小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：AB//CD,E为AB、C。之间一点，连接BE,ED,得到/BED

求证：ZBED=ZB+ZD.

小亮帮助小明给出了该问的证明.

证明：

过点E作

则有

'：AB//CD

J.EF//CD

：.ZFED=ZD

：.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：

(1)直线直线跖和直线从/2分别交于C、。两点，点A、B分别在直线/1、/2上,

猜想：如图②，若点P在线段8上，NB4C=15。，/PBD=40。,求NAPB的度数.

(2)拓展：如图③，若点尸在直线E尸上，连接B4、尸8(BZ)<AC),直接写出/B4C、ZAPB,

/依。之间的数量关系.

E,E.

CA

坛~BA

图③

【答案】(1)55°；(2)当P在线段CO上时,ZAPB=ZB\C+ZPBD；当尸在。C延长线

上时，ZAPB=ZPBD-ZRiC；当P在CD延长线上时，ZAPB=ZPAC-ZPBD；

【分析】(1)过点尸作PG/71,可得4c=15。，由/1勿2,可得尸GM2,贝U

ZBPG=ZPBD=40°,即可得到ZAPB=ZAPG+ZBPG=55°；

(2)分当尸在线段CO上时；当P在OC延长线上时；当P在CO延长线上时，三种情况

讨论求解即可.

【详解】解：(1)如图所示，过点P作尸G/7i,

ZAPG=ZPAC=X5°,

,：h〃h.,

:.PG〃b,

：./BPG=NPBD=40。,

：.ZAPB=ZAPG+ZBPG=55°；

(2)由(1)可得当P在线段CD上时，ZAPB=ZPAC+ZPBD；

如图1所示，当尸在。C延长线上时，过点P作尸G〃/i,

ZAPG=ZFAC,

；h〃l2,

:.PG〃b,

：.NBPG=NPBD=40°,

：.ZAPB=ZBPG-ZAPG=ZPBD-ZPAC；

图1

如图2所示，当尸在CZ）延长线上时，过点尸作PG〃人，

ZAPG=ZFAC,

:.PG〃b,

，/BPG=NPBD=40°,

：.ZAPB=ZAPG-ZBPG=ZPAC-ZPBD-,

，综上所述，当P在线段CO上时，ZAPB=ZPAC+ZPBD-,当尸在OC延长线上时,

ZAPB=ZPBD-ZI^C；当产在CD延长线上时，ZAPB=ZPAC-ZPBD.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平

行线的性质.

考点2：利用平行线的判定及性质证明平行

方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平

行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。

1.如图，己知。〃6,/3=/4,那么直线c与直线d平行吗？请说明理由.

【答案】直线c与直线d平行，理由见解析

【分析】根据平行线的性质得出N2=N4,进而得出/3=/2,再根据平行线的判定证明即

可.

【详解】解：直线c与直线d平行，

证明：-：a//b,

；./2=/3,

VZ3=Z4,

；./4=N2,

'.c//d.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推

理证明.

2.根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由.

如图，己知Nl+N2=180。，且/1=N。，求证：BC//DE.

证明：VZ1+Z2=18O8（已知）

又=.

.-.Z2+Z3=180°（等量代换）

：.AB//.

.\Z4=Z1.

又=（已知）

（等量代换）

S.BC//DE（）.

【答案】对顶角相等；CD；两直线平行同位角相等；Z4；内错角相等两直线平行

【分析】根据已知条件及对顶角相等的性质可得：Z2+Z3=180°,依据平行线的判定定理:

同旁内角互补，两直线平行可得：AB//CD；由平行线的性质可得：Z4=Z1,根据等量代

换可得：ZD=Z4,由内错角相等，两直线平行即可证明.

【详解】证明：•••/1+/2=180。（已知）

又=（对顶角相等）.

AZ2+Z3=180°（等量代换）

AB//CD,

/.Z4=Z1（两直线平行，同位角相等）.

又=（已知）

AZD=Z4（等量代换）

ABC//DE（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等；CD两直线平行，同位角相等；Z4；内错角相等，两直线平行.

【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质定

理是解题关键.

3.己知：如图，b〃a,c〃a,zi,Z2,N3是直线a,b,c被直线1截出的同位角.求

证：b〃c.

【答案】证明见解析.

【分析】根据6〃。，两直线平行，同位角相等N2=N1,同理.N3=Z1.根据等量代换可

得/2=/3.根据平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得6〃c即可.

【详解】证明：：6/<2（已知），

Z2=Z1（两直线平行，同位角相等）.

c//a（已知），

•••Z3=Z1（两直线平行，同位角相等）.

：.N2=N3（等量代换）.

bl1c（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查平行线性质定理与判定定理的综合应用，掌握平行线性质定理与判定定理

是解题关键.

4.完成下面的说理过程：如图，在四边形ABC。中，E、尸分别是CD、AB,延长线上的点，

连接EF,分别交AD,BC于点、G、H.已知N1=N2,ZA=ZC,对4）//BC和AB//CD说

明理由.

理由：VZ1=Z2(已知)，

Z1=ZAGH(),

：.Z2=ZAGH(等量代换).

AD//BC().

VZADE=ZC().

VZA=ZC(已知)，

A.ZADE=ZA().

:.AB//CD（）.

【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内

错角相等，两直线平行.

【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定进而得到再根据内

错角相等，两直线平行，即可得到AB〃CD

【详解】证明：已知）

Zl=ZAGH（对顶角相等）

：.Z2=ZAGH（等量代换）

.,.AD〃BC（同位角相等，两直线平行）

.•.NAr>E=NC（两直线平行，同位角相等）

NA=NC（已知）

ZADE=ZA

...AB〃cr）（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判

断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

5.完成下列证明过程，并在括号内填上依据.

如图，点E在上，点尸在上，Z1=Z2,NB=/C,求证A8〃CD

证明：VZ1=Z2（已知），/1=/4

；./2=（等量代换），

//BF（）,

；./3=/（）.

又■:NB=/C（已知），

：.N3=NB

J.AB//CD（）.

【答案】Z4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等,

两直线平行

【分析】根据平行线的判定和性质解答.

【详解】解=（已知）,Z1=Z4（对顶角相等）,

；./2=/4（等量代换），

：.CE//BF（同位角相等，两直线平行），

.•.N3=NC（两直线平行，同位角相等）.

又（已知），

：.Z3=ZB（等量代换），

J.AB//CD（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等；CE//BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；

内错角相等，两直线平行.

【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答.

6.如图，点E,歹分别在AB,C£>±,AF_LCE,垂足为点。.已知Nl=/3,ZA+Z2=90°.

（1）求证：AB//CD；

（2）若AF=12,BF=5,AB=13,求点/到直线A3的距离.

【答案】⑴证明过程见解析；⑵与

【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；

（2）设点厂到直线A3的距离为//,根据等面积法可得/B=；AF.FB=；AB./Z,代入计算

即可得出%的值，即可得出答案.

【详解】⑴证明：因为/1=/3（已知），

所以CE//叱（同位角相等，两直线平行），

因为AF_LCE（已知），

所以（垂直的性质），

所以/ARB=90。（垂直的定义），

又因为ZAFC+ZAEB+N2=180。（平角的定义）.

即ZAFC+Z2=90°,

又因为ZA+N2=90,

所以NAFC=/A（同角的余角相等），

所以AB//CD（内错角相等，两直线平行）；

（2）解:因为AFLBW（己证），且AF=12,BF=5,AB=13.

设点厂到直线A3的距离为鼠

所以%=

所以gxl2x5=gxl3/z,

即口口力7=——60,

13

所以点尸到直线AB的距离为".

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，解题的关键是熟练应用平

行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算.

考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等

方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定

角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

1.填写推理理由：如图，CD"EF,Z1=Z2,求证：Z3=ZACB.

证明：,：CD//EF,

:./DCB=/2_

VZ1=Z2,：,ZDCB=Z1.

C.GD//CB___.

：.Z3=ZACB

【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同

位角相等.

【分析】根据两直线平行，同位角相等可以求出/OCB=/2,等量代换得出

再根据内错角相等，两直线平行得出GZ）〃CB,最后根据两直线平行，同位角相等，所以

Z3^ZACB.

【详解】证明：〃所，

AZDCB=Z2（两直线平行，同位角相等），

\'Z1=Z2,

（等量代换）.

：.GD//CB（内错角相等，两直线平行）.

/.Z3=ZACB（两直线平行，同位角相等）.

故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，

同位角相等.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，并准确识图

是解题的关键.

2.如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式:

//；（）

（2）,：ZB+ZBDE=180°,（已知）

/.//；（）

（3）'JDE//BC,（已知）

:./AED=/_______；（）

（4）-：AB//EF,（已知）

AZADE=Z_______.（）

【答案】（1）4&EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线

平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF-两直线平行，内错角相等

【分析】（1）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得；

（2）根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，即可得；

（3）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得；

（4）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得.

【详解】解：（1）：/4=/。跖，（已知）

.,.AB//EF,（同位角相等，两直线平行）；

（2）VZB+ZBDE=180°,（已知）

（同旁内角互补，两直线平行）；

（3）VDE//BC,（已知）

：.ZAED=ZC,（两直线平行，同位角相等）

（4）VAB//EF,（已知）

:•ZADE=NDEF（两直线平行，内错角相等）.

故答案为：（1）AS；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直

线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等.

【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，熟练掌握理解平行线的性质定理并结合图

形是解题关键.

3.请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：

己知：如图，N1=N2,ZA^ZD.

求证：ZB=ZC.

证明：VZ1=Z2,（已知）

又：VZ1=Z3,（）

AZ2=（等量代换）

:.AE//FD（同位角相等，两直线平行）

AZA=ZBFD（）

VZA=ZD（已知）

AZD=（等量代换）

//CD（）

：./B=NC（）

【答案】对顶角相等；N3；两直线平行，同位角相等；ZBFD；AB；内错角相等，两直线

平行；两直线平行，内错角相等

【分析】根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可.

【详解】证明：=（已知）

又：•••/：!=/3,（对顶角相等）

；.N2=N3（等量代换）

:.AE//FD（同位角相等，两直线平行）

/.ZA^ZBFD（两直线平行，同位角相等）

VZA=ZD（已知）

；./D=NBFD（等量代换）

...A2〃C。（内错角相等，两直线平行）

...NB=NC（两直线平行，内错角相等）.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键.

4.完成下面的证明.

如图，已知AO_LBC,EFLBC,Z1=Z2,求证：ZBAC+ZAGZ）=180°.

证明：-：AD1BC,EF±BC（已知），

；./EFB=90。,ZADB^90°（）,

:./EFB=NADB（等量代换），

J.EF//AD（）,

J.Zl^ZBAD（）,

又：N1=N2（已知）,

/.Z2=Z—（等量代换），

J.DG//BA（内错角相等，两直线平行），

：.ZBAC+ZAGD=18Q°（）.

【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线

平行，同旁内角互补

【分析】先由垂直的定义得出两个90。的同位角，根据同位角相等判定两直线平行，根据两

直线平行，同位角相等得到=再根据等量代换得出根据内错角相等,

两直线平行，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可判定.

【详解】解：EPLBC（已知），

：.ZEFB=90°,ZADB=9Q°（垂直的定义），

：.ZEFB=ZADB（等量代换），

：.EF//AD（同位角相等，两直线平行），

：.Z1^ZBAD（两直线平行，同位角相等），

又；N1=N2（已知），

：.Z2=ZBAD（等量代换），

J.DG//BA（内错角相等，两直线平行），

...N8AC+/AG£>=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD-,两直

线平行，同旁内角互补

【点睛】本题考查的是平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关键.

5.如图，ZAGB^ZEHF,ZC^ZD.

（1）求证：BD//CE；

（2）求证：ZA—ZF.

CBA

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由NAGB=/1,/AGB=NEHF,可得N1=NEHF,则BD〃CE；

（2）由2D〃CE,可得/D=N2,则N2=/C,推出AC〃/）/，则

【详解】证明：(1)vZAGB=Z1,ZAGB=ZEHF,

；.N1=NEHF,

J.BD//CE-,

(2)'：BD//CE,

.,.ZD=Z2,

'：ZD=ZC,

；./2=/C,

C.AC//DF,

：.NA=NE

BA

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定

条件是解题的关键.

6.如图所示，ADLBC,EFLBC,Z3=ZC,则/I和/2什么关系?并说明理由.

【分析】根据题目已知得出AD//EF,由平行线的性质可得/1=/4,由N3=NC可证明

DG//AC,故可得Z2=/4,等量代换即可得出答案.

【详解】Z1=Z2.理由如下：

•.■AD1BC.EF1BC,

:.ZADB=ZEFB,

,AT）〃历（同位角相等，两直线平行），

.•.N1=N4（两直线平行，同位角相等），

vZ3=ZC,

.•.DG//AC（同位角相等，两直线平行），

;.Z2=N4（两直线平行，内错角相等），

，N1=N2(等量代换).

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

考点4：平行线中构造平行线

方法点拨：平行线的构造主要解决的是平行线间的折线问题。而构造的方法大

致有三种：过拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两

种图形，是铅笔模型和猪蹄模型。

1.如图1,CE平分NACD,AE平分NBAC,ZEAC+ZACE=90°,

(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

(2)如图2,当NE=90。且A3与的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

ZMCE=ZECD,当直角顶点E点移动时，问/BAE与是否存在确定的数量关系？

并说明理由；

(3)如图3,尸为线段AC上一定点，点。为直线上一动点且A3与的位置关系保

持不变，当点Q在射线C。上运动时(点C除外)NCPQ+NC。尸与NR4C有何数量关系？

猜想结论并说明理由.

【答案】(1)平行，理由见解析；(2)ZBAE+jZMC£»=90°,理由见解析；(3)

NBAC=NPQC+/QPC,理由见解析.

【分析】(1)先根据CE平分/AC。，AE平分NBAC可得/54C=2NEAC,ZACD=2ZACE,

再由NEAC+NACE=90°可知NBAC+NACD=180,根据平行线的判定定理即可得出结论；

(2)如图，过E作E/〃4B,由AB//CO可得E尸〃AB〃CD,根据平行线的性质可得

NBAE=NAEF,NFEC=/DCE,可得/BAE+/ECZ)=90。，再由NMCE=/EC£)即可得出结

论；

(3)如图，过点C作CM//P。，可得NPQC=/MCN,ZQPC=ZPCM,根据AB〃CD可知

ZBAC+ZACD=180°,根据NPCQ+NPaW+/MCN=180°,可得

ZQPC+ZPQC+ZPCQ=180°,即可得出ZBAC=ZPQC+ZQPC.

【详解】(1)；CE平分NACO,AE平分N3AC,

ZBAC=2ZEAC,ZACD=2ZACE,

'：ZEAC+ZACE=90°f

：.ZBAC+ZACD=180°,

J.AB//CD

(2)ZBAE+^-ZMCD=90°；理由如下:

如图，过石作E尸〃AH

U：AB//CD,

：.EF//AB//CD,

：.ZBAE=ZAEFf/FEC=/DCE,

,/ZAEC=ZAEF+ZFEC=90°,

NBAE+NECD=9。。,

ZMCE=ZECD=^/MCD,

：./BAE+；ZMCD=90°.

(3)如图，过点。作CM//尸。，

:・/PQC=/MCN,ZQPC=ZPCMf

*：AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=180°,

,/ZPCQ+APCM+ZMCN=180°,

・•・ZQPC+APQC+APCQ=180°,

ZBAC=ZPQC+ZQPC.

BA

DN

QC\

【点睛】本题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直

线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键.

2.直线AB〃CD,直线斯分别交A3、8于点M、N,NP平分ZMND.

（1）如图1,若MR平分NEMB,则M7?与NP的位置关系是.

（2）如图2,若MR平分ZAMN,则与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

（3）如图3,若MR平分ZBMN,则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

图1图2图3

【答案】（1）MR//NP-.（2）MR//NP,理由见解析；（3）MR1NP,理由见解析

【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得/EMB=/EVD,根据角平分线的意义可得

NEMR=；NEMB,NENP=；NEND,进而可得/EMR=/ENP,即可判断MR〃NP；

（2）根据两直线平行，内错角相等，角平分线的意义可得/丽=/£7VP,即可判断

MR//NP-,

（3）设MR,PN交于点、Q,过点。作。G〃AB根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线

的意义，可得/浏依+/PND=90。，进而可得NMQN=90。，进而判断

【详解】（1）如题图1,••・AS〃CD

:.NEMB=/END

-：MR平分NEMB,NP平分ZMND.

NEMR=-ZEMB,ZENP=-ZEND

22

:./EMR=/ENP

MR//NP-,

(2)如题图2,VAB//CD

:.ZAMN=ZEND

•••MR平分ZAMN，NP平分ZMND.

ZRMN=|AAMN,ZENP=|ZEND

:.ZRMN=ZENP

MR//NP,

(3)如图，设MR,PN交于点。，过点。作。G〃AB

AB//CD

ZBMN+ZEND=180°,QG//CD

NMQG=ZBMR,ZGQN=NPND

•••MR平分ZBMN,N尸平分ZMND.

ZBMR=|NBMN,ZPND=|ZEND

:.ZBMR+ZPND=90°

ZMQN=ZMQG+ZNQG=90°

MRLNP；

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解

题的关键.

3.已知：AB//CD.点E在C£＞上，点、F,"在A3上，点G在A2,C£）之间，连接尸G,

EH,GE,ZGFB^ZCEH.

图1图2

(1)如图1,求证：GF//EH；

(2)如图2,若/GEH=a,平分/AFG,EM平分NGEC,试问NM与a之间有怎样

的数量关系(用含a的式子表示/M)?请写出你的猜想，并加以证明.

Qf

【答案】(1)见解析；(2)ZFME=90°证明见解析.

【分析】(1)由平行线的性质得到NCEW=ZEHB,等量代换得出=即可根据“同

位角相等，两直线平行”得解；

(2)过点/作MQ//A8,过点G作GP〃/根据平行线的性质及角平分线的定义求解即

可.

【详解】(1)证明：

NCEH=NEHB,

•;NGFB=NCEH,

.-.ZGFB=ZEHB,

:.GF//EH；

ry

(2)解：ZFME=90°--,理由如下：

如图2,过点M作过点G作GP/A4B,

图2

-,-AB//CD,

:.MQ//CD9

ZAFM=ZFMQ,ZQME=ZMEC,

ZFME=ZFMQ+ZQME=ZAFM+AMEC,

同理，ZFGE=ZFGP+ZPGE=ZAFG-^ZGEC,

•.•FM平分NAFU,EM平分NGEC,

ZAFG=2ZAFM,Z.GEC=2ZMEC,

..ZFGE=2ZFME,

由（1）知，GF//EH,

ZFGE+Z.GEH=180°,

\-ZGEH=a,

:.ZFGE=180°-a,

:.2ZFME=lS00-a,

fY

ZFME=90°——.

2

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是

解题的关键.

4.已知点是AB,CD之间的一点.

（1）如图1,试探索/AEC,/BAE,/OCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：

解：过点E作（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）.

\'AB//CD（已知），

C.PE//CD（）,

.*.ZBA£=Z1,/DCE=N2（）,

AZBAE+ZDCE=+（等式的性质）.

即/AEC,NBAE,/ZJCE之间的数量关系是.

（2）如图2,点尸是AB,CO之间的一点，A尸平分/BAE,CF平分/DCE.

①若/AEC=74。，求NAFC的大小；

②若CG_LAF,垂足为点G,CE平分/OCG,ZAEC+ZAFC=126°,求/BAE的大小.

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两