中考数学专项复习：旋转与几何综合（解析版）

专题3.1旋转与几何综合

典例精析

【典例1］如图，正方形ABC。和正方形CEPG〔其中3ZA2CE〕，直线BG与交于点

图1图2

(1)如图1,当点G在C。上时，请直接写出线段BG与。E的数量关系和位置关系;

(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周.

①如图2,当点E在直线CD右侧时，求证：BH-DH=&CH；

②当/QEC=45。时，假设A8=3,CE=1,请直接写出线段。”的长.

【思路点拨】

〔1〕证明△BCG^/\DCE可得结论；

〔2〕①在线段3G上截取8K=£»H,连接CK.证明△BCKgZVDC8(SAS),推出CK=CH,ZBCK=ZDCH,

推出△KC8是等腰直角三角形，即可解决问题；

②分两种情形：当。，G,£三点共线时NOEC=45。，连接8。；和当。，H,£三点共线时/。£。=45。，

连接,分别依据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题.

【解题过程】

(1〕解：BG=DE,BGLDE,理由如下：

四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，

:,BC=CD,NBCG=NDCE=90。,CG=CE,

：.ABCG^ADCE(SAS),

:・BG=DE,ZCBG=ZCDE.

NCDE+/DEC=90。,

ZHBE+ZBEH=90°,

：.NBHD=90°,即BG1DE.

综上可知BG和DE的关系为BG=DE§LBG1DE.

故答案为：8G=OE且BG1DE；

[2)①证明：如图，在线段BG上截取8长=。反，连接CK.

四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，

：.BC=CD,ZBCD=ZGCE=9Q°,CG=CE,

：.ZBCG^ZDCE,

：.丛BCG冬丛DCE(SAS),

；.NCBK=/CDH,

'：BK=DH,BC=DC,

ABCK冬ADCHISAS),

:.CK=CH,ZBCK^ZDCH,

：./BCK+/KCD=ZDCH+ZKCD,即NKCH=ZBCD=90°,

4KCH是等腰直角三角形，

：.HK=V2CW,

：.BH-DH=BH-BK=KH=五CH；

②如图，当。，G,E三点共线时/Z)EC=45。，连接80.

由11）同样的方法可知，BH=DE,

四边形CEFG为正方形

：.CE=CH=1,

：.EH=42CH=V2.

VAB=3,

：.BD=0AB=3vL

设Z)8=x,那么BH=DE=x+&,

在RMBDH中,BH2+DH2^BD2,BP(x+V2)2+x2=(3V2)2,

V34-V2-V34-V2

解得：%!=(舍)

2，%22=2

故此时DH=赵尹；

如图，当H,E重合时，ZDEC=45°,连接BO.

设DH=x,

•:BG=DH,

：.BH=DH-HG=x-V2,

在RMBDH中,BH2+DH2^BD2,KP(X-A/2)2+x2=(3A/2)2

_V34+V2_-V34+V2

解得:久1=—2—，“2=—2—(舍)

故此时DH=竺整;

综上所述，满意条件的DH的值为遗尹或遗产.

学霸必刷

1.12022•河北唐山•八班级期末)如图1所示，将一个边长为2的正方形A8CD和一个长为2、宽为1的长

方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形2BEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE，F»,旋转

角为a.

⑴当点D’恰好落在边EF上时，点)到边DC的距离为,旋转角a=°；

(2)如图2,G为8C的中点，且0。＜戊＜90。，求证：GD'=E'D-,

(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△。。。与4。3沙能否全等？假设能，直接写出旋转角

a的值；假设不能，说明理由.

【思路点拨】

〔1〕依据矩形的性质可知点D'到边DC的距离等于尸到边DC的距离，即DF=1,可知点。'到边DC的距离为

1;依据旋转的性质得CD'=CD=2,即可判定NCD'E=30。，然后依据平行线的性质即可得到Na=

乙C»E=30°;

〔2〕由G为BC中点可得CG=CE,然后依据“SAS〃可推断△GCD'三△E'CD,那么GD'=E'D;

〔3〕依据正方形的性质得C8=C£),而CD=CD',那么△BCD'和△DC。'为腰相等的两等腰三角形，当两

顶角相等时它们全等，当△BCD和为钝角三角形时，可计算出a=135。，当△BCD'和△DCD'为锐

角三角形时，可计算得到a=315。.

【解题过程】

(1)解：由题意可知，当点£＞'恰好落在边EF上时，点。到边DC的距离等于尸到边DC的距离，即。E=l,

二点。'到边DC的距离为：1,

VCE=1,CD'=2,

...在Rt△CED'中，"D'E=30°,

VCD||EF,

."a=乙C»E=30°,

故答案为：1,30；

[2）证明：：G为BC中点，

CG=1,

/.CG=CE,

•.•长方形CEFD绕点C顺时针旋转至

：.Z.D'CE'=乙DCE=90°,CE=CE'=CG,

：.乙GCD'=/.DCE'=900+a,

在^GCD，和△E（D中，

CD'=CD

;{NGCD=乙DCE'

CG=CE'

：.△GCD'三AE'CD（SAS）,

：.GD'=E'D；

[3）能，理由如下：

四边形ABCD为正方形，

CB=CD,

VCD=CD',

BCD和^DC。'为腰相等的两等腰三角形，

当/BCD'=NDCD时，^BCD'=^DCD',

当480和4DC）为钝角三角形时，那么旋转角a=36°；9。。=135°,

当△BCD和△DC。为锐角三角形时，4BCD'=4DCD'=：4BCD=45°,

那么a=360。—三=315。，

即旋转角a的值为135。或315。时，△BC7T和ADC。全等.

2.[2022•山西吕梁•九班级期末）综合与实践：如图1,在正方形48。中，点E,尸分别为DC,BC边上

的点，且满意NR4F=45。，连接ER求证：DE+BF=EF.

DD

/MD—

F=

图1图2图3

李伟同学是这样解决的：

将AADE绕点A顺时针旋转90。得到此时A3与AD重合，再证明△G4F三△R4F,可得结论.

(1)如图2,在四边形ABC。中，AD\\BC(AD>BC),ND=90。，AD=CD=10,且NBAE=45。，DE=4,

求BE的长；

(2)类比(1)证明思想完成以下问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一

起，A为公共顶点，^BAC=^AGF=90°,假设△ABC固定不动，绕点A旋转，AF.AG与边8C的

交点分别为。、E1点。不与点B重合，点£不与点C重合)，在旋转过程中，等式BO?+始

终成立，请说明理由.

【思路点拨】

〔1〕过A作AG_LBC,交2C延长线于G,由正方形的性质得出CG=A£>=10,再运用勾股定理和方程求

出8E的长；

〔2〕运用旋转性质和勾股定理推断说明等式成立.

【解题过程】

解:(1)如图2,过点2作力G1BC,交CB延长线于点G.

zl____________,D

GBC

图2

四边形ADCG中，ZD=NC=NG=90°,AD=DC,

.••四边形ADCG是正方形.

CG=AD=10.

Z.BAE=45°,依据材料可得：BE=GB+DE.

设BE=x,那么BG=x-4,

：.BC=14-x.

在RtABCE中，BE2=BC2+CE2,

：.x2=(14-x)2+62,

解得x=,.

7

⑵如图3,将AACE绕点2顺时针旋转90。至ATlBH位置,

那么CE=BH,AE^AH,NNBH=NC=45。，旋转角NE4H=90。.

连接HD,在AE4。和△H40中，

-AE=AH

/.HAD=/.EAD,

.AD=AD

：.^EAD=AHAD(SAS).

：.DH=DE.

又乙HBD=AABH+AABD=90°,

：.BD2+BH2=HD2,

：.BD2+CE2=DE2.

3.(2022.黑龙江省新华农场中学九班级阶段练习)如图①,在小ABC中，AB=AC=4,ZBAC=90°,AD±BC,

垂足为D.

图①图②

(1)SAABD〔直接写出结果）

(2)如图②，将△A3。绕点。按顺时针方向旋转得到设旋转角为a(a<90。)，在旋转过程中：

探究一：四边形APD。的面积是否随旋转而变化？说明理由；

探究二：当&=时，四边形APD。是正方形.

【思路点拨】

〔1〕依据等腰三角形的性质，由AD_LBC得BO=C。，那么SAMD=^SA4BC=4;

〔2〕①在A4BC中，依据等腰直角三角形的性质得NB=NC=45。，易得NB4D=ND4c=45。，BD=AD,

再利用等角的余角相等得到NBDP=〃DQ,于是可推断ABPD三AAQD,所以S四边形4PDQ=SAAPD+SAAQD=

S^APD+S^BPD=SAABD=4,即可推断四边形4PDQ的面积不会随旋转而变化；

②由于NP4Q=90°,那么当OP1AB时，四边形2PDQ为矩形，加上P4=PD,于是可推断四边形4PDQ是

正方形，此时N8OP=45°,即a=45°.

【解题过程】

(1)解：AB^AC4,/.BAC90°,AD1BC,

•••BD=CD,

S、ABD~]SAABC=5x54c,BC=-x-x4x4=4；

故答案为4；

(2)解：①四边形4P0Q的面积不会随旋转而变化.理由如下：

在中，•・•AB=ACfZ.BAC=90°,

.•・=4C=45°,

AD1BC,

・•・乙BAD=乙DAC=45°,

•••Z.B=Z-DAQ=Z-BAD=45°,BD=AD,

又•・•Z-BDP+2LADP=90°,Z-ADQ+Z.ADP=乙PDQ=90°,

Z.BDP=Z-ADQ,

在ABPD和A4QD中，

Z-B=Z-DAQ

BD=AD,

"DP=Z-ADQ

LBPD=LAQD〔ASA),

•*,S四边形PADQ=S&APD+S&AQD=^AAPD+S&BPD=^^ABD=4；

②a=45。时，四边形4PDQ是正方形.理由如下:

当。P_L4B时，

而"DQ=90°,

.•.四边形力PDQ为矩形,

V/.PAD=45°,

•••PA=PD,

••・四边形2PDQ是正方形，此时NBDP=45。，即a=45。.

4.(2022.吉林通化.九班级期末)如图，A4BC中，AB=AC,ABAC=90°,点。、E在BC边上，^DAE=45。,

将44CE绕点4顺时针旋转90。得4ABF.

(2)连接DF,求证：AADF^^ADE；

(3)假设BD=3,CE=4,那么OF=,四边形AFOE的面积=.

【思路点拨】

〔1〕由旋转的性质得4c=乙48尸，从而得到NDBF=Z_A8C+乙4BF=90。，即可证明结论；

〔2〕由旋转的性质得4F=AE,乙BAF=/.CAE,那么4艮4。+Z.BAF=A.BAD+Z.CAE=45°,再利用S4S

即可证明；

〔3〕如图，过点4作4H1BC于H,由〔1〕得，ND8F=90。，在Rt△DBF中，由勾股定理得DF=y/BD2+BF2=

432+42=5,那么BC=BD+DF+CE=3+5+4=12,再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半求出4H,再利用S四边形MOE=2sAME可得出答案•

【解题过程】

(1)证明：•・,将△4CE绕点/顺时针旋转90。得△AB凡

:•乙C=Z.ABF.

•・•在中，AB=AC,^BAC=90°,

：.Z.ABC=ZC=45°,

工乙DBF=/.ABC+Z.ABF=45°+45°=90°,

：.BF1BC,

⑵证明：•・,将△*£*绕点/顺时针旋转90。得

：.AF=AE,4BAF=Z.CAE,

9：^DAE=45°,/-BAC=90°,

：.^BAD+Z.CAE=90°-45°=45°,

A/-BAD+乙BAF=4BAD+Z.CAE=45°,

：./.DAF=^DAE,

在△49F和△ZDE中，

'AF=AE

乙DAF=4DAE,

、AD=AD

：.△ADFADE{SAS),

(3)解：如图，过点Z作IBC于"，

・・,将△/CE绕点/顺时针旋转90。得△/BF,BD=3,CE=4,

：.BF=CE=4,

由(1)得，4DBF=90。,

在Rt△DBF中，DF=y/BD2+BF2=V32+42=5,

由(2)得,

:,DE—DF—5,ADF=^^ADE9

・・・BC=8。+OE+CE=3+5+4=12,

・・・在△/BC中，AB=AC,/-BAC=90°,AH1BC

：.BH=CH,

：.AH=-BC=6,

2

・•・四边形/FOE的面积：

S四边形AFDE=S^ADF+S—QE

=2s△aoE

1

=2x-xDExAH

2

=DExAH

=5x6

=30.

故答案为：5；30.

5.(2022.贵州六盘水•九班级学业考试〕【问题提出】如图1,在A4BC中，每个内角都小于120。，在△4BC

内有一点P,请确定点尸的位置，使P4+PB+PC最小.

(1)【问题解决】如图2,把ASP绕点C顺时针旋转60。得到ACED,连接和AE,当点8,尸，。，E四

点共线时，PA+PB+PC的最小值即为线段BE的长，此时N&PB=度；

(2)【问题拓展】如图3,在中，AB=AC,Z.BAC=90。，点尸是△ABC内一点，假设NAPC=135°,

PA=2,PC=1,求PB的长；

(3)【实际应用】如图4,AABC是A,B,C三座城市位置的平面示意图，要在△28C内规划建设一个物流

基地(用点尸表示)，连接B4,PB,PC,并使P4+PB+PC最小；经测量：AC=40km,BC=30km,

乙4cB=60°,求PA+PB+PC的最小值.

【思路点拨】

〔1〕由“把ACAP绕点C顺时针旋转60。得到,可得乙4PC=NCDE,易证△PC。是等边三角形，那

么可得ZCPD=乙CDP=60。，然后依据平角和周角即可求得答案；

〔2〕如图，才巴448「，绕点A逆时针旋转90°得到AaCP',连接PP',那么NP2P'=90°,AP'=AP,BP=CP',

由等腰直角三角形的性质可得乙4PP'=乙4P'P=45°,PP'=^/2AP=2V2,继而可得NP'PC=90°,然后利

用勾股定理即可求得答案；

〔3〕把4ACP绕点C顺时针旋转60。得到△4CP',分别连接AB,PP',过点4作力'F1BC交BC的延长线于

点、F,易证APCP'是等边三角形，那么PC=PP',继而可得当8、P、P'、4四点共线时，P4+PB+PC最

小，然后依据含30。角的直角三角形的三边关系和勾股定理即可求得答案.

【解题过程】

⑴解：:把绕点C顺时针旋转60。得到

ACP=CD,"CD=60。,乙4PC=&CDE,

△PCD是等边三角形，

AZ.CPD=Z.CDP=60°,

;点B,P,D,E四点共线，

乙BPC=180°-乙CPD=120°,ZCDE=180°一LCDP=120°,

J./-APC=120°,

:.乙APB=360°-4BPC-^APC=120°；

(2)解：如图，把AABP,绕点A逆时针旋转90。得到AHCP',连接PP',

:.^APP'=AAP'P=45。,PP'=MAP=2V2,

：.Z-P'PC=/.APC-乙4PP'=135°-45°=90°,

在RtAP,PC中，由勾股定理得：CP'=VP'P2+cp2=(2V2)2+I2=3,

：.PB=3-,

[3)解：把AACP绕点C顺时针旋转60。得到△ACP',分别连接48,PP，，过点4作4尸，交BC的延长

线于点F,

J.^A'FB=90°,AACAr=60o,A'P'=AP,CP=CP',^PCP'=60°,

.••△PCP，是等边三角形，

：.PC=PP',

：.PA+PB+PC=P'A'+PB+PP',

...当B、P、P\4四点共线时,P4+PB+PP最小,

此时，PA+PB+PC=A'B,

'：/-ACB=60°,^ACA'=60°,

J.^A'CF=60°,

.•.在RtAACF中，CF=^A'C=^AC=20km,A'F=V3CF=20V3km,

：.BF=BC+CF=50km,

在RtAA'BF中，由勾股定理得：A'B=＜BF2+A'F2=J502+(20V3)2=10V37km,

：.PA+PB+PC的最小值为10闻km.

6.(2022・北京•九班级专题练习)正方形4BC。，将线段BA绕点3旋转a[0。＜。＜90。)，得到线段8E,

连接EA,EC.

图1图2

⑴如图1,当点E在正方形ABC。的内部时，假设BE平分/ABC,AB=4,那么NAEC=°,四边形

ABCE的面积为；

(2)当点E在正方形ABCD的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

②作/EBC的平分线8尸交EC于点G,交EA的延长线于点R连接CF.用等式表示线段AE,FB,FC

之间的数量关系，并证明.

【思路点拨】

〔1〕过点E作EK1BC于点K,由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得/ABE=NCBE=

45°,AB=BE=BC=4,再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出NB4E=NBEA=67.5。，EK=

2V2,继而可证明AABEwACBEOaS),便可求解；

〔2〕①依据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得BE=B4=BC,再依据三角形内角和定理

及等腰三角形的性质求出NAEB/BEC=45°,即可求解；

②过点B作BHJ.AE垂足为耳由等腰三角形的性质得到4H=£7/=14E,再证明

△FBE三AFBC(SZS)即可得到EF=CF,再推出AHBF为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系.

【解题过程】

解：(1)过点E作EK1BC于点K

4BKE=90°

•••四边形ABCD是正方形

•••4ABC=90°,4B=BC

•••2E平分/ABC,AB=4,将线段BA绕点8旋转a(0。＜戊＜90。)，得到线段BE

•••乙ABE=4CBE=45°,AB=BE=BC=4

•••乙BAE=^BEA=67.5°,sin乙EBK=—=—=—

BE24

•­.EK=2V2

SRBCE="C.EK=|X4X2V2=4V2

BE=BE

・•・^ABE=BE(SAS)

乙AEB=乙CEB,S.AEB=SMEB

乙乙

•••Z4FC=AEB+CEB=135°,四边形ABCE的面积为=S^AEB+S^EB=85/2

故答案为：135,8V2

(2)①作图如下

E

•••四边形ABC。是正方形

AABC=90°,AB=BC

由旋转可得，BE=BA=BC

■■■Z.ABE+Z.BAE+Z.BEA=180°,Z.ABE=a

.­./.BEA=乙BAE=幽*=90。，

22

•・•Z.CBE+乙BCE+乙BEC=180。，乙CBE=Z.ABE+/.ABC=90。+a

4BEC=乙BCE=i80°-(90°+a)=45。―巴

22

・•・^AEC=乙AEB-乙BEC=45°

②BF=^CF-当AE,理由如下：

如图，过点8作垂足为H

/-BHF=90°

BA=BE

AH=EH=-AE

2

.；BE=BC,NEBC的平分线8尸交EC于点G

・•.BG1CE,乙FBE=乙FBC

・•・/.EGF=90°

BF=BF

••・AFBE=AFBC(SAS)

・•.EF=CF

•・•乙AEC=45°

乙AEC=(EFG=45°

・•.Z.EFG=45°=乙HBF

AHBF为等腰直角三角形

•••BF=V2HF=&(EF-EH)=/(EF-=V2(CF-^AE)

即BF=鱼(?F一日力E

7.12022•江苏・盐城市明达初级中学八班级阶段练习)如图，正方形。£>所的边。£)、。尸在坐标轴上，点

E坐标为(-6,6］，将正方形绕点。逆时针旋转角度(0°<cr<90°),得到正方形A8CZ),AB交

线段。b于点P,54的延长线交线段E尸于点。，连DP、DQ

(1)求证：AADQ2AEDQ；

(2)求/尸。。的度数；并推断线段尸。、EQ、PO之间的数量关系，说明理由.

(3)连接ARFB.OB、A。得到四边形AFB。，在旋转过程中，当尸点在何位置时四边形AM。是矩形？请

说明理由，并求出点。的坐标.

【思路点拨】

〔1〕依据旋转变换的性质得到。E=A£>,ZE=ZDAQ=90°,依据正方形的性质得到NZMQ=90。，依据直角

三角形的全等的判定定理证明即可；

〔2〕证明RtAD4PwRtADOP,得到4ADP=NODP,AP=OP,等量代换即可；

〔3〕依据矩形的判定定理证明四边形468。是矩形，设点。的坐标为(-6,机)，依据勾股定理列出方程,

解方程求出小的值，得到点Q的坐标.

【解题过程】

(1)解:\•四边形ABC。是正方形，

/DAB=90。，

ZDA0=90°,

:将正方形跖绕点。逆时针旋转角度(0°<«<90°),,

：.DE=AD,ZE=ZDAB=90°,

在RtAEDQ和RtAADQ

(ED=DA

IDQ=DQ,

：.Rt△EDQ三Rt△ADQ,

：.AADQ^AEDQ；

[2)^PDQ=45°,PQ=EQ+OP,理由如下：

:四边形。。跖是正方形，

：.ADOP=乙EDO=90°,

；4DAB=4DOP=90°,

URt/^DAP^Rt^DOP^P,

{DA=DO,

U»P=DP'

：.Rt△DAP=RtADOP,

:•乙ADP="DP,AP=OP,

*：Rt△EDQ=RtXADQ,

:.乙EDQ=乙4DQ,QE=AQ,

：.^ADQ+AADP=Z.EDQ+乙PDO=^EDO=45°,

：.^PDQ=45°

YPQ=AQ+AP,AQ=EQ,AP=OP,

：.PQ=EQ+OP.

〔3〕当尸是。尸中点时，四边形A尸50是矩形,

1

：.0P=PF=-0F

2

由(2)得4P=OP,

XVXB=OF,

：.AP=-AB,

2

；・0P=PF=AP=PB,

・••四边形ZFB。是平行四边形，

9：AB=OF,

：.团4FB。是矩形，

设点。的坐标为(一6,瓶)，

那么QF=m,QE=6—m,0P=PF=3,

在中：由勾股定理得，QF2+FP2=QP2,

m2+32=(9—m)2,

解得：m=4,

・・・Q(—6,4).

8.12022•辽宁辽宁•二模)如图，在△/OB与△C。。中，。4=。8,OC=OD,^AOB=^COD=90°.

(1)如图1,点C,。分别在边。4OB上，连接2D,BC,点M是线段BC的中点，连接。M,直接写出线段力。与

0M之间的数量关系；

(2)如图2,将图1中的△COD绕点。逆时针旋转，使△COD的一边0D恰好与AAOB的边。4在同一条直线上

时，点C落在。B上，点M为线段BC的中点，确定力D与。M之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将图1中的△绕点0逆时针旋转，旋转角为a(0。<a<90°),连接AD,8C,点M为线段BC的

中点，连接。M,确定AD与。M之间的数量关系，并证明.

【思路点拨】

(1)证明△4。。SABOC,然后依据点M为线段BC的中点即可得出结论；

(2)延长DC交2B于点E,连接ME,过点E作EN14。于点N,证明出四边形ONEM为矩形，即可得出结论；

(3)延长B。至I点尸，使F0=B0,连接CF,得到。M与CF的数量关系.

【解题过程】

⑴解：'：0A-OB,OC=OD,"OB="。0=90。，

/.△AODBOC,

：.AD=BC,

又M是BC的中点，且/8OC=90。，

11

OM=MC=BM=-BC=-AD,

22

故4。=2OM,

故答案为：AD=20M

(2)20=20M,理由如下：

如以下图所示，延长OC交43于点E,连接ME,过点E作EN,40于点N,

'：0A=OB,OC=0D,L.AOB=/.COD=90°,

：.^A==AB=乙BCE=乙DCO=45°,

：.AE=DE,BE=CE,£.AED=90°,

:・DN=AN,

：.AD=2NE,

•・・时为8。的中点，

：.EM1BC,

・•・四边形。NEM是矩形.

：.NE=OM,

：.AD=20M.

(3)ZD=2OM,理由如下：如图.

延长8。到F,使FO=B。，连接C尸,

为的中点，。为的中点，

・・・M。为的中位线，

：.FC=20M,

V/LAOB=2LAOF=Z.COD=90°,

：.^LAOB+乙BOD=Z.AOF+^AOC,即4/。。=乙FOC,

在△ZOO和△FOC中，

(OA=OF

\^AOD=(FOC

(OC=OD

：.△AOD=AFOC(S71S),

：.FC=AD,

：.AD=2OM,

9.[2022•陕西渭南•八班级期中)AABC中，AB=AC,乙4BC=60。，点尸为射线AO上任意一点(点产

与点A不重合).连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段C。，连接。B并延长交直线于

点E.

(1)如图1,当N£MC=90。时，试猜测BC与QE的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,当ND4c=120。，N4CP=15。时，点E恰好与点A重合，假设2C=6,求2。的长.

【思路点拨】

〔1〕依据等边三角形的性质得=4C,乙4cB=60。，再依据旋转的性质得PC=CQ,APCQ=60°,那

么乙BCQ=^ACP,依据“SAS"可证明AacpWABCQ,即可得出NCBQ=NC4尸=90°;

〔2〕依据〔1〕可证明A4CP三ABCQ得到2P=BQ,由ND4C=120。，ZACP=15°,得到为等腰直

角三角形，在放△AS中可求出AH、CH,继而可求出的长，可得出结论.

【解题过程】

〔1)解：结论：BC1EQ；

理由如下：如图1,设QE与CP的交点记为

"：AB=AC,"80=60。，

...△4BC是等边三角形，

：.AC=CB,^ACB=AABC=60°,

由旋转的性质得：PC=CQ,且NPCQ=60°,

:.乙PCQ=4ACB,

：.乙PCQ-/-BCP=/.ACB-/.BCP,

即乙BCQ=乙4cP,

那么在△。。8和4CPA中，

PC=QC

Z.BCQ=匕ACP,

AC=BC

：.△CQB=^CPASSAS),

:.乙CBQ=ACAP,

U：Z.CAP=90°,

工乙CBQ=90°,

：.BC1.EQ；

(2)解：作CH_LAO于H,如图2,

Q

*：AB=AC,^ABC=60°,

**•△是等边三角形，

：.AC=CB,乙ACB=乙ABC=60°,

,:PC=CQ,且乙PCQ=60。,

：.Z-PCQ=乙ACB,

：ZPCQ-Z-BCP=Z.ACB-乙BCP,

即NBCQ=乙4CP,

在^CQB和^CPA中，

PC=QC

乙BCQ=Z.ACP,

AC=BC

：.△ACP=LBCQ

：.AP=BQ,

\9Z.DAC=120°,Z.ACP=15°,

C./-APC=45°,/LPCB=45°,

：.^HAC=60°,

APCH为等腰直角三角形,

在RdAC”中，^HAC=60°,AC=6,

'.AH=-AC=3,

2

CH=V3AH=3V3,

在RmPHC中，PH=CH=3V3,

：.PA=PH-AH=3V3-3,

：.BQ=3V3-3.

10.〔2022•全国•九班级专题练习）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，^ACB=ADCE=90°,AC=BC,

CD=CE.

(1)【观看猜测】当AABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接B。、AE,延长8。交AE于点?猜测

线段8。和AE有怎样的数量关系和位置关系.

(2)【探究证明】如图2,将AOCE围着点C顺时针旋转肯定角度a((T<a<90。)，线段和线段AE的

数量关系和位置关系是否仍旧成立？假如成立，请证明：假如不成立，请说明理由.

(3)【拓展应用】如图3,在△AC。中，乙4DC=45。，CD=立,AD=4,将AC围着点C逆时针旋转90。

至BC,连接求8。的长.

【思路点拨】

〔1〕通过证明△BCDWA4CE,即可求证；

〔2〕通过证明△BCDWA4CE,即可求证；

〔3〕过点C作CH1CO,垂足为C,交A£)于点依据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理,

即可求解.

【解题过程】

⑴BD=AE,BD1AE,

证明如下：在△BCO和△4CE中,

•・•乙ACB=Z.DCE=90°,AC=BC,CD=CE,

BCD=△ACE»

BD=AE,Z-CBD=Z.CAE,

•・•乙ACB=90°,

・•・乙CBD+乙BDC=90°,

•••Z-BDC=Z-ADF,

・•・/,CAE+Z.ADF=90°,

••・BD1AE；

⑵成立，理由如下:

'Cz-ACB=乙DEC,

：.Z.ACB+AACD=(DCE+乙ACD,^Z,BCD=Z.ACE,

在△BCO和△ZCE中，

'：AC=BC,(BCD=/.ACE,CD=CE,

△BCD=△ACE,

：.BD=AE,Z.CBD=Z.CAE,

•:乙BGC=/-AGF,

:•乙CBD+乙BGC=Z.CAE+"GF,

V^LACB=90°,

，乙CBD+乙BGC=90°,

：.Z-CAE+^AGF=90°,

：.Z.AFB=90°,

：.BD1AE；

(3)如图，过点C作CH，CO,垂足为C,交AO于点〃,

由旋转性质可得：乙4cB=90。，AC=BC,

VCH1CD,

:,乙DCH=90°,

,：Z.ADC/-CHD=90°,且NZOC=45。，

;•乙CHD=45°,

:•乙CHD=/.ADC,

：.CD=CH=&,

22

J(V2)+(V2)=2,

VZ-ACB=(DCH=90°,

^ACB+Z.ACH=乙DCH+/-ACH,^Z,ACD=乙BCH,

在△4C0和△BC”中，

'：AC=BC,^ACD=Z.BCH,CD=CH,

MACD=^BCH,

：.BH=AD=4,乙CBH=LDAC,

:,乙CBH+Z1=乙DAC+Z2,

Vz/ICB=90°,

工乙CBH+乙1=90°,

AZ.DAC+^.2=90°,

：.Z,BHA=90°,

：.BHlADf

•••△8”。是直角三角形，在中，BD=y/BH2+DH2=<42+22=2V5.

11.〔2022•全国•九班级专题练习)如图，四边形ABC。是正方形，△ECT为等腰直角三角形，/ECF=90。,

点E在5C上，点厂在CD上，尸为■中点，连接ARG为A/中点，连接尸G,DG,将R3EC/绕点C

顺时针旋转，旋转角为a[0°<a<360°).

图1图2

(1)如图1,当a=0。时，0G与PG的关系为；

(2)如图2,当a=90。时

①求证：4AGD乌AFGM；

②11)中的结论是否成立？假设成立，请写出证明过程；假设不成立，请说明理由.

【思路点拨】

〔1〕先推断出AABEWA4DF,得出/.DAF=Z.BAE,再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一

半和三角形中位线定理、三角形外角和定理，即可得出结论；

〔2〕①先推断出/D4G=/MFG,再推断出4F=FG,即可得出结论；

②由①知，4A6D=4FGM,得DG=MG,4D=FM=BC得出CM=CF,依据题〔1〕DE=CE,得出CM=

DE,^6.ADE=^DCM,得AE=DM.又依据点G是DM的中点，PG是AdEF的中位线，等量代换得DG=

PG.依据△ADE=△DCM^Z.DAE=乙CDM,S.Z.EDA=4EDN+Z.ADN=90°,推出Z_2ND=90°,又依

据PGII4F,同旁内角互补，得乙NGP=90°,即DG1GP.

【解题过程】

(1)解：.四边形A8C。是正方形

:.乙B=^ADC=90°,AB=BC=AD=CD

:△EC尸为等腰直角三角形

CE=CF

：.CE=CF,BE=DF

：.△ABE三&ADF

：.AE=AF,/.DAF=Z.BAE

•.•点G是4尸的中点

1

：.DG=-AF

2

：.DG=-AE

2

为EF中点，G为AF中点

，PG是△力的中位线

：.PG=^AE,PGWAE

：.DG=PG,4FAE=4FGP

又：在ZMDF中DG=AG=GF

：.ADAF="IDG且N£MF+Z.ADG=乙DGF

：.2乙DAF=4DGF

'：ADAF+^FAE+Z.EAB=90°

Z.2ADAF+Z.FAE=90°

：.^DGF+^FAE=90°

:.乙DGF+乙FGP=90°

：.DG1GP

故DG=PG且DG1GP.

故答案是：DG=PG且DGLGP；

⑵

①证明：：四边形ABCD是正方形，^DAG=AMFG

：.AD\\BC

•.•点G是4F的中点

：.AG=FG

.•.在△4GD和AFGM中

/.DAG=4MFG

{AG=FG

AAGD=NFGM

，△AGD=△FGMQ4S4)

解：②[1)中的结论。G=PG且。G1GP成立

证明：由①知，XAGD三XFGM

：.DG=MG,AD=MF=BG

1

：.BM=CF=-BC

2

CM=CF

'：DE=CF

：.CM=DE

又TAD=CD,Z,ADE=乙DMC=90°

A△ADE=^DCM

：.AE=DM,乙DAE=CCDM

•・,点G是DM的中点

ii

：.DG=MG^-DM=-AE

22

又为EF中点，G为4F中点

，PG是△AEF的中位线

：.PG=|XF,PG\\AF

：.DG=PG

又,：乙EDA=乙EDN+乙ADN=90°

A/.DAE4-/.ADN=90°

:.乙AND=90°

."ENG=90°

又：PG||力F

:.乙ENG+乙NGP=180°

，乙NGP=90°

：.DG1GP

故DG=PGS.DG1GP.

12.12022•北京•九班级专题练习）如图，等腰RtZkABC中，NBAC=90。,48=AC,点P为射线8c上一

动点1不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转a角，得到线段尸。，连接AP、BQ、M

为线段8。的中点.

(1)假设点尸在线段BC上，且M恰好也为AP的中点,

①依题意在图1中补全图形：②求出此时a的值和器的值；

(2)写出一个a的值，使得对于任意线段延长线上的点尸，总有色的值为定值，并证明；

【思路点拨】

〔1〕①由题意，画出图形即可；②连接AQ,证四边形是平行四边形，得AB=PC,再依据△力BC是

等腰三角形即可求解.

〔2〕令a=90°,延长PM至N,使得MN=PM,连接BN、AN、QN,证四边形8N。尸是矩形，依据乱4s证

AACP=AABN,得出A4VP为等腰直角三角形，即可求解.

【解题过程】

②连接A0，如下图,

为AP、8。的中点,

：.AM=PM,BM=QM,

/.四边形ABPQ是平行四边形,

：.AB=PQ,AB//PQ,

：.a=Z-QPC=乙48c=45°,

,:PC=PQ,

：.AB=PC,

・・・△ABC为等腰直角三角形,

AB：AC：BC=1:1：V2,

PCPC

⑵a=90。,

延长PM至N,使得MN=PM,连接BN、AN、QN,

如下图：

为线段8。的中点，

：.BM=QM,

又,：MN=PM,

二四边形BNQP是平行四边形，

XVZCPe=90°,

.••四边形BN。尸是矩形，

BN//PQ,BN=PQ,

.­.乙NBP=180°-a=90°,

・・・△48C为等腰直角三角形，

•••LABN=45°+90°=135°,zACP=180°-45°=135o,即N4CP=N4BN,

又AB=AC,

：.^ACP=LABN{SAS},

：.AN^AP,/.CAP=Z.BAN,

.­.4CAP+乙CAN=4BAN+4CAN,即ZJV4P=/.BAC=90°,

即△力NP为等腰直角三角形，

AP_y/2

PN2

1

又•；PM=-PN,

2

即需的值为定值,

当a=90。时，言的值为定值.

13.12022•山东烟台•九班级期中）如图，正方形ABCD中NP2Q分别交BC,CD于点、E,F,连接EF.

(1)如图①，假设N1=28°,Z2=73°,试求N3的度数；

(2)如图②，以点A为旋转中心，旋转4PAQ,旋转时保持NP4Q=45。.当点E,尸分别在边BC,CZ)上时,

AE和A尸是角平分线吗？假如是，请说出是哪两个角的平分线并赐予证明；假如不是，请说明理由；

(3)如图③，在②的条件下，当点E,尸分别在2C,C。的延长线上时，②中的结论是否成立？只需答复结

论，不需说明理由.

【思路点拨】

〔1〕延长。H至点“，使DH=BE,连接4”.先证明△ABEgZXAOH,再证明△阴Eg/XRiH,即可得解;

〔2〕延长。〃至点〃，使DH=BE,连接AH.同〔1〕可证△ABE@△AOH,在证△M£1g/\刑”即可得

解；

〔3〕在BC上取一点M,使得BM=DF,连接AM,设AE与FC交于点N,连接MN,先证明△ABM^/\ADF,

再设法证明△A—Vg/vlMN,即可证明ANPE四△凡•,那么有/FEN=/MEN,结论得证.

【解题过程】

解：(1)延长。”至点H,使DH=BE,连接A”,

:四边形ABC。为正方形,

：.AB=AD,ZB=ZADC=90°,

：.ZB=ZADH=90°,

：/2=73°,

・•・ZBAE=90°-Z2=17°,

在和△AOH中，AB=AD,Z.B=^ADH=90°,BE=DH,

：.AABE^AADH,

：.AE=AHfZ2=ZH=73°,NBAE=NDAH=17。,

：.NHAF=ZDAH+Z1=17。+28。=45°,

*/ZEAF=90°~Z1-ZBAE=45°,

:・NEAF=NHAF,

又・：AE=AH,AF=AFf

：/=/AFH,

ZAFH=90。一N1=90。-28。=62。，

・・・N3=62。；

(2)AE是N尸防的平分线，A尸是NEED的平分线，

理由：延长OH至点"，使DH=BE,连接AH,

同(1)可证△ABE也△AO”,

：.AE=AH,ZAEB=ZH,N1=N4,

VZ2=45°,

AZ1+Z3=90°-Z2=45°,

・•・Z4+Z3=90°-Z2=45°,

即NHA/=45。，

：./2=/HAF,

XVAE=AH,AF=AF,

AZAFE=ZAFH,NAEF=NH,

：.NAEB=/AEF,

・・・AE平分/尸M,Ab平分NET。；

(3)AE仍旧是NFEB的平分线，A厂不是NEFD的平分线，

理由如下：在5C上取一点M,使得3M=。尸，连接40,设AE与尸C交于点N,连接MN,如图,

•：BM=DF,AB=AD,ZABM=ZADF,

：.AABM^AADF,

：.ZMAB=ZDAF9AF=AMf

'：ZBAM+ZMAD=90°,

：.ZM£>+ZMAD=90°,

ZMAF=90°,

ZME=45°,

JZE4M=90°ZE4E=45°,

・•・/FAN=/MAN,

9：AF=AM,AN=AN,

：.△AFNmAAMN,

:・/FNA=/MNA,FN=MN,

：.ZFNE=180°ZFNA=180°ZMNA=ZMNE,

•:EN=EN,

：.ANFE咨ANME,

：./FEN=/MEN,

：.AE平分/FEB,

通过对图形的观看可以明显发觉，AF不是的平分线.

即结论得证.

14.12022•河南南阳•三模)【发觉神秘】

BCBC

备用图1备用图2

(1)如图1,在等边三角形力BC中，4B=2,点E是△力BC内一点，连接4E,EC,BE,分别将AC,EC绕点C顺

时针旋转60。得到DC,FC,连接2D,DF,EF.当8,E,F,。四个点满意______时，BE+4E+CE的值最小,

最小值为.

【解法探究】

(2)如图2,在AaBC中,NACB=90。,AC=BC,点P是AABC内一点，连接PA,PB,PC,恳求出当P4+PB+PC

的值最小时ABCP的度数，并直接写出此时PAP8:PC的值.〔提示：分别将PC,4C绕点C顺时针旋转60。

得到DC,EC,连接PD,DE,4E)

【拓展应用】

(3)在△力BC中，N4C8=90°,ABAC=30°,BC=2,点