专题13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.15等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】模型1:角平分线+平行线→等腰三角形模型2:角平分线+垂线→等腰三角形模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形模型5:等边三角形中含定角问题模型6:等边三角形中含“手拉手”模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形模型8:倍长中线构造等腰三角形题型目录【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................4【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............4【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形..............5【题型5】等边三角形中含定角问题.......................................6【题型6】等边三角形中含“手拉手”.....................................7【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形..................................8【题型8】倍长中线构造等腰三角形.......................................9【题型9】拓展延伸.....................................................9第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则．

【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则cm．【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，，若，则的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，平分且于E，，若，的周长为20，则的长为．【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（

）

A． B． C． D．【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的大小为．

【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（）A．个 B．个 C．个 D．个【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长度．【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形．【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（

）个.A．2 B．3 C．4 D．5【题型5】等边三角形中含定角问题【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数．【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E分别是等边三角形的两边上的点，且.（1）求证：；（2）求的度数.【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（

）①；②；A．① B．② C．①② D．都错【题型6】等边三角形中含“手拉手”【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．

（1）求证：（2）求的度数【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是．【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是．【题型7】倍半角→等腰三角形【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点．（1）已知，求证：．下面是两位同学分享的思路：小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．请你选择一种思路，完成证明（2）已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，分别为的高，角平分线，下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是．【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD是的中线，是AD上一点，交于，若，，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为．

第三部分【拓展延伸】【题型9】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④．其中正确的是

【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F．（1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明；【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：（2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由；（3）已知线段，是否存