专题12.19 角平分线相关的几何模型（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题12.19角平分线相关的几何模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【模型归纳】【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形【基本条件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分别为M、N，如图1.

【模型结论】Rt∆POM≅Rt∆PON

图1【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形）【基本条件】OP平分AOB，CDOP，垂足为P，如图2.

【模型结论】Rt∆POC≅Rt∆POD.

图2【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形【基本条件】OP平分COD，PC=PD.

【模型结论】∆POC≅∆POD.

图3【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形【基本条件】OP平分MON，AB//ON.

【模型结论】∆AOB为等腰三角形.

图4第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形【例1】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G．（1）试说明：．（2）猜想之间的数量关系，并说明理由．【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【变式2】（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为．

【题型2】角平分线+垂线=全等三角形【例2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，若，则（1）；（2）的周长是．【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形【例3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，．求证：是的平分线．小星的解答如下：证明：在和中，∵，，，∴……第一步∴……第二步∴是的平分线．……第三步（1）小星的解答从第步开始出现错误；（2）请写出你认为正确的证明过程．【变式1】（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，在中，平分交于点D，在上截取，则的周长为(

)A．9 B．8 C．7 D．6【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则．

【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形【例4】（2024·广西·一模）如图，已知，平分．（1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）（2）求证：．【变式1】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④其中正确的是（）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【变式2】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线，根据小星同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（

）

A． B． C． D．【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：

（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；（3）作射线交直线于点；若，则度．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．（1）求证：平分（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”