数学模块综合测评（A）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精模块综合测评（A)（时间：120分钟,满分：150分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．如下图，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（)2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于（）ξ－124Peq\f(1,5)eq\f(2，3）p1A．0B．eq\f(2,15)C．eq\f（1,15）D．13．若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数（）A．r＝1B．r＝－1C．r＝0D．无法确定4．独立检验中，假设H0:变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下,P（K2≥6。635）＝0.010表示的意义是()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99。9％C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%5．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，第一次摸出1个白球后放回，则再摸出1个白球的概率是（）A．eq\f（2，3）B．eq\f（1，4)C．eq\f（2，5）D．eq\f(1，5）6．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E（X）＝（)A．eq\f（126,125)B．eq\f（6，5）C．eq\f（168，125）D．eq\f（7，5）7．已知离散型随机变量X等可能取值1，2,3,…，n，若P（1≤X≤3）＝eq\f(1，5)，则n的值为（）A．3B．5C．10D．158．下表是某厂1~4月份用水量(单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是eq\o(y，\s\up6(^）)＝－0。7x＋a，则a等于（）A．10.5B．5。15C．5.2D．5.259．设两个变量x和y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反10．某学校4位同学参加数学知识赛,竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分,答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分，若4位同学的总分为0，则这两位同学不同得分情况的种数是（)A．24B．36C．40D．44二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分,共25分，将正确答案填在题中横线上)11．3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员,若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上)，则不同的选聘方法种数为__________．(用具体数字作答）12．（1－x2）20的展开式中,若第4r项和第r＋2项的二项式系数相等,则r＝________.13．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数"，那么在由1,2，3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数"共有________个．14．某市居民2009～2013年家庭年平均收入x(单位：万元）与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20092010201120122013收入x11.512。11313。315支出Y6。88.89.81012根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．15．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表．若已求得它们的回归直线方程的斜率为6。5,则这条回归直线的方程为________________。x24568y3040605070三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（12分)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据:施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480（1）将上述数据制成散点图;（2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？18．（12分）已知eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r（x）＋\f(1，\r（3,x)）））2n展开式的二项式系数之和比（x＋y）n展开式的所有项系数之和大240。(1）求n的值；（2）判断eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（x)＋\f(1，\r(3,x)）））2n展开式中是否存在常数项？并说明理由．19．（12分)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65)［65,70）[70，75)[75,80）频数30402010表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65）［65，70)［70,75）[75，80）［80，85）频数1025203015完成下面2×2列联表,并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异"．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2总计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝总计n＝20．（13分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号,另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．21．(14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球,且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出蓝球得3分．（1）当a＝3,b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ分布列;（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝eq\f（5,3），D（η）＝eq\f(5，9)，求a∶b∶c.

参考答案一、1．解析:题图A中的点不成线性排列,故两个变量不适合线性回归模型．答案:A2．解析：由分布列性质得eq\f（1,5）＋eq\f(2，3)＋p1＝1。解得p1＝eq\f（2,15).答案:B3．解析：∵eq\o(b,\s\up6（^））＝eq\f（\o（∑,\s\up6（n），\s\do4(i=1))xi－\x\to（x)yi－\x\to（y）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xi－\x\to(x)2）＝0，∴eq\o（∑，\s\up6（n),\s\do4（i=1））（xi－eq\x\to（x）)（yi－eq\x\to(y))＝0。∴相关系数r＝eq\f(\o（∑，\s\up6（n),\s\do4（i=1))xi－\x\to(x）yi－\x\to（y）,\r(\o(∑,\s\up6(n）,\s\do4(i=1））xi－\x\to(x）2·\o(∑,\s\up6（n)，\s\do4(i=1）)yi－\x\to（y）2))＝0.答案：C4．解析：由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01,即认为变量X与Y有关系的概率为99%.答案：D5．解析：由于是有放回摸球,所以第二次摸出1个白球,与第一次摸出白球无关,即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为eq\f（2,5)。答案:C6．解析：用分布列解决这个问题,根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下X0123ξeq\f（27,125)eq\f（54,125)eq\f（36,125)eq\f(8,125)所以E（X)＝0×eq\f（27,125）＋1×eq\f(54，125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8，125)＝eq\f(150,125）＝eq\f（6，5).答案：B7．解析：由已知X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,n),k＝1，2，3，…,n，所以P（1≤X≤3）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P(X＝3)＝eq\f(3，n)＝eq\f(1,5）,n＝15.答案：D8．解析:eq\x\to（x)＝2。5,eq\x\to(y)＝3.5，∵回归直线方程过定点(eq\x\to(x）,eq\x\to(y）)，∴3。5＝－0。7×2。5＋a，∴a＝5。25。故选D.答案:D9．解析：因为b＞0时,两变量正相关，所以r＞0;b＜0时,两变量负相关，所以r＜0.答案:A10．解析：分以下4种情况讨论:①两位同学选甲题,一人答对一人答错，另外两位同学选乙题作答，一人答对一人答错，此时不同得分情况有Ceq\o\al(2，4)×2×2＝24种．②四位同学都选择甲或乙题作答，两个答对,另两个答错，此时不同得分情况共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al（2，4)＝12种．③一人选甲题且答对，另外三人选乙题作答并且全答错，此时不同得分情况有Ceq\o\al(1，4)＝4种．④一人选甲题且答错，另外三人选乙题作答且全答对，此时不同得分情况有Ceq\o\al（1，4)＝4种．综上所述，不同得分情况共有24＋12＋4＋4＝44种．答案：D二、11．解析：当4名大学毕业生全选时有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1，3)，A\o\al(2，2)）·Aeq\o\al(3,3），当选3名大学毕业生时有Aeq\o\al（3，4），即不同的选聘方法种数为eq\f（C\o\al（1,4)C\o\al（1,3)，A\o\al（2，2）)·Aeq\o\al(3，3)＋Aeq\o\al（3,4）＝60。答案：6012．解析：由题意知Ceq\o\al（4r－1，20)＝Ceq\o\al（r＋1,20），∴4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，因为r∈Z，所以r＝4.答案：413．解析：由题意知，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况．当有三个1时:2111，3111,4111，1211,1311,1411，1121,1131，1141，共9种．当有三个2，3，4时，2221，3331,4441，此时有3种情况．由分类计数原理,得“好数”共有9＋3＝12个．答案：1214．解析：中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当平均收入增多时，年平均支出也增多,因此两者之间具有正线性相关关系．答案：13正15．解析:由数据表得eq\x\to（x)＝5，eq\x\to（y）＝50，所以eq\o（a，\s\up6（^））＝eq\x\to（y)－6。5eq\x\to（x)＝17。5，即回归直线方程为eq\o(y,\s\up6（^）)＝17.5＋6.5x.答案:eq\o(y,\s\up6(^))＝17.5＋6。5x三、16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…,13）．根据题意，P(Ai）＝eq\f（1，13).（1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B＝A5∪A8，所以P(B）＝P(A5∪A8)＝P（A5)＋P（A8）＝eq\f(2,13）。（2）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P（X＝1）＝P（A3∪A6∪A7∪A11）＝P（A3)＋P（A6）＋P（A7）＋P（A11)＝eq\f（4,13)，P（X＝2）＝P（A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P（A13)＝eq\f(4，13)，P(X＝0）＝1－P（X＝1)－P(X＝2)＝eq\f（5,13)，所以X的分布列为X012Peq\f（5，13)eq\f（4,13）eq\f（4,13)故X的数学期望E(X）＝0×eq\f(5，13)＋1×eq\f(4，13）＋2×eq\f（4,13）＝eq\f(12，13）.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17．解：(1）散点图如下(2）①从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系,当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．②不会,水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．18．解:(1）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r(x）＋\f(1,\r(3,x))))2n展开式的二项式系数之和等于22n。（x＋y）n展开式的所有项系数之和为2n.∴22n－2n＝240.∴n＝4.（2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f（1,\r(3,x））)）2n＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(x)＋\f（1,\r(3，x））))8，展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al（r，8）·(eq\r(x））8－r·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3，x）)))r＝Ceq\o\al(r,8)·.令24－5r＝0，r＝eq\f（24,5），不是自然数，∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r(x）＋\f(1，\r（3,x)))）2n展开式中无常数项．19．解：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2总计注射药物Aa＝70b＝30100注射药物Bc＝35d＝65100总计10595n＝200由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝eq\f(200×70×65－35×302,100×100×105×95)≈24.561＞10.828.因此,有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．20．解：(1)设事件A表示观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手．观众甲选中3号歌手的概率为eq\f（2,3),观众乙未选中3号歌手的概率为1－eq\f（3,5).所以P（A）＝eq\f(2，3）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(3，5）)）＝eq\f(4,15).因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为eq\f（4,15).（2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2，3。观众甲选中3号歌手的概率为eq\f(2，3)，观众乙、丙选中3号歌手的概率为eq\f（3，5）。当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X＝0，P（X＝0）＝(1－eq\f（2，3）)×（1－eq\f(3,5))2＝eq\f（4,75).当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X＝1，P（X＝1)＝eq\f（2，3)×(1－eq\f（3,5）)2＋(1－eq\f(2,3）)×eq\f（3,5)×（1－eq\f(3，5））＋(1－eq\f（2，3))×（1－eq\f(3，5))×eq\f（3,5）＝eq\f(8＋6＋6,75）＝eq\f(4,15）.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X＝2,P（X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f（3,5)×(1－eq\f(3，5))＋(1－eq\f（2，3）)×eq\f(3,5）×eq\f（3，5）＋eq\f（2,3）×(1－eq\f（3,5））×eq\f(3，5）＝eq\f(12＋9＋12，75）＝eq\f（11，25）.当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X＝3，P(X＝3）＝eq\f（2，3)×（eq\f（3，5）)2＝eq\f(6,25）.所以X的分布列为X0123Peq\f(4，75)eq\f（4,15)eq\f（11,25）eq\f(6，25)E（X）＝0×eq\f（4,75)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(11,25)＋3×eq\f(6,