2024-2025学年成都市树德中学高二数学上学期中考试卷附答案解析

-2025学年成都市树德中学高二数学上学期中考试卷时间：120分钟满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分．1.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（）A. B. C. D.2.直线倾斜角是A. B. C. D.3.某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（）A. B. C. D.4.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.5.如图,二面角等于,是棱上两点,分别在半平面内,,,且则的长等于（）A.4 B. C. D.6.在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）A.对任意的，存在点，使得B.当且仅当时，存在点，使得C.当且仅当时，存在点，使得D.当且仅当时，存在点，使得7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.8.已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A.12 B.10 C.8 D.25二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.直线方程为，若在轴上的截距为，且.则下列说法正确的是（）A.直线与的交点坐标为2,1，直线在轴上的截距是B.已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，的方程为C.已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为D.直线，，若，则或210.如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（

）A.环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B.环比涨跌幅的平均数为0.1%C.环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D.同比涨跌幅的上四分位数为1.55%11.如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（）A.当，，时，对任意点，都有三棱锥的体积为定值B.当，，时，存在点，使得C.当，，时，存在唯一点，使得D.当时，的最小值是三、填空题；：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________．13.如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则_______________.14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；（2）判断事件与是否相互独立，并证明.16.如图所示，平行六面体中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．17.在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．（1）求证：；（2）当二面角余弦值为时，（ⅰ）求三棱锥的体积．（ⅱ）直线与面所成角的余弦值．18.《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.质量指标产品6010016030020010080（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（2）设x表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？19.在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．（1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；（3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．2024-2025学年成都市树德中学高二数学上学期中考试卷时间：120分钟满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分．1.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为，所以，所以，所以在基底下的坐标为.故选：A2.直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，取得直线的斜率，进而可求得倾斜角，得到答案．【详解】由题意得，故倾斜角为.故选B.【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方差为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.【详解】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为，高三（2）班抽取的人数为，设高三（1）班（6人）答对题目数依次为，高三（2）班（4人）答对题目数依次为，由题意可得：，可得，则这10人答对题目的平均数，这10人答对题目的方差.故选：D.4.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将该几何体补成一个直四棱柱，连接，则（或其补角）是异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形.连接，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.设1，则，所以.故选：D.5.如图,二面角等于,是棱上两点,分别在半平面内,,,且则的长等于（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长.【详解】由二面角的平面角的定义知,,由,,得,,,,所以,即．故选：A．6.在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）A.对任意的，存在点，使得B.当且仅当时，存在点，使得C.当且仅当时，存在点，使得D.当且仅当时，存在点，使得【答案】C【分析】若存在点，使得，则必有，且由题设条件易得平面,得到,再通过△∽△即可求得的范围.【详解】连接，在四棱柱中，因为平面，所以平面，则,又由底面正方形，得，所以平面，得.若存在点，使得，则平面,得,则△∽△，得，即，所以故选：C.7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由定义得出两平面的法向量，利用数量积公式求出法向量的夹角余弦，利用同角三角函数的关系求出其正弦即可选出正确答案【详解】由题意，因为平面的方程是，所以法向量由平面的方程是，所以法向量，所以cos<所以sin<故选：A.8.已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A.12 B.10 C.8 D.25【答案】D【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以即得,所以,因为，都是正实数，所以.当且仅当时，取最小值25.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.直线的方程为，若在轴上的截距为，且.则下列说法正确的是（）A.直线与的交点坐标为2,1，直线在轴上的截距是B.已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，的方程为C.已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为D.直线，，若，则或2【答案】AC【分析】求出直线方程，解出两直线交点判断A，根据截距的关系求出直线方程判断B，根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解判断C，根据直线平行求出再检验即可判断D.【详解】由，可知，由在轴上的截距为知过点，所以直线的方程为，即，对A，联立，解得，即直线与的交点坐标为2,1，由可得，即直线在轴上的截距是，故A正确；对B，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点2,1可得，所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误；对C，由题意过2,1点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和2,1连线所在直线垂直，故所求直线的斜率为，所以直线为，即，所以到距离为，故C正确；对D，因为，所以，解得或2，当时，直线与平行，当时，直线与重合，故D错误.故选：AC10.如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（

）A.环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B.环比涨跌幅的平均数为0.1%C.环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D.同比涨跌幅的上四分位数为1.55%【答案】AC【解析】【分析】根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解.【详解】选项A中：环比涨跌幅的极差为，同比涨跌幅的极差为，因为，所以A正确；选项B中：环比涨跌幅的平均数为，所以B错误；选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；选项D中：同比涨跌幅的上四分位数为，所以D错误.故选：AC.11.如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（）A.当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值B.当，，时，存在点，使得C.当，，时，存在唯一点，使得D.当时，的最小值是【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A，判断点在直线上，利用棱锥体积公式判断即可；对于B，先利用空间向量夹角余弦公式判断cosBP,BC>cosBP,BA，即可求解；对于C，利用列方程，判断方程是否有解即可；对于【详解】建立如图所示直角坐标系，取为中点，交于点，以，，，，，，由，所以，，即，当时，则，故，点在直线上，所以点到直线距离为1，三角形面积为，又因为到平面的距离为，所以是定值，故A正确；当时，则，则，，因为，故cosBP,BC>cos即不存在点，使得，故B错误；当时，则，若，则，解得或，又因为，故存唯一点使得，故C正确；若时，则四点共面，当与平面垂直时，的最小，利用等体积法，则，则可求解到的距离为，，则，则的最小值为，故D错误.故选：AC.三、填空题；：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程.【详解】，直线的方程为，由解得，设，依题意，的平分线为直线，由正弦定理得，由于，由此整理得,则，设，则，整理得，解得或（舍去），则，，直线的方程为.故答案为：13.如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则_______________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的线性运算得到，再利用空间四点共面的性质即可得解.【详解】依题意，设，则，，，由为底面中心，，又因为四点共面，所以且，所以，即，即.故答案为：.14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18，19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；（2）判断事件与是否相互独立，并证明.【答案】（1）不正确；理由见解析；（2）事件与不相互独立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出摸球的所有情况，利用古典概率求解，比较即可判断；（2）利用独立事件的判定方法进行判断.【小问1详解】两人摸出球的所有情况：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12种；事件包含的情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6种；事件包含的情况有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6种；所以，故小明的判断不正确.【小问2详解】事件包含的情况有：（1,2），（2,1），故；因为，；所以事件与不相互独立.16.如图所示，平行六面体中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量线性运算与夹角公式计算即可得.【小问1详解】，则，所以.【小问2详解】由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.17.在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．（1）求证：；（2）当二面角的余弦值为时，（ⅰ）求三棱锥的体积．（ⅱ）直线与面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）【分析】（1）作，证得平面，得到，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；（2）（ⅰ）以为原点，建立空间直角坐标，设，由，得到，求得，再求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程求得点的坐标，根据棱锥的体积公式，即可求解.（ⅱ）根据线面角的向量法求解得出线面角正弦值，再由同角三角函数的平方关系得出余弦值.【小问1详解】作交于，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，且平面，所以，又因为，，且平面，，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】（ⅰ）以为原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标，如图所示，则，设，因为，所以，因为，所以，即，又由，设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，又因为为平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，因为，解得（舍去）或，所以点或，即点到平面的距离为.所以三棱锥的体积为.

（ⅱ）当点时，,又平面的一个法向量，设直线与面所成角，则，所以，当点时，同理可得，综上，直线与面所成角的余弦值为.18.《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.质量指标产品6010016030020010080（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（2）设x表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；（ⅱ）以晋级复赛概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？【答案】（1）61，241；（2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.（3）（ⅰ），（ⅱ）乙更容易晋级复赛【解析】【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.（3）（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可；（ⅱ）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.【小问1详解】由题，可知．．【小问2详解】由知，，则，，该抽样数据落在内的频率约为；又，，该抽样数据落在内的频率约为，∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．【小问3详解】（ⅰ）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，第一