线性系统的数学模型

第二章线性系统的数学模型

描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。★描述控制系统的输入－输出变量数学模型:微分方程、传递函数、方框图、频率特性★描述控制系统的内部变量数学模型：状态空间说明◆要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统的数学模型；◆一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不同，得到的数学模型也不同。§2－1微分方程

主要内容§2－2传递函数§2－3典型环节的传递函数及动态响应§2－4电气网络的运算阻抗与传递函数§2－5方框图§2－5反馈控制系统的传递函数

§2－1微分方程

对于线性定常系统,可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如a0dnc

(t)/dtn+a1dn-1c

(t)/dtn-1+…＋anc

(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t)c(t):

系统的输出；r(t):

系统的输入；a0……an;b0……bm

均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且n为系统的阶数，n≥m。建立微分方程的一般步骤(1)确定输入量和输出量；(2)增设中间变量，围绕输入量、输出量及中间量，列微分方程组。(3)消去中间变量，整理出只含有输入量和输出变量及其各阶导数的微分方程；(4)标准化，将输出量及其各阶导数放在等号左边，将输入量及其各阶导数放在等号右边，各阶导数项按阶次由高到低排列。电气系统

电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。无源网络：由无源元件组成的电气网络。不含电源的器件：R、L、C等。有源网络：包含有源元件的电气网络。

含电源的器件：运算放大器。电气系统

列写电气网络的微分方程要用到以下规律：KCL电流定律：KVL电压定律：元件的伏安关系：理想运算放大器：虚短、虚断

§2－2传递函数一.定义线性定常系统→线性常系数微分方程c(t):

系统的输出；r(t):

系统的输入；a0……an;b0……bm

均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且n≥m。令c(t)和r(t)及其各阶导数在t=0－时的值为零,（a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an)C(S)=(b0Sm+b1Sm-1+…+bm-1S+bm)R(S)经过整理得：（零初始条件）两端拉氏变换得到以复变量S为自变量的代数方程：传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入的拉氏变换之比。说明（2）传递函数由系统本身的结构和参数决定，与输入信号的具体形式和大小无关。（1）由于拉氏变换只是线性定常微分方程的数学变换，故传递函数仅为线性定常系统的数学模型。（4）传递函数的自变量是S，所以传递函数时系统的复频域描述，而微分方程则为系统的时域描述。(3)C(S)=R(S)G(S)，信号传递的性质。用方框图表示：R(S)G(S)C(S)（5）对实际系统，传递函数是S的有理分式设式中：k为比例系数;z1…zm称为传递函数的零点;p1…pn称为传递函数的极点。（6）传递函数的零、极点、增益模型零点和极点是在复数平面上的点，因此可以是实数（在实轴上），也可以是复数，如为复数必为共轭出现。例：以零极形式表示，并在复平面上标出。S1、S2=-2±j3为一对共轭复数极点。Imj3-j3Re-2－6S1S2解：G(S)的零极形式为：（7）系统的特征方程系统传递函数分母等于零所得的方程，即令特征根：特征方程的根，也是传递函数的极点。§2－3典型环节的传递函数及动态响应为了分析方便，往往将一个复杂的控制系统分成一个个小部分，称为环节。控制系统虽然是各种各样的，但常见的典型环节并不多。一.比例环节1、传递函数2、阶跃响应R(S)KC(S)二.惯性环节1、传递函数2、阶跃响应R(S)C(S)说明

经过3T~4T，输出接近稳态值，约为稳态值的95%~98%；由于的存在，输出呈现缓慢上升过程，这一现象称为系统具有一定的惯性，用时间常数T来表征；

T=0，即比例环节，无惯性；

T越大输出接近稳态的时间越长，上升越缓慢，系统惯性越大。三.积分环节1、传递函数2、阶跃响应四.比例积分环节1、传递函数2、阶跃响应五.微分环节理想微分环节2、阶跃响应1、传递函数说明理想微分环节很难应用，引入实际微分环节。1、传递函数2、阶跃响应六.比例微分环节（一阶微分环节）2、阶跃响应1、传递函数或说明

与微分环节类似，在实际中所用的比例微分环节也是带惯性环节的。实际中的比例微分环节的传递函数：当τ很小时，则近似于理想的比例微分环节七.比例积分微分环节2、阶跃响应1、传递函数八.二阶振荡环节1、传递函数T——时间常数ζ——阻尼比2、阶跃响应九.延迟环节：输出为输入信号的延迟。1、动态方程2、传递函数

说明：延迟环节可能使系统不稳定，τ越大，对系统的稳定性越不利。§2－4电气网络的运算阻抗与传递函数一.运算阻抗元件运算阻抗（复阻抗）RRLsLC二.伏安关系时域电路运算电路可见，运算阻抗可以当做普通电阻使用！三.电路定律时域电路运算电路

对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！§2－5控制系统的方框图

方框图是以图形表示系统的数学模型；通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各环节之间的传递过程；方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数；方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。一.方框图的概念和绘制构成方框图的基本符号有四种：（1）信号线：R(s)箭头表示信号传递的方向，线上表明所对应的变量。1、方框图是传递函数的图解化表示，框图中各信号均以s为自变量，反应系统中各个环节的连接关系。（2）函数方框：方框中为各环节的传递函数Gn(S)Xi(S)X0(S)X0(S)＝Xi(S)×Gn(S)（3）比较点：信号的代数和，具有相同量纲X1(S)X2(S)X1(S)+X2(S)++X1(S)X2(S)X1(S)－X2(S)－+（4）引出点：X

(S)X

(S)X

(S)只是传送信号，并不提取能量，不是求和！2、方框图的绘制列系统各环节的微分方程组

拉氏变换方框图系统的微分方程为：

式中T1、T2、K1、K2、K3均为正的常数，系统的输入为r(t)，输出为c(t)，画出系统的传递函数方框图。①②③④例题②①③④注意方框图形式要规范，前向通路、反馈通路要清晰明确，左边为系统总输入R(s)，右边为输出C(s)。方框图中的各个环节都必须是典型环节。若遵循前一个环节的输出为下一个环节的输入，则容易画图。二.环节间的连接关系1.串联G1(S)R(S)G2(S)…C(S)Gn(S)2.并联G1(S)G2(S)...Gn(S)＋＋＋C(S)R(S)3.反馈R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋正反馈负反馈单位反馈：H(S)＝1R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)＋C(S)=E(S)G(S)E(S)=R(S)－B(S)B(S)=C(S)H(S)＋注意传递函数中：负反馈取＋正反馈取－R(S)C(S)G(S)H(S)B(S)E(S)Φ(S)也称作自动控制系统的闭环传递函数R(S)C(S)--R(S)C(S)-三.比较点和引出点的移动目的：为了对较复杂的方框图进行化简。原则：不能改变输入、输出之间总的数学关系式。1.比较点前移R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋R1(S)G(S)C(S)R2(S)G

(S)1＋2.比较点后移R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋G(S)R1(S)G(S)C(S)R2(S)＋3.相邻比较点之间的移动R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)R1(S)R2(S)-R3(S)-C(S)＋R1(S)R3(S)-R2(S)-C(S)4.引出点前移G

(S)R(S)C(S)C(S)G

(S)R(S)C(S)C(S)G

(S)5.引出点后移G

(S)R(S)C(S)R(S)G

(S)R(S)C(S)R(S)G

(S)16.相邻引出点之间移动X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)X(S)说明比较点与引出点之间不要相互移动，等效关系太复杂！四.方框图的化简1、利用比较点、引出点移动来化简

关键：找非独立回路，消除交叉结构，将方框图变成串联、并联、反馈连接。例题求系统闭环传递函数。G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---aG3(S)H2(S)H1(S)H3(S)R(S)1/G4(S)例题求系统闭环传递函数。R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---aG3(S)H2(S)H1(S)H3(S)bR(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)bR(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)b1/G2(S)R(S)G1(S)C(S)-H1(S)对结构图进行简化，求系统闭环传递函数.解（1）

a点后移R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---

G3(S)例题aR(S)G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)C(S)---

1/G4(S)R(S)G1(S)G2(S)C(S)--1/G4(S)R(S)G1(S)G2(S)R(S)--1/G4(S)

bPage31例2－7对结构图进行简化，求系统的闭环传递函数。Page31例2－8对结构图进行简化，求系统的闭环传递函数。2、梅森公式——

所有各回路的“回路传递函数”之和。——

两两互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和。——

三个互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和。回路传递函数——

回路的前向通路和反馈通路的传递函数的乘积。包括反馈极性！相接触回路——

在框图中具有共同的重合部分，包括共同的函数方框、或共同的相加点等。梅森公式n——

系统前向通路个数；Pk

——

从输入端到输出端的第k条前向通路上各传递函数之积。例题求系统闭环传递函数。R(S)G1(S)G2(S)G4(S)C(S)---G3(S)H2(S)H1(S)H3(S)L1L2L3例题某电气网络的方框图如下，求闭环传递函数。R(S)C(S)---

L1L2L3§2－6反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的典型结构如图：G1(S)G2(S)R(S)C(S)E(S)B(S)H(S)+N(S)一.闭环系统的开环传递函数：

G(S)=G1(S)G2(S)H(S)二.系统的闭环传递函数1.输出对输入的传递函数令N(S)＝0G1(S)G2(S)Xi(S)X0(S)E(S)B(S)H(S)+N(S)

（2-11）2.输出对扰动的传递函数G1(S)G2(S)Xi(S)X0(S)E(S)B(S)H(S)+D(S)令Xi(S)＝0G1(S)G2(S)X0(S)H(S)