2024年九年级中考数学复习：平面几何辅助线常见类型含答案

几何辅助线第1章角平分线PAGE2024年九年级中考数学复习：平面几何辅助线常见类型目录2024年九年级中考数学复习：平面几何辅助线常见类型TOC\o"1-2"\h\u第1章角平分线1.1作垂线 11.2作平行线 31.3截取等线段 4第2章中点2.1构造中位线 82.2构造中线 10第3章全等3.1遇到中点倍长中线或作平行线 173.2遇到平分线段作平行线 203.3构造共顶点旋转全等（手拉手） 223.4构造邻边相等对角互补 283.5构造一线三等角全等 323.6构造脚拉脚全等 373.7构造十字架全等 413.8构造等腰直角三角形和平行四边形 45第4章直角三角形和等腰三角形4.1倍长一直角边构造等腰三角形 574.2双勾股定理 59第5章相似5.1构造A字型或8字型相似 655.2构造共顶点旋转相似（手拉手） 735.3构造一线三等角相似 795.4构造十字架相似 855.5构造共边共角相似 89第6章二倍角6.1作二倍角的平分线构造等腰三角形 1056.2延长二倍角的一边构造等腰三角形（由倍角造半角） 1066.3延长半角的一边构造等腰三角形（由半角造倍角） 1096.4在三角形内或外构造二倍角 111第7章四点共圆和辅助圆7.1四边形对角互补 1187.2同底同侧张等角（定弦定角） 1197.3利用圆的定义构造辅助圆（共顶三等腰） 1217.4作三角形的外接圆 123参考答案与解析第1章角平分线1.1作垂线 1291.2作平行线 1301.3截取等线段 131第2章中点2.1构造中位线 1362.2构造中线 137第3章全等3.1遇到中点倍长中线或作平行线 1453.2遇到平分线段作平行线 1473.3构造共顶点旋转全等（手拉手） 1493.4构造邻边相等对角互补 1553.5构造一线三等角全等 1603.6构造脚拉脚全等 1643.7构造十字架全等 1673.8构造等腰直角三角形和平行四边形 172第4章直角三角形和等腰三角形4.1倍长一直角边构造等腰三角形 1874.2双勾股定理 189第5章相似5.1构造A字或8字型相似 1965.2构造共顶点旋转相似（手拉手） 2055.3构造一线三等角相似 2135.4构造十字架相似 2215.5构造共边共角相似 225第6章二倍角6.1作二倍角的平分线构造等腰三角形 2536.2延长二倍角的一边构造等腰三角形（由倍角造半角） 2546.3延长半角的一边构造等腰三角形（由半角造倍角） 2566.4在三角形内或外构造二倍角 258第7章四点共圆和辅助圆7.1四边形对角互补 2697.2同底同侧张等角（定弦定角） 2707.3利用圆的定义构造辅助圆（共顶三等腰） 2717.4作三角形的外接圆 273PAGE7第1章角平分线1.1作垂线已知条件：如图，点P是∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点AMOBNPA辅助线作法：过点P作MOBNPA结论：PA＝PB（角平分线上的点到角两边的距离相等）典例透析AC例1BDEAC例1BDE例1如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点EAC例1BDEAC例1BDE怎样解作辅助线的依据：BD平分∠ABC，DE⊥AB辅助线作法：过点D作DF⊥BC于点F结论：DF＝DE思路点拨：根据DF＝DE及AB，BC的长，分别求出△ABD和△DBC的面积．ACAC例1BDE解：例2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE＝1，求BC的长．ABABC例2DEABC例2DEF怎样解作辅助线的依据：AD平分∠BAC，DE⊥AB辅助线作法：过点D作DF⊥AC于点F结论：DF＝DE思路点拨：根据DF＝DE及∠B＝30°，∠C＝45°，分别求出BD和DC的长．AABC例2DE我能解解：针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝4，△ABD的面积是28，求AB的长．AABC第1题D2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝5，DC＝4，求AB的长．AABC第2题D3．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，AB＝4，AD＝10，CE⊥AD于点E，求DE的长．AAEBDC第3题4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为∠ACB的外角平分线上一点，且∠ADB＝45°，BD交AC于点E，求证：AE＝AB．AA第4题DEBPCAB第5题DCFE5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，若ACAB第5题DCFE1.2作平行线MONPQ已知条件：如图，点PMONPQ辅助线作法：过点P作PQ∥ON交OM于点Q结论：OQ＝PQ典例透析例1如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，BD平分∠ABC，DC＝2，求BD的长．ABABC例1EDHABC例1D怎样解作辅助线的依据：BD平分∠ABC辅助线作法：过点D作DE∥AB交BC于点E，DH⊥BC于点H结论：DH＝，BE＝DE＝2DH思路点拨：由∠ACB＝45°，DC＝2，可得DH，由DE∥AB，可得∠DEH＝∠ABC＝30°，得到BE，DE，EH的长，在Rt△BDH中，根据勾股定理求出BD的长．AABC例1D我能解解：ABC例2DABC例2EDH例2如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABCABC例2DABC例2EDH怎样解作辅助线的依据：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB辅助线作法：过点D作DE∥AB交BC于点E，DH⊥BC于点H结论：BE＝DE＝CD思路点拨：导角可得∠DEC＝∠DCE＝30°，则BE＝DE＝CD，在Rt△BDH中，根据勾股定理求出BD的长．ABABC例2D解：针对训练AB第1题CD1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求证：AC＋AB第1题CDABC第2题OED2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点OABC第2题OED1.3截取等线段已知条件：如图，点P是∠MON平分线上一点，点A是射线OM上一点，MONPAB辅助线作法：在ON上截取MONPAB结论：△OAP≌△OBP典例透析例1如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，AC＝2，求CD的长．ABABC例1DABC例1DE怎样解作辅助线的依据：AD平分∠BAC辅助线作法：在AB上截取AE＝AC，连接DE结论：CD＝DE＝BE思路点拨：导角可得∠EDB＝∠ABC，则CD＝DE＝BE＝AB－AE＝AB－AC．ABABC例1D解：例2如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD与CE相交于点O，求证：OD＝OE．ABABC例2FDEOABC例2DEO怎样解作辅助线的依据：BD平分∠ABC，CE平分∠ACB辅助线作法：在BC上截取BF＝BE，连接OF结论：OF＝OE思路点拨：导角可得∠BOC＝120°，则∠BOF＝∠BOE＝∠COD＝60°，则∠COF＝∠COD＝60°，可得△OCD≌△OCF，则OD＝OF＝OE．ABABC例2DEO解：针对训练1．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，AB＝3，BD＝2，求AC的长．AAB第1题DC2．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝10，AD是角平分线，∠ADB＝45°，求AD的长．ABAB第3题CODEAB第2题DC3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD与CE相交于点O，记四边形BEDC的面积为S1，△BOC的面积为S2，求证：S1＝2S2．培优必练AB第1题DCE1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点E为AC边上一点，∠DEC＝∠B，DE＝BD，ABAB第1题DCE2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD＝5，DC＝3，求AB的长．AAB第2题DCABC第3题ED3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD交BD的延长线于点EABC第3题ED4．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，BD为∠ABC的角平分线，CD⊥BD于点D，连接AD，若△ABC的面积为m，求△ACD的面积（用含m的式子表示）．AADBC第4题AB第6题CD5．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC＝45°，AB第6题CDAABC第5题6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，探究线段BD与CD的数量关系．DAB第7题GCEF7．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，EF⊥AC交BC于点F，DE的延长线交BC于点GDAB第7题GCEFAB第8题DCEFG8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，中线AD与角平分线BE交于点F，点G为CE的中点，连接FGAB第8题DCEFG9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥AC，AE⊥AB，BD＝5，CE＝12，求DE的长．AABEDC第9题10．如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．MDAB第10题CMDAB第10题CPFNE（2）若DP＝1，求MD的长．11．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O．AABC图1DEOB图2COAABC图1DEOB图2CODE第11题（2）如图2，若∠A＝90°，＝，求的值．几何辅助线第2章中点PAGE16PAGE第2章中点2.1构造中位线已知条件：如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，且已知BC的长辅助线作法：取AC的中点E，连接DEABDCE结论：DE是△ABC的中位线，DE∥BC，ABDCE典例透析例1如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，点D为边BC的中点，点E在边AB上，且∠BED＝30°，求DE的长．ABABCDE例1ABCDEF例1怎样解作辅助线的依据：点D为边BC的中点，AC＝4辅助线作法：取AB的中点F，连接DF结论：DF∥AC，DF＝思路点拨：由DF是△ABC的中位线，可知DF∥AC，DF＝＝2，则∠DFE＝180°－∠A＝90°，由∠BED＝30°，可得DE＝2DF＝4．ABABCDE例1解：ABCF例2DEABCF例2DEG例2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是AC上一点，点FABCF例2DEABCF例2DEG怎样解作辅助线的依据：点F是BC的中点辅助线作法：取AC的中点G，连接FG结论：FG∥AB，FG＝思路点拨：由FG是△ABC的中位线，可知FG∥AB，FG＝，导角可得EG＝FG，则EC＝EG＋GC．我能解ABABCF例2DE针对训练1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，∠A＝2∠DEC，求证：AB＋AE＝CE．AAEBC第1题DABCDE第2题2．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E为BC的中点，求证：DE＝(AB－ABCDE第2题3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，点D是边AC上一点，点E是边BC的中点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_________．BBC第3题EADACB第4题DEF4．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，点E是AC上一点，点F是BC的中点，EF∥ACB第4题DEF2.2构造中线直角三角形中已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点辅助线作法：连接CDABCD结论：CDABCD等腰三角形中已知条件：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点辅助线作法：连接AD结论：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合）AABCD典例透析ABC例1EFABC例1EFD例1如图，在△ABC中，点E是边AC的中点，点F是△ABC内一点，EF∥BC，∠ABC例1EFABC例1EFD怎样解作辅助线的依据：点E是边AC的中点，EF∥BC，∠AFB＝90°辅助线作法：取AB的中点D，连接DE，DF结论：DE∥BC，DE＝，DF＝思路点拨：由DE是△ABC的中位线，可知DE∥BC，DE＝，由DF是Rt△ABF的斜边AB上的中线，可知DF＝，由EF∥BC，可知D，F，E三点共线，则EF＝DE－DF．ABABC例1EF解：ABC例2DEABC例2DEO例2如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为BC的中点，将△ABC例2DEABC例2DEO怎样解作辅助线的依据：∠BAC＝90°，点D为BC的中点辅助线作法：连接BE交AD于点O结论：AD＝，∠BEC＝90°思路点拨：由AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，可知AD＝，由点D为BC的中点及翻折，可知∠BEC＝90°，由面积法求出OB的长，则BE＝2OB，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出CE的长．ABABC例2DE解：例3在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝4，求EF的长．ADADEBC例3FADEBC例3F怎样解作辅助线的依据：AC＝BC，点D为AB的中点辅助线作法：连接CD结论：CD⊥AB，CD＝AD＝思路点拨：由CD是等腰直角△ABC的斜边AB上的中线，可知CD⊥AB，CD＝AD＝，由∠EDF＝90°可知∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCF＝45°，可得△ADE≌△CDF，则AE＝CF，在Rt△ECF中，根据勾股定理求出EF的长．AADEBC例3F我能解解：ADBC例4ADBC例4EF例4在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为△ABC内一点，ADADBC例4ADBC例4EF怎样解作辅助线的依据：AC＝BC，DB＝DC辅助线作法：过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F结论：DF＝CE＝BE＝思路点拨：由DB＝DC可知DF＝CE＝BE，在Rt△ADF中，根据勾股定理求出AF的长，则DE＝CF＝AC－AF．AADBC例4我能解解：针对训练B第1题EDACH1．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC边上的动点，BH⊥AE于点H，连接B第1题EDACH2．如图，AB∥CD，∠ADC＝90°，点M为BC的中点，连接AM，DM，求证：AM＝DM．AABC第2题DM3．如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，AF⊥BE于点F，连接DF，求证：DF＝DC．DDAB第3题CEF4．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，点D为BC边上一点，∠ADC＝45°，求证：BD＝DC．AAB第4题CD5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l∥AB，点D为直线l上任意一点（不与点C重合），连接AD，作DE⊥AD交直线BC于点E，连接AE，求证：∠AED＝∠BAC．AABlE第5题CDA第6题EDBC6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝EQ\F(1,3)，则BD＝A第6题EDBC7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为边BC，AD上的点，连接EF，BD交于点G，若DE平分∠CEF，BG＝BE，则DF的长为_________．AADF第7题EBCG8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为边AC上的动点，线段BE的垂直平分线交AD于点F，交BE于点G，连接EF，求证：∠BEF＝∠BAF．BBDC第8题AEFG9．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD，AE，AF分别是中线、角平分线和高线，探究线段AB，CE，DF之间的数量关系．AAB第9题CDEF10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，BE⊥AC于点E，交AD于点P，若BP＝3，PE＝1，求AE的长．AAB第10题CDPE11．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，若BE＝1，DE＝eq\r(,7)，求CD的长．AAB第11题CDE培优必练AB第1题CED1．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AD⊥BD于点D，AE⊥CEAB第1题CED2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC于点D，BE，CF为角平分线，AD分别与BE，CF相交于点M，N，点G，H分别为FN，EM的中点，求GH的长．AAB第2题DCEFMNGHADB第3题CGMEF3．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点E在CD上，点G在BC的延长线上，M是ADB第3题CGMEF4．如图，点E为正方形ABCD外一点，AB＝4，∠AED＝90°，点F为CE的中点，连接BF，求BF的最大值．EEAD第4题BCF5．如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E为△ABC内部一点，∠BEC＝90°，∠CED＝∠ABE，DE＝2，AB＝6，求BC的长．AAD第5题BCE6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，E分别为边AB，BC上的动点，且DB＝DE，过点E作EF⊥DE交AC于点F，连接DF，求DF的最小值．AA第6题BCEDF7．如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，AD⊥BC于点D，AD＝EQ\F(1,2)BC，求证：AC＝BC．第7题第7题BCAD8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为边BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长交AD的延长线于点F，若CE＝6，EF＝9，求AF的长．AABCDEF第8题CABEFGD第9题9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥ADCABEFGD第9题（1）求证：∠AEG＝∠BED；（2）若EQ\F(CD,BD)＝EQ\F(1,n)，求EQ\F(AG,CG)的值（用含n的式子表示）．ABC第10题DNHEFM10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CA绕点C顺时针旋转（旋转角小于90°）得到CD，ABC第10题DNHEFM（1）求∠AEC的度数；（2）过点C作CF⊥AB于点F，点M，N分别为CF，DE的中点，连接MN，若AC＝BC＝4，求MN的长．11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且BD＝BC＝CE，∠CDE＝30°，CD与BE相交于点F．ABCEABCEDF第11题（2）探究线段AD，AE，EF之间的数量关系，并证明；（3）若AE＝kEF，求EQ\F(BC,EF)的值（用含k的式子表示）．几何辅助线第3章全等PAGE35PAGE第3章全等3.1遇到中点倍长中线或作平行线ABDCE已知条件：如图，在△ABC中，ABDCE辅助线作法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE（或者过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E）结论：△ACD≌△EBD典例透析例1如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC边上的中线AD＝2，求△ABC的面积．ABABC例1DABC例1DE怎样解作辅助线的依据：AD是BC边上的中线辅助线作法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE结论：△ABD≌△ECD思路点拨：根据全等三角形的性质，可得CE＝AB，根据勾股定理的逆定理可知∠E为直角，△ABC的面积即等于△AEC的面积．AABC例1D我能解解：例2．如图，在△ABC中，点E是中线AD上一点，∠CED＝∠BAD，求证：CE＝AB．ABABCDEABC例2DEF怎样解作辅助线的依据：AD是BC边上的中线辅助线作法：过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F结论：△FBD≌△ECD思路点拨：根据全等三角形的性质，可得BF＝CE，∠F＝∠CED＝∠BAD，则AB＝BF＝CE．AABC例2DE我能解解：针对训练ABC第1题EFD1．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，点E为CD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点ABC第1题EFD2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，∠DAC＝90°，AC＝2，求△ABC的面积．AABC第2题DADEFBC第3题3．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BE、CD，取CD的中点F，连接AFADEFBC第3题4．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，连接BE交AC于点F，求证：CD＝2AF．AABC第4题DEFADBC第5题ED′PGH5．如图，在矩形ABCD中，点P为边CD上一点，连接AP并延长交BC的延长线于点E，将△APD沿AP折叠得到△APD'，连接D'D交AP于点H，点G为AE的中点，当∠EAD'＝2∠AED'时，求证：GH＝EQ\F(1,ADBC第5题ED′PGH6．如图，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得到矩形EFCG，使点B落在AD边上的点F处，连接BG交CF于点M，求证：BM＝GM．EEADFMBC第6题G7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是线段CB上一点，连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，求证：AG＝GF．第7题第7题FBCEADG8．如图，在△ABC和△DBC中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝90°，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BE交CD于点F，求证：BF＝EF．AAB第8题CEFD9．如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠FEC＝90°，点E在边AB上，AD⊥BC于点D，连接AF，点G是AF的中点，连接DG，EG，求证：△GDE是等腰直角三角形．AACBDGEF第9题10．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，使∠CAE＝∠ADB，连接BE交AC于点F．AEBC第10题DAEBC第10题DF（2）若BD＝kDC，求EQ\F(AF,FC)的值（用含k的式子表示）．3.2遇到平分线段作平行线ABCFGDE已知条件：如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是AC延长线上一点，连接DE交BCABCFGDE辅助线作法：过点D作DG∥AC交BC于点G结论：△DFG≌△EFC典例透析例1如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是AC延长线上一点，连接DE交BC于点F，且BD＝CE，DF＝EF，求证：AB＝AC．ADADBCFE例1ADBCFGE例1怎样解作辅助线的依据：DF＝EF辅助线作法：过点D作DG∥AC交BC于点G结论：△DFG≌△EFC思路点拨：根据△DFG≌△EFC可得DG＝CE＝DB，则∠B＝∠DGB＝∠ACB，AB＝AC．AADBCFE例1我能解解：例2如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且DF＝EF，过点D作DG⊥AC于点G，若AB＝2，求GF的长．ABABC例2EDGFABC例2EDGHF针对训练ABCGFDE第1题1．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是AC延长线上一点，连接DE交BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，若DF＝EF，GFABCGFDE第1题2．如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，AD⊥BD，延长ED交BC于点F，求证：BF＝CF．AADEBC第2题F3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝2CE，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，求证：DF＝AD＋CF．AADEBFC第3题4．如图，在等边△ABC中，D是AB边上一点，E是BC延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F，若△ADF的周长∶△CEF的周长＝6∶5，求△ADF的面积∶△CEF的值．AADFBEC第4题3.3构造共顶点旋转全等（手拉手）已知条件：如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAEABCDE辅助线作法：ABCDE结论：△ABD≌△ACE典例透析例1如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AE的位置，使∠DAE＋∠BAC＝180°，连接BE，取BE的中点F，连接AF，求证：CD＝2AF．EAEAFBC例1DEAFBC例1DG怎样解作辅助线的依据：AB＝AC，∠DAE＋∠BAC＝180°辅助线作法：将△ACD绕点A顺时针旋转到△ABG结论：△ACD≌△ABG思路点拨：由三角形全等可得CD＝BG，∠DAC＝∠GAB，等角可得G，A，E三点共线，AF是△BEG的中位线．EEAFBC例1D我能解解：例2如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为斜边向下作等腰直角三角形BCD，连接AD，求AD的最大值．ABABC例2DEABC例2D怎样解作辅助线的依据：BD＝CD，∠BDC＝90°辅助线作法：将△ACD绕点A顺时针旋转到△EBD结论：△ACD≌△EBD思路点拨：由三角形全等可得BE＝AC，ED＝AD，∠EDB＝∠ADC，△ADE是等腰直角三角形，由三角形三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的最大值．我能解解：AABC例2D针对训练ABCDE第1题1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥BC于点B，点E在BC上，∠DAE＝45°，求证：DEABCDE第1题2．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD＝15°，AB＝AC＝2，则AD的长为_________．AAB第2题CD3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC于点D，点E为边AC上一点，AE＝2，点F为AD延长线上一点，∠BEF＝60°，则DF的长为_________．AABCDEF第3题4．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝60°，CD＝2，则△BDC的面积为_________．AAB第4题CD5．如图，点D是等腰Rt△ABC内一点，∠ABC＝90°，∠ADB＝135°，AD＝1，CD＝5，则BD的长为_________．AAB第5题CDABC第6题DE6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAD＝15°，AD＝4，则点DABC第6题DE7．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，作∠BAE的平分线AF交BC于点F，连接EF，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为_________．AADBC第7题FEAPBC第8题8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点，∠APB＝120°，∠APC＝90°，AP＝eq\r(,2)，则△PBC的面积为_________APBC第8题9．如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，连接AD，CF，判断AD与CF的数量关系和位置关系，并说明理由．BBACD第9题EF10．如图，点P为△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝2∠BAC，求证：PA＝PB．AAB第10题CP11．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点，以DE为边作等边△DEF，连接AF，求证：AF＝EF．BB第11题CADEF12．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEC＝90°，点D在斜边AB上，连接AE并延长交BC于点F，求证：AE＝EF．AAB第12题CFDE13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，且AD＝CE，连接AE与BD相交于点P，过点C作CF∥BD，交AE的延长线于点F，求证：AP＝CF．AABCEPDF第13题B第14题DCEFA14．如图，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝120°，B第14题DCEFA15．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4eq\r(,2)，∠ABC＝15°，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，∠ACD＝90°，求BD的长．CC第15题BDAAB第16题CD16．如图，点D为△ABC内一点，AB＝AC，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ABD＝∠BCD，AB第16题CD17．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，AC＝eq\r(,13)，BC＝3，CD＝eq\r(,5)，求四边形ABDC的面积．BBCAD第17题AB第18题CEDGF18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC的中点，CE⊥BD交BD的延长线于点E，点F在BD上，AG⊥AF交线段CE于点GAB第18题CEDGF19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝30°，BC＝2eq\r(,3)，AC＝7，求CD的长．AAC第19题DB20．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝eq\r(,3)，求BD的长．AAB第20题CDADC第21题B21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC下方一点，∠BDC＝45°，若BD＝2，CD＝3eq\r(,2)，求ADADC第21题B22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，AB＝BC，△ABD的面积为9，求AD的长．BB第22题CDA23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AC，BC上，∠DBC＝10°，∠CAE＝40°，求∠BDE的度数．AABCED第23题24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点M为BC的中点，点D在MC上，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到线段AE，连接DE，过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段EN与DN的数量关系，并证明．AAB第24题CEMND3.4构造邻边相等对角互补已知条件：在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝AD辅助线作法1：如图①，过点A作BC，CD的垂线，垂足为E，F结论：①△ABE≌△ADF；②△ACE≌△ACF；③AC平分∠BCD（知二推一）AABDC图①EF辅助线作法2：如图②，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE结论：①△ABC≌△ADE；②△AC＝AE；③AC平分∠BCD（知二推一）AABDC图②E特殊情况：如图③，90°邻边相等对角互补，结论：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝eq\r(,2)AC；③S四边形ABCD＝S△ACE如图④，60°,120°邻边相等对角互补，结论：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝AC；③S四边形ABCD＝EQ\F(eq\r(,3),4)AC2．如图⑤，120°,60°邻边相等对角互补，结论：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝eq\r(,3)AC；③S四边形ABCD＝EQ\F(eq\r(,3),4)AC2．ABCABC图⑤DEABC图④DEAC图③BDE典例透析例1如图，点M，N分别为∠AOB的边OA，OB上的点，OM≠ON，点P为∠AOB角平分线上的一点，若∠AOB＋∠MPN＝180°，求证：PM＝PN．AOAON例1HPBGMAON例1PBM怎样解作辅助线的依据：OP平分∠AOB，∠AOB＋∠MPN＝180°辅助线作法：过点P作PG⊥OA于点G，PH⊥PB于点H结论：△PGM≌△PHNAON例1PBM思路点拨：导角AON例1PBM我能解解：例2如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ACD＝∠ADB，求证：AC平分∠BCD．AAEBDC例2AABDC例2怎样解作辅助线的依据：AB＝AD，∠ACD＝∠ADB辅助线作法：延长CD到E，连接AE，使AE＝AD结论：△AEC≌△ABC思路点拨：设∠ABD＝∠ADB＝α，∠BDC＝β，导角证∠EAC＝∠BAC，△AEC≌△ABC，可得结论．我能解ABABDC例2例3如图，在△ABC中，分别以AB，AC为斜边向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，点D，B，C在同一直线上，连接DE，若AB＝2eq\r(,2)，AC＝eq\r(,13)，求DE的长．DCDC例3EABDC例3FEAB怎样解作辅助线的依据：等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE辅助线作法：延长DC到F，使CF＝AD，连接EF结论：△ADE≌△CFE思路点拨：导角证△ADE≌△CFE，可得△DEF是等腰直角三角形，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出DC，从而得到DF和DE的长．DCDC例3EAB解：针对训练1．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝3，BD＝4eq\r(,2)，则BC＝_________．AADB第1题C2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，BC＝7，CD＝2，则AC＝_________．AADB第2题CADBC第3题FE3．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上一点，∠AEB＝45°，过点E作EF⊥AE交BC于点F，若ADBC第3题FE4．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DE⊥AC，AE＝CE，若∠ABC＝α，求∠ADE（用含α的式子表示）．AADBC第4题E5．如图，OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于点D，点E，F分别在边OA，OB上，∠PEO＋∠PFO＝180°，探究OE，OF与OD的数量关系，并证明．OOB第5题FADEP6．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD＝2，AB＝3，BC＝5，求BD的长．BBC第6题DA7．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD＝CD＝3，BD＝5，求BC的长．DDABC第7题8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC＝90°，AB＝7，AD＝CD＝15，求BC的长．DDBC第8题A9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∠BCD＝∠BAD，求证：BD＝CD．AABCD第9题10．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点M是直线AO上一点，点P，N分别是射线OC，OB上的点，PM＝PN，OM＝1，ON＝3，求OP的长．第10题第10题OB图1PANCMOB备用图AC11．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为CD边上一动点（点E不与点C，D重合），连接AE交BD于点F，过F作FG⊥AE交BC于点G，若四边形CEFG是“等补四边形”，求CE的长．DDFABC第11题GE12．如图，在□ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC于点E，交CD于点F，过点F作FG⊥AD于点G，连接EG．DAGBC第12题DAGBC第12题EF（2）探究AC与EG的数量关系，并证明．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转至AD，旋转角为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接CE．ABCED第13题ABC备用图（1）当0°＜α＜90°时，求证：BD＋2CEABCED第13题ABC备用图（2）当0°＜α＜180°，AE＝2eq\r(,2)CE时，求EQ\F(DE,BD)的值．3.5构造一线三等角全等已知条件：如图1，点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）结论：△CAP≌△PBD已知条件：如图2，点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）ABDPC1ABDPC123123DPCBA图1图2典例透析ADBC例1EFADBC例1EFG例1如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，将ADBC例1EFADBC例1EFG怎样解作辅助线的依据：∠B＝∠AEF＝90°辅助线作法：过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G结论：△ABE≌△EGF思路点拨：由正方形的性质和三角形全等可得BC＝AB＝EG，BE＝FG，则FG＝BE＝CG，∠FCG＝45°，∠DCF＝45°．AADBC例1EF我能解解：ABCDE例2ABCD例2例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，连接CD，若∠ACDABCDE例2ABCD例2怎样解作辅助线的依据：∠ACB＝∠BAD＝90°辅助线作法：过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E结论：△ABC≌△DAEABCD例2思路点拨：由三角形全等可得AC＝DE，BC＝AE，由∠ACD＝135°可知△CDE是等腰直角三角形，由CD的长可得CE，DEABCD例2我能解解：例3如图，在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若AG＝FG，求证：CE＝DE．ADADGC例3BHEFADGC例3BEF怎样解作辅助线的依据：AG＝FG，∠GAE＝∠AFE＝90°辅助线作法：过点G作GH⊥AF于点H结论：△AEF≌△GAHADGC例3BEF思路点拨：导角可证ADGC例3BEF我能解解：针对训练1．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝BC，AD＝1，BD＝5，则CD的长为_________．AABC第1题DC2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，点D是AC边上一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接CE，若△CDE的面积为6，则AD的长为_________．BBC第2题DAE3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，若∠ADB＝90°，AD＝1，CD＝eq\r(,13)，则AC的长为_________．AABC第3题D4．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，连接DF，过点C作CG⊥DF交DF的延长线于点G，若CG＝1，则AB的长为_________．AADBC第4题GFE5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a，将CA绕点C顺时针旋转90°得到CD，连接BD，求△BDC的面积（用含a的代数式表示）．AABC第5题DABDC第6题E6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一点，BE⊥AD于点E，连接CE，∠CEDABDC第6题E7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为AB边上一点，BD＝eq\r(,2)，点E，F分别在边BC，AC上，且DE＝DF，∠EDF＝45°，求BE的长．AAB第7题ECDFAB第8题ECFD8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，等边△DEF的顶点分别在边AB，BC，AC上，AB第8题ECFD9．如图，直线y＝kx－4k经过定点A，与y轴交于点B（0，2eq\r(,3)），点C为x轴上点A右侧的一点，∠ABC＝30°，求点C的坐标．AAC第9题xOBy10．如图，在正方形ABCD中，点P为边AD上一点，连接CP，点B关于CP的对称点为E，连接ED并延长交CP的延长线于点F，连接AF，求证：DE＝eq\r(,2)AF．AADBC第10题FPE11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，∠EAF＝45°，BE＝1，求DF的长．AADC第11题BEF12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB边上一点，AE＝3，点F在边CD上，点G在CD的延长线上，∠GEF＝45°，设DF＝x，DG＝y，求y关于x的函数关系式．AADBC第12题FEG13．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，∠DBE＝45°．ABCDABCDE第13题（2）若AC＝5，BE＝，BD∶DC＝5∶2，求AB的长．14．如图，直线y＝－x＋m（m＞0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C为射线AB上一动点，点D的坐标是（m，m），以CD为边向右作正方形CDEF．（1）求证：点F在x轴上；（2）连接BE，若BE＝nBC，求点E的坐标（用含m，n的式子表示）．CCO第14题DAByFEx3.6构造脚拉脚全等已知条件：如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接AF，DFABFEDCG图①结论：ABFEDCG图①辅助线作法：延长AF到G，使FG＝AF，连接AD，DG，EG．已知条件：如图②，△ABC是等边三角形，△DCE是等腰三角形，∠CDE＝120°，连接BE，点F为BE的中点，连接AF，DFACDBFEG图②结论：AF＝eq\r(,3)DFACDBFEG图②辅助线作法：延长AF到G，使FG＝AF，连接AD，DG，EG．已知条件：如图③，△ABC和△DCE都是直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠DCE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF，DF结论：AF＝DF，∠AFD＝180°－2∠ACB辅助线作法：取BC的中点G，CE的中点H，连接AG，FG，DH，FH．AADBFECG图③H典例透析例1如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接AF，点M为AF的中点，连接DM，EM，探究线段DM，EM的数量关系和位置关系，并加以证明．ADADBCHEFGNM例1ADBCEFGM例1怎样解作辅助线的依据：正方形ABCD和正方形CEFG，点M为AF的中点辅助线作法：过点F作FH⊥CD于点H，交DM的延长线于点N，连接ED，EN结论：DM＝EM，DM⊥EMADBCEFGM例1思路点拨：先证△ADM≌△FNM，再导角证△DCE≌△NFE，可得△EDN是等腰直角三角形，则ADBCEFGM例1我能解解：例2如图，△ABC是等腰三角形，△CDE是等边三角形，∠BAC＝120°，连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF，探究线段AF，EF的数量关系和位置关系，并加以证明．CBCBF例2DAEGCBFDAE例2怎样解作辅助线的依据：△ABC是等腰三角形，△CDE是等边三角形，∠BAC＝120°，点F为BD的中点辅助线作法：延长AF到G，使FG＝AF，连接AE，DG，EG结论：EF＝eq\r(,3)AF，EF⊥AF思路点拨：先证△ABF≌△GDF，再导角证△ACE≌△GDE，可得△AEG是等边三角形，则EF＝eq\r(,3)AF，EF⊥AF．CCBF例2DAE我能解解：例3如图，在△ABC和△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝EQ\F(1,2)AB，B，E，F三点在同一条直线上，点G是BE的中点，连接CG，过点E作EH⊥AE交CG于点H，求EQ\F(CH,AC)的值．FBFBC例3EGMAHFBC例3EGAH怎样解作辅助线的依据：∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝EQ\F(1,2)AB，点G是BE的中点辅助线作法：取AE的中点M，连接FM，FC，GM结论：△MFG≌△AFC，△FGC和△EGH都是等边三角形思路点拨：先导角证△MFG≌△AFC，可得△FGC和△EGH都是等边三角形，等量代换可得EQ\F(CH,AC)的值．FFBC例3EGAH我能解解：针对训练ABC第1题DEF1．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，分别以AB，AC为斜边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，连接DE，求证：S五边形AEBCFABC第1题DEFABCDEF第2题2．如图，△ABC是等腰三角形，△CDE是等边三角形，∠BAC＝120°，点F为BD上一点，∠FAE＝60ABCDEF第2题BE第3题CAD3．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，设四边形ABED的面积为S1，△ACD的面积为S2，若S1－BE第3题CAD4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，点D在线段BC上，延长BC到F，使DF＝BD，连接EC、EF，求证：△ECF等腰直角三角形．AABD第4题CFEACFDBE第5题5．如图，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，∠ABC＝∠EBD，连接CD，点F为CD的中点，连接AF，EF，求证：AF＝ACFDBE第5题6．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点F在线段AD上，AF＝3DF，点G，H分别为BC，DE的中点，连接FG，FH，求证：FG⊥FH且FG＝eq\r(,3)FH．BBG第6题CDAHEF7．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，连接AD，BD，点F为BD的中点，连EF．（1）探究AD与EF的数量关系和位置关系，并证明；（2）如图2，过点C作CG⊥EF于点G，连接AG，若CG＝2，EG＝3，EF＝5，求四边形AGCD的面积．BBC图1FA第7题DEBC图2ADEGF3.7构造十字架全等已知条件（正十字架）：如图①，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，AC⊥BE，AB＝BD结论：△ABC≌△BDE已知条件（斜十字架，通常出现在等边三角形中）：如图②，在△ABC和△BDE中，∠ABC＝∠BDE，∠BAC＝∠DBE，AB＝BDABCDE图①BABCDE图①BCD图②AE典例透析例1如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则AM的长是_________．ADADBC例1ENMFADBC例1ENMFG怎样解作辅助线的依据：正方形ABCD，点E为BC的中点辅助线作法：连接DE，过点M作MG⊥CD于点G结论：△MNG≌△DEC思路点拨：先导角证△MNG≌△DEC，在Rt△NEC中利用勾股定理求出CN的长，可得AM的长．ADADBC例1ENMF解：例2如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D，E分别为边AB，BC上的点，且AE＝AC＝CD，求证：CE＝eq\r(,2)BD．ABABC例2EDABC例2EDFG怎样解作辅助线的依据：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD辅助线作法：分别过点D，A作BC的垂线，垂足为F，G结论：△ACG≌△CDF思路点拨：先导角证△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三线合一和等量代换可证结论．AABC例2ED我能解解：例3如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连接BF并延长交CD于点G，若EG＝1，求AB的长．ADADBC例3EFGADBC例3HEFG怎样解作辅助线的依据：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD辅助线作法：分别过点D，A作BC的垂线，垂足为F，G结论：△ACG≌△CDF思路点拨：先导角证△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三线合一和等量代换可证结论．AADBC例3EFG我能解解：针对训练1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为边BC，CD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O，连接OC，OD，OD＝AD，则OC的长为_________．BBEC第1题FADO2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D，E分别在边AB，BC上，AE⊥CD，AE＝CD，BE∶CE＝3∶4，S△AEC＝10，则S△DBE＝_________．BBC第2题DEA3．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥BD，AC＝BD，垂足为E，若AB＝1，AD＝eq\r(,5)，则CD的长为_________．BB第3题CDA4．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是边AB上一点，∠BAD＋∠BCF＝∠B，AD＝CF，BE＝3，则AF的长为_________．AAC第4题BFEDAB第5题FCDE5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是AB的中点，AE⊥CD于点E，交BC于点F，AF＝AB第5题FCDEAADEBCFG第6题AABC第7题EDF6．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC交DC的延长线于点F，交BE于点G，且AB＝AF，求证：DE＝CF＋AG．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠ADB＝∠AEB＝60°，AE与BD交于点F，若AF＝a，CE＝b，求BE的长（用含a，b的式子表示）．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC下方一点，∠BDC＝90°，AE⊥BD于点E，AF⊥CE交BD于点F，若CD＝2，BD＝8，求AF的长．AABCDEF第8题9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADB＝90°，点E是AB上一点，CE交BD于点F，AE＝DF，BC＝BD＝BE，若四边形ABCD的面积为63，求BF的长．BBC第9题FADE10．如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在边AD上点E处，点C落在点G处，折痕为MN，EG交CD于点F．ADBC第10题ENMADBC第10题ENMGF（2）若AE＝2，DE＝4，求FN的长．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB的延长线上，点E在边AC上，且AE＝BD，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，过点D作DG∥BC交AF的延长线于点G，交AC的延长线于点H．DH第11题AEBDH第11题AEBCGF（2）若DG＝kGH，求EQ\F(AF,AG)的值（用含k的式子表示）．12．如图，将边长为12的正方形ABCD折叠，使点A落在边CD上点E处，折痕为MN．（1）若MN＝13，求BN的长；ADMBADMBCNFE第12题3.8构造等腰直角三角形和平行四边形ACFEBGD已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，且AC＝BE，AD＝CEACFEBGD辅助线作法：过点B作BG⊥BC，且BG＝CE，连接AG，EG结论：△AEG是等腰直角三角形，四边形ADBG是平行四边形，∠BFE＝45°典例透析GBE例1CAFD例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(,5)，DB⊥BC，点E是边BC上一点，且CE＝BD＝1，连接AE，DE，DE交AB于点F，∠AFE＝45GBE例1CAFDBBE例1CAFD怎样解作辅助线的依据：∠C＝90°，DB⊥BC，CE＝BD，∠AFE＝45°辅助线作法：过点E作EG⊥DE交CA的延长线于点G，连接DG结论：△DEG是等腰直角三角形，四边形AGDB是平行四边形思路点拨：先导角证△BDE≌△CEG，则△DEG是等腰直角三角形，再证四边形AGDB是平行四边形，可得DG，DE的长，在Rt△DBE中利用勾股定理求出BE的长．BBE例1CAFD我能解解：ABE例2CDAFBE例2CD例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，且AD＝CEABE例2CDAFBE例2CD怎样解作辅助线的依据：∠ACB＝90°，AD＝CE，∠ABC＋∠DEC＝135°辅助线作法：过点A作AF⊥AC，过点D作DF⊥DE交AF于点F，连接EF结论：△AFD≌△CDE，四边形ABEF是平行四边形思路点拨：由三角形全等可得DF＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝45°，由∠ABC＋∠DEC＝135°，可得∠ABC＋∠CEF＝180°，四边形ABEF是平行四边形，则AB＝EF＝．AABE例2CD我能解解：PAGBD例3CEFHABD例3CEF例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC的中点，点EPAGBD例3CEFHABD例3CEF怎样解作辅助线的依据：∠C＝90°，∠BFD＝45°辅助线作法：过点D作DG⊥AD且DG＝AD，连接AG，过点G作GH⊥BC交CB的延长线于点H，过点B作BP⊥BC交AG于点P结论：△ADG是等腰直角三角形，四边形APBE是平行四边形ABD例3CEF思路点拨：先证△ADC≌△DGH，再证四边形APBE是平行四边形，设PB＝AE＝x，将梯形GHCA的面积分为梯形GHBPABD例3CEF我能解解：针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD与CE相交于点O，且CD＝AB，求证：BE＝AD．AABC第1题DOE2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC内一点，∠ADC＝90°，点F在DC的延长线上，且CF＝AD，过点F作EF∥BC，交AD的延长线于点E，求证：AE＝CD，BC＝EF．AA第2题EFBCD3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E是边BC上一点，连接AE交BD于点F，若∠AEC＝45°，BF＝2，DF＝AC＝3，求BC的长．AAFBC第3题EDBG第4题CADEFO4．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点E在边CD上，点G在BC的延长线上，连接AF与BG第4题CADEFO5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且BD＝AE，连接BE与CD交于点O，∠BOD＝45°，求证：AB＝CE，CD＝eq\r(,2)BE．AAOED第5题BC6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边AC上一点，AD＝2，点E为边BC上一点，连接AE与BD交于点F，∠AFD＝45°，求CE的长．BBC第6题EFDA7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别为边AB，AC上的点，连接BE，CD交于点F，若∠BFD＝30°，BD＝3，CE＝4，CD＝10，求BE的长．AABC第7题EDF8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D，E分别为边AB，BC上的点，且AE⊥CD，AE＝CD，若CE＝2，AD＝4eq\r(,3)，求四边形ADEC的面积．第8题第8题BCEAD9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，点E，F分别为边AB，AC上的点，且BF＝eq\r(,2)DE，BF与DE相交于点G，∠FGD＝45°，若BE＝1，DE＝eq\r(,10)，求AC的长．AAFEGBC第9题D10．如图，在菱形ABCD中，点E在边AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接DF，EF，若∠AEF＋∠BFE＝90°，△CDF的面积为2，求EF的长．AAD第10题BFEC11．【基础巩固】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝CD，DE＝CF，求证：AF＝eq\r(,2)CE．【尝试应用】（2）如图2，AB＝CD，AB与CD交于点O，∠BOD＝60°，直线AC与直线BD的夹角为30°，AC＝1，BD＝eq\r(,3)，求AB的长．【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，点D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，BD＝CE，∠BOC＝120°，BE＝4，CD＝3eq\r(,2)，求BD的长．BBC图1第11题ADEFACD图2BBC图3OOAED培优必练AB第1题CED1．如图，在△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，DC＝AC，∠B＝∠AED＝45°，若CE＝1，BDAB第1题CED2．如图，正方形ABCD的边长为12，对角线AC与BD相交于点O，点E是边BC上一点，过点O作OF⊥OE交AD的延长线于点F，若△OEF的面积为39，则EF的长为_________．AADFOB第2题CEAB第3题FCED3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F是BC的中点，点E是△ABC内一点，连接AE，BE，EF，EF＝DF，∠EFD＝2∠AB第3题FCEDAFECBD第4题4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接CE，过点A作AF∥BC交CE于点AFECBD第4题5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E在边AC上，DF⊥BE交AB于点F，DG⊥DE交AB于点G，求证：AF＝FG．BB第5题DCAEFGAFCBDE第6题6．如图，△ABC为等边三角形，点D为边AC上一点，点E为BD的中点，过点E作EF⊥AE，交BC的延长线于点FAFCBDE第6题7．如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝∠DEF＝60°，点E为BC的中点，连接AD并延长到点G，使AD＝DG，连接CF，CG，FG，求证：△CFG是等边三角形．AABGCDEF第7题ACB第8题EFMN8．如图，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AFE＝90°，点M，N分别为BF和CE的中点，求证：MNACB第8题EFMNADECB第9题FGHE9．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，AF⊥BE于点F，DG⊥CF于点G，交BE于点H，求EQ\F(DG,ADECB第9题FGHE10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝60°，求证：BD＋CD＝AB．AABC第10题D11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，∠ADB＝60°，点E是线段AD上一点，DE＝CD，连接BE，点F是线段AE上一点，BF＝BE，求证：AF＝2DE．AABC第11题DFE12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E为边BC上一点，∠AEB＝60°，求证：BE＝2CE．AABCDE第12题13．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，点E在AC上，∠AEB＝60°，BD＝3，CE＝6，求DC的长．AACB第13题DE14．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝30°，点E为BD的中点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．ACBEACBEF第14题（2）求证：AE⊥CF．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AB延长线上一点，点F是DE的中点，连接AF，BF，AF交BC于点G，若∠AFB＝90°，求证：AG＝2BF＋BG．AABCDEFG第15题16．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD与CE交于点F，连接AF，探究AF，BF，CF的数量关系，并证明．AABC第16题EFD17．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝90°，过点B作BE⊥CD于点E，求证：AD＋BE＝eq\r(,3)DE．AADEBC第17题18．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD与BE交于点F，点G为线段EF上一点，AG＝AE，求证：DF＋FG＝BF．AABC第18题DFGE19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AD为BC边上的中线，点E为线段AD上一点，∠EBD＝30°，点F为线段DE上一点，点G为BE延长线上一点，且GF＝GC，设四边形CFEG的面积为S，求S关于a的函数关系式．CCB第19题DAEFG20．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D，E分别为边BC，AC上的点，CD＝CA，∠ADE＝30°，若AE＝2，BD＝8，求CE的长．AACB第20题DE21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，以CD为底作等腰△CDE，∠DCE＝∠A，点F为BC的中点，求证：EF⊥BC．CCBA第21题DEF22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，且∠EAF＝45°，求证：AE⊥EF．AADCB第22题FE23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，点F为AC的中点，EF⊥AC，∠DCE＝45°，连接DE，求证：ED＝EC，ED⊥EC．AAEBDFC第23题24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，点F为AC的中点，EF⊥AC，∠EDC＝45°，连接DE，求证：ED＝EC，ED⊥EC．AAEBDFC第24题25．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是∠BCD的外角平分线上一点．CB第25题DAEFP（1）若AECB第25题DAEFP（2）若AE＝EF，求证：AE⊥EF．26．如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上一动点，点F为BC延长线上一点，CF＝BC，连接CE，DF，点M为线段CE的中点，点N在线段DF上（不与点D重合)，且AM＝MN．求证：（1）AM⊥MN；（2）AE＝eq\r(,2)DN．MMADFB第26题CNE27．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长交AD的延长线于点F．（1）求∠F的度数；ACBDEFGH第27题（2）过点D作DG∥AC交AB于点G，连接EG交ACBDEFGH第27题28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别为边AB，AC上的点，连接BE，DE，CD，BE与CD交于点F．CB第28题EADF（1）若BD＝CB第28题EADF（2）若BD＝CE，∠BFD＝45°，求证：DE＝CE．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连接BE，CE．ABC第29题DE（1）若∠CED＝90°，求证：∠BED＝45°ABC第29题DE（2）若∠BED＝45°，求证：∠CED＝90°，AE＝4DE．30．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处．A′B′ADECA′B′ADECB第30题F（2）设B′D＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD与BE交于点F．（1）求∠AFB的度数．CA第31题NBFDME（2）点M为DE的中点，连接MF并延长交CA第31题NBFDME32．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC内部一点，AD＝AC，连接DC，将DC绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接CE交AD于点F，连接AE，BD．（1）求证：△ADE≌△BCD；（2）如图2，当点E落在AB上时，求AE∶BE的值；（3）如图3，若F为AD的中点，BD＝2，求AD的长．CCA图1B第32题DEFCA图2BEDFCA图3BEFD33．已知点D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以AD，BD为邻边作□ADBE，以AD，CD为邻边作□ADCF．（1）如图1，点G为AB的中点，点H为AC与DF的交点，DG∥AC，若DB2＋DF2＝40，求DB＋DF的值；（2）如图2，若∠ADB＝90°，∠BDC＝150°，求证：□ADBE的面积是□ADCF的面积的两倍．AABC第33题图1DEFGHBC图2