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第4章留数定理

⒈留数的定义：设是的孤立奇点，是包围在内的闭曲线，且不包含的另外奇点，则在点的留数（Residue）定义为（如图4.1）

（逆时针）在点的留数等于在的环域内的洛朗级数的负一次幂的系数。一、留数与留数定理4.1留数定理z0CC图4.1留数定理：如图4.2所示，设在闭曲线上解析，在所围的区域内除有限个孤立奇点外无其它奇点，则:

（逆时针）b1b2b3bnl图4.2【说明】：①逻辑循环：由积分定义留数，再由留数求积分；定理似乎没有意义，不能回答所提出的问题。②洛朗级数的展开可以采用非积分的办法进行，而且级数具有唯一性，所以留数可以有其它的方法求得，因此留数定理有重大意义。二、极点处留数的计算设z0是f(z)的m阶极点，则，特例单极点，三、函数在无穷远点的留数⒈无穷远点留数的定义：如果是的奇点，则定义函数在无限远点的邻域的洛朗级的负一次幂的系数的相反数为函数在无限远点的留数。如图4.3所示，如果函数在点的邻域内解析，是该邻域内的一条简单闭曲线（为顺时针，绕行走，点在左手侧），则：如图4.3所示，如果函数在点的邻域内解析，是该邻域内的一条简单闭曲线（为顺时针，绕行走，点在左手侧），则：例1例1.确定函数在有限远的极点。求出函数在这些极点的留数。解函数在有限远极点

这些极点为单极点，其留数为例2例2.确定函数在有限远的极点，并求函数在这些极点的留数。

解：在有限远的极点有，

是3阶极点，其留数为：

是的单极点，其留数为例3例3.计算：，

解：记该极点在内部。外部§4.2应用留数定理计算实变函数定积分一、思路tabz=φ(t)xyl图4.4说明：如图4.4所示，作实轴到复平面的变换，将实轴上的区间变换成复平面的一条闭曲线，从而把实函数定积分转换为复变函数的回路积分。⒈

⒉

如图4.5所示，把轴崁入复平面中成为平面的实轴，把函数延拓到复平面，得复变函数，在复平面上再补上一段曲线，使成为闭合回路，闭合回路的积分用留数定理计算，而曲线段的路径积分较容易求得（通常为0）。yxl2图4.5ab二、应用留数定理计算实变函数的几个类型⒈

其中作变换

表示有理函数。

例1.计算解：

例2.计算解：记：它在复平面上有2个单极点

和其中在单位圆内，其留数为：⒉如图4.7所示，如果复变函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。当z在上半平面和在实轴上时，

一致地，则：

{在上半平面所有奇点的留数之和}yxCR图4.7例：

解：记：

,它在上半平面有单极点

其留数为：约当引理如果，是以原点为圆心位于上半平面的半径为的半圆，若当在上半平面和实轴上时，一致地，则：例：解：

在上半平面有单极点其留数为：

例：

解：如图4.9所示，yxCR图4.9Cε记

其中

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