人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：8 1 1　变量的相关关系

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.1成对数据的统计相关性8.1.1变量的相关关系学习目标1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.会用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．导语“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚，它的意思是适时的冬雪预示着来年是丰收之年，是来年庄稼获得丰收的预兆．但是冬天下几场大雪，来年一定会获得丰收吗？一、相关关系问题1下列两个变量是否具有函数关系？(1)球的面积与半径的关系；(2)人的身高和体重；(3)角度和它的余弦值；(4)父母的身高和子女的身高．〖提示〗(1)(3)是函数关系；(2)(4)不是函数关系．知识梳理两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．注意点：相关关系与函数关系的异同点(1)相同点：均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响．例1判断以下两个变量之间是否具有相关关系？(1)正方形的面积与其周长之间的关系；(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；(3)学生的学号与身高；(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．解(1)设正方形的面积为S，周长为C，则S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系．(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系．(3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系．(4)若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系．反思感悟函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．跟踪训练1(1)(多选)下列关系是相关关系的是()A．角度和它的正弦值B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系C．作文水平与课外阅读量之间的关系D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系〖答案〗BC〖解析〗A，D中两个变量之间的关系是函数关系，而B，C中的两个变量之间的关系是相关关系．(2)(多选)下列说法正确的是()A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系B．同一物体的加速度与作用力是函数关系C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系〖答案〗ABD〖解析〗闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确．二、散点图问题2在一次对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表．年龄/岁23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2年龄/岁53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数．根据上述数据，你能推断出人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？〖提示〗画出散点图，散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，大致在一条直线附近，推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系．知识梳理1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．例2某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：树龄2345678体积30344060556270(1)请作出这些数据的散点图；(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似呈什么关系吗？解(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示．(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加呈现增加的趋势，且散点大致落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似呈线性相关关系．延伸探究1．若近似呈线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．解近似拟合直线如图所示．2．若该种木材每单位体积的价值是80元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图．解木材的价值与树龄之间的关系如表所示：树龄2345678体积30344060556270价值2400272032004800440049605600以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示．反思感悟判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练2(1)(多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是()〖答案〗BC〖解析〗图A的两个变量具有函数关系；图B，C的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．(2)观察下列散点图，①正相关，②负相关，③不相关，与下列图形相对应的是()A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②〖答案〗D〖解析〗由正、负相关的定义可直接得出．三、散点图的应用例3下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？解(1)散点图如图．(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．反思感悟(1)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．(2)在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．跟踪训练3(1)对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关〖答案〗C〖解析〗由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．(2)(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是()A．沸点与海拔高度呈正相关B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈负相关D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强〖答案〗BCD〖解析〗由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．1．知识清单：(1)相关关系．(2)散点图．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：相关关系与函数关系不分．1．下列每组的两个变量之间具有相关关系的是()A．乌鸦叫，灾难到B．圆心角的大小与半径C．物体的质量一定，其密度与体积之间的关系D．儿童的年龄与身高〖答案〗D〖解析〗A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系．2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜〖答案〗D〖解析〗瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，不具有相关关系，故选D.3．如图，有5组(x，y)数据，去掉________点对应的数据后，剩下的4组数据的线性相关程度最大．〖答案〗D〖