海南省部分学校2024届高三考前押题考试（三模）数学试题（含答案解析）

数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共40分）1.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质和交集的定义可得【详解】，故选:C2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，故在复平面内对应的点为位于第二象限．故选：B.3.样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（）A.50 B.53 C.57 D.45【答案】A【解析】【分析】根据百分位数的概念即可求解.【详解】由这组数据共7个，则，所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.故选：A．4.已知数列为等差数列，且，则（）A.33 B.44 C.66 D.88【答案】B【解析】【分析】将用和表示，计算出的值，再由得的值.【详解】依题意，是等差数列，设其公差为，由，所以，即，故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】设，则，，所以，所以.故选：C．6.展开式中的系数为（）A. B.5 C.15 D.35【答案】A【解析】【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解.【详解】若要产生这一项，则当在中取1时，再在中取2个、取4个1，当在中取时，再在中取3个、取3个1，所以展开式中的系数为.故选：A.7.已知，则这三个数的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，利用导数可知在上单调递增，在上单调递减，结合，可得答案.【详解】令，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，且，则，即.故选：C.8.已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A、B、M向准线作垂线，取最大值即直线AB过焦点时，再结合点差法代入计算，即可得到结果.【详解】由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点，则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，，如图所示．则，当直线AB过焦点时取等号，此时．设、，直线AB的斜率为k，由，两式相减，得，所以，即，得，所以，又，所以．故选：B．二、多选题（共18分）9.已知直线，平面，则下列说法错误的是（）A.，则B.，则C.，则D.，则【答案】ABC【解析】【分析】根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD.【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误；选项B中，与也可能相交，故B错误；选项C中，与也可能相交，故C错误；选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确．故选：ABC．10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C.为偶函数 D.在区间的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.【详解】由题意得，由图象可得，又，所以，由五点法可得，所以.A：由以上解析可得，故A正确；B：由以上解析可得，故B错误；C：，故C正确；D：当时，，所以最小值为，故D正确；故选：ACD.11.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.D.若点是双曲线上异于的任意一点，则【答案】AD【解析】【分析】连接，根据对称性可知且，由双曲线的定义及求出，，再由，将两边平方，由数量积的运算律得到，即可求出离心率，从而求出渐近线方程，即可判断A、B、C，再由点差法求出，即可判断D.【详解】如图，连接，由双曲线定义可知，，由题意得关于原点对称，故且，即四边形为平行四边形，因为，又所以，，由，所以，由，得，即有，所以，所以离心率，故A正确；又，所以，所以渐近线方程为，，故B、C错误，设点，因为是直线与双曲线的交点，根据对称性可得，所以.又点在双曲线上，代入可得，两式相减可得，所以，故D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（共15分）12.已知向量，，则向量在向量上的投影为______________.【答案】##【解析】【详解】因为，，所以，所以向量在向量上的投影为.故答案为：.13.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，再利用给定的区间的单调性列出不等式，构造函数并求出最小值即得.【详解】函数，求导得，由在上单调递减，得，，即，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则，解得，所以的取值范围是.故答案为：14.若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为______.【答案】【解析】【分析】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解．【详解】设，外接球的半径为，该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，故，即，故该多面体的棱切球的表面积为．故答案为：．四、解答题（共77分）15.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①；②；③.（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换化简计算即可求解；（2）由可得，由（1），根据余弦定理和三角形面积公式计算即可求解.【小问1详解】若选①：，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以；若选②：，由正弦定理得，又，所以，即，又，所以；若选③：，，，即，又，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以，即，又，所以，得，所以，解得，故.16.已如曲线在处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.【小问1详解】由于的斜率为，所以，又,故，解得，【小问2详解】由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为17.如图，平面，∥，，，点是的中点，连接.（1）证明：∥平面；（2）求与平面所成角正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据平行关系可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量求线面角.【小问1详解】取的中点，连接，因为分别为的中点，则∥，且，由题意可知：∥，且，则∥，且，可知四边形为平行四边形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面【小问2详解】因为平面，，以为坐标原点，分别为轴所在直线，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，因为，所以与平面所成角正弦值为.18.已知椭圆C：的离心率为，且过点.（1）求C的方程；（2）设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M，N两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率公式可得，将点坐标代入方程，结合的关系，即可得答案；（2）依题意求出过C的左焦点且斜率为的直线方程，求出弦长，设P到的距离为，根据，即得答案.【小问1详解】设的半焦距为，则.故.将代入C的方程有，故，，.所以C的方程为.【小问2详解】由（1）可知的左焦点为.故过左焦点且斜率为的直线为：.将与的方程联立，有.设，，则不妨取，.故.且P到的距离.所以面积为.19.在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．（1）若，求；（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出；（2）（ⅰ）记发出信号和分别为事件，收到信号和分别为事件，根据全概率公式求出，再由条件概率公式求出；（ⅱ）结合（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数