2025届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等式的性质及一元二次不等式课时规范练文含解析北师大版

PAGE第六章不等式、推理与证明第一节不等式的性质及一元二次不等式课时规范练A组——基础对点练1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．|a|>|b|C．a＋b<2eq\r(ab) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)解析：∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，且|a|>|b|，a＋b>2eq\r(ab)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是减函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b).故C项不成立．答案：C2．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0 B．sinx－siny＞0C．(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,2))y＜0 D．lnx＋lny＞0答案：C3．若a>b，则下列各式正确的是()A．a·lgx>b·lgx B．ax2>bx2C．a2>b2 D．a·2x>b·2x解析：已知a>b，选项A，由已知不等式两边同乘lgx得到，由不等式的性质可知，当lgx>0时，a·lgx>b·lgx；当lgx＝0时，a·lgx＝b·lgx；当lgx<0时，a·lgx<b·lgx．故该选项不正确．选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x2>0时，ax2>bx2；当x2＝0时，ax2＝bx2.故该选项不正确．选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a>b>0时，a2>b2；当a>0>b且|a|<|b|时，a2<b2.故该选项不正确．选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x>0，所以a·2x>b·2x.故该选项正确．答案：D4．设a，b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式成立的是()A．a－b＞0 B．a3＋b3＞0C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0解析：当b≥0时，a＋b＜0；当b＜0时，a－b＜0，所以a＜b＜0，所以a＋b＜0.答案：D5．(2024·运城模拟)若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有()A．ac＞bd B．ac＜bdC．ad＜bc D．ad＞bc解析：依据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.答案：B6．函数f(x)＝eq\f(1,ln（－x2＋4x－3）)的定义域是()A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)解析：由题意得－x2＋4x－3＞0，即x2－4x＋3＜0，所以1＜x＜3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，所以x2－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数定义域为(1，2)∪(2，3)．答案：D7．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋解析：∵f(0)＝f(4)>f(1)，∴c＝16a＋4b＋c>a＋b＋c∴16a＋4b＝0，即4a＋且15a＋3b>0，即5a＋b>0，而5a＋b＝a＋4a＋b，∴a>0.故选A.答案：A8．(2024·蓉城名校高三第一次联考)已知a＝4coseq\f(1,4)，b＝3sineq\f(1,3)，c＝3coseq\f(1,3)，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．b＜c＜aC．b＜a＜c D．a＜c＜b解析：因为eq\f(b,c)＝eq\f(3sin\f(1,3),3cos\f(1,3))＝taneq\f(1,3)＜taneq\f(π,4)＝1，且b＝3sineq\f(1,3)＞0，c＝3coseq\f(1,3)＞0，所以b＜c；设f(x)＝eq\f(1,x)cosx，x∈(0，eq\f(π,2))，则f′(x)＝－eq\f(1,x2)cosx－eq\f(1,x)sinx＝－(eq\f(1,x2)cosx＋eq\f(1,x)sinx)＜0，x∈(0，eq\f(π,2))，所以函数f(x)在(0，eq\f(π,2))上单调递减，所以f(eq\f(1,3))＜f(eq\f(1,4))，即3coseq\f(1,3)＜4coseq\f(1,4)，即c＜a.所以b＜c＜a，故选B.答案：B9．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)))，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为__________．解析：依题意知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(2,a)，,－\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3.所以不等式的解集为(－2，3)．答案：(－2，3)10．已知角α，β满意－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,n－m＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))因为－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π.答案：(－π，2π)B组——素养提升练11．已知a＞b＞0，则eq\r(a)－eq\r(b)与eq\r(a－b)的大小关系是()A.eq\r(a)－eq\r(b)＞eq\r(a－b) B．eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\r(a－b)C.eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\r(a－b) D．无法确定解析：(eq\r(a)－eq\r(b))2－(eq\r(a－b))2＝a＋b－2eq\r(ab)－a＋b＝2(b－eq\r(ab))＝2eq\r(b)(eq\r(b)－eq\r(a))，因为a＞b＞0，所以eq\r(b)－eq\r(a)＜0，所以(eq\r(a)－eq\r(b))2－(eq\r(a－b))2＜0，所以eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\r(a－b).答案：B12．已知下列不等式：①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0，且使不等式①②成立的x也满意③，则实数a的取值范围是()A．a≥eq\f(9,4) B．a≤10C．a≤9 D．a≥－4解析：联立①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜x＜3，,2＜x＜4，))解得2＜x＜3，所以2＜x＜3也满意③2x2－9x＋a＜0，所以③的解集非空且(2，3)是③的解集的子集．令f(x)＝2x2－9x＋a，即2＜x＜3时，f(x)max＜0，又f(x)的对称轴为x＝eq\f(9,4).由f(x)＝2x2－9x＋a＜0，得f(2)＝8－18＋a≤0，且f(3)＝18－27＋a≤0，解得a≤9.答案：C13．(2024·河南新乡一模)设函数f(x)＝e－x－ex－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)＜0的解集为()A．(－3，2)B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C．(－2，3)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：∵f(－x)＝ex－e－x＋5x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f(x2)＋f(－x－6)＜0，即f(x2)＜－f(－x－6)＝f(x＋6)．由f(x)的图像(图略)知，f(x)是减函数，∴f(x2)＜f(x＋6)，∴x2＞x＋6，解得x＜－2或x＞3.故不等式f(x2)＋f(－x－6)＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案：D14．若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－（1＋a）≤0))的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)C．[－4，3] D．[－4，3)解析：不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]，假设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－（a＋1）≤0))的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图像的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，则使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－（1＋a）≤0))的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.答案：B15．已知－eq\f(1,2)<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，D＝eq\f(1,1－a)，则A，B，C，D的大小关系是__________．解析：令a＝－eq\f(1,4)，则A＝eq\f(17,1